2025 年内蒙古预赛

按原题序浏览；已整理 8/11 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $a, b, c$ 是同一平面上的 $3$ 个向量，满足 $∣ a ∣ = 3$ ， $∣ b ∣ = 22$ ， $a \cdot b = - 6$ ，且向量 $c - a$ 与 $c - b$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $∣ c ∣$ 的最大值为。

第 2 题

已知函数

f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, x \in R .

若对任意 $x \in [m, m + 1]$ ，都有

f (2 m - x) + f (m - x) > 0,

则实数 $m$ 的取值范围是。

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

在锐角三角形 $A BC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 。若

a = c - 2 a cos B,

则

\frac{12 sin ^{2} A}{4 sin A - sin C}

的取值范围为。

第 5 题

本题整理中，不计分。

第 6 题

已知不等式

∣ x^{2} + a x + 2∣ \geq ∣ x + 1∣

对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是。

第 7 题

已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线

x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1

的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点。记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围是。

第 8 题

本题整理中，不计分。

第 9 题

三角形 $A BC$ 内接于半径为 $R$ 的圆， $a, b, c$ 分别是 $A, B, C$ 的对边，且

2 R (sin^{2} B - sin^{2} A) = (b - c) sin C .

(1)
若 $c = 3$ ， $A D$ 是 $BC$ 边上的中线， $A D = \frac{19}{2}$ ，求三角形 $A BC$ 的面积；
(2)
若 $∠ B A C$ 的平分线 $A M$ 交 $BC$ 于点 $M$ ，且 $A M = 1$ ，求 $3 b + c$ 的最小值。

第 10 题

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知

{\frac{S _{n}}{n ( n + 1 )}}

是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列。

(1)
求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
令
$b_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) a _{n}}{S _{n}},$
$T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。证明：
$i = 1 \sum n T_{i} \leq \frac{6 ^{n} - 1}{5} .$

第 11 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

上一点， $M$ 为线段 $O A$ 上的动点。过点 $M$ 作直线交椭圆于 $P, Q$ 两点，若

PM = 2 MQ,

求四边形 $OP A Q$ 面积 $S$ 的最大值。