并排比较

2026 年湖北预赛

P006032 · 椭圆

设 $A,B$ 是椭圆

上不等于顶点的两个不同动点，$O$ 为坐标原点，直线 $OA,OB$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$。如果椭圆 $\Gamma$ 上存在点 $C$ 满足

求证：

1. (1)

   $k_1{k}_2$ 为定值；

2. (2)

   求 $|OA|\cdot |OB|$ 的最大值。

2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 11 题

P007355 · 椭圆

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A,B$ 与 $C,D$ 分别是椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点与上、下顶点。设 $P,Q$ 是 $\Gamma$ 上且位于第一象限内的两点，满足 $OQ\Vert AP$，$M$ 是线段 $AP$ 的中点，射线 $OM$ 与椭圆交于点 $R$。 证明：线段 $OQ,OR,BC$ 能构成一个直角三角形。