2025 年中科大少年班营二

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练习时长（分钟）

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第 1 题

写出 Hilbert 的23个问题中的任意一个。

在单位球面上随机取一条弦，求该弦长度大于该球内接正四面体棱长的概率。分别讨论下列两种随机模型：

在单位圆盘内均匀随机取一点 $M$ ，并作单位圆的一条弦，使得 $M$ 为该弦中点。求该弦长度大于单位圆内接正三角形边长的概率，并写出相应的概率空间表述。

设 $μ$ 是 $N$ 上的一个平移不变有限可加概率测度，即 $μ (N) = 1$ ，且对任意集合 $A \subseteq N$ 都有 $μ (A + 1) = μ (A)$ 。求偶数集 $E = {2, 4, 6, \dots}$ 的测度 $μ (E)$ 。

设 $Ω$ 为非空集合， $A \subseteq P (Ω)$ 。证明：存在包含 $A$ 的最小 $σ$ -代数。

在单位圆盘内均匀随机取一点 $M$ ，并作单位圆的一条弦，使得 $M$ 为该弦中点。定义随机变量 $X = ∣ OM ∣$ 。求 $X$ 的分布函数与概率密度函数。