培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
画出 \(y=\frac6x\) 的图象，它是什么形状？这一节弄清 \(k\) 的正负怎样决定图象的位置和增减，为什么“增减”必须加上“在每一个象限内”，以及 \(k\) 和矩形面积的关系。
本节导读 先修：22.2 函数图象 · 23.2 一次函数图象 · 27.1 反比例函数概念 · 本节路线
要用到：列表描点连线作图法（回看 22.2）、一次函数单调性与正负系数判定（回看 23.2）、反比例函数的解析式与乘积守恒（回看 27.1）。
- 从描点画图切入：为什么反比例函数的图象会分裂成两条互不相连的双曲线？
- 系数 \(k\) 决定象限：\(k > 0\) 占一三象限，\(k \lt 0\) 占二四象限。
- 注意：描述增减性时，要说明“在每一个象限内”，不能把同一象限内的增减规律用于跨象限比较。
- 对称之美：关于原点 \((0, 0)\) 成中心对称，关于直线 \(y = x\) 与 \(y = -x\) 轴对称。
- k 的几何意义：双曲线上任意一点向两轴作垂线，围成矩形面积恒等于 \(|k|\)。
- 动手实验：在双曲线参数控制台与动点矩形面积投影台亲手探究。
- 自检与中考真题演练，练习判断象限、比较函数值大小和用割补法计算面积。
为了探究反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 的图象特征，我们通过“列表、描点、连线”画出它的图象。自变量 \(x\) 能取哪些值？对应函数值 \(y\) 怎么变化？
观察画出的图象，反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 的图象是什么形状？
B。反比例函数的图象是由两支光滑曲线组成的，叫作双曲线（hyperbola）。
因为 \(x \ne 0\)，图象在 \(y\) 轴处被隔断成左右两支；因为 \(y \ne 0\)，双曲线无限接近坐标轴却永远不能与坐标轴相交！
1. 先认识几个词：双曲线与反比例函数的几何性质
前置知识：反比例函数的定义（回看 27.1）。反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \ne 0\)）的图象与性质完全由比例系数 \(k\) 的正负唯一掌控：
- 图象名称：双曲线（由两支无限延伸的光滑曲线组成）。
- 象限分布：当 \(k > 0\) 时，两支分别位于第一、三象限；当 \(k \lt 0\) 时，两支分别位于第二、四象限。
- 增减性铁律：当 \(k > 0\) 时，在每一个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小；当 \(k \lt 0\) 时，在每一个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。
- 对称特征：关于原点 \((0, 0)\) 成中心对称；关于直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 成轴对称。
直觉微图解 ①比例系数 k 正负与图象象限分布对比
生死关卡 1为什么坚决不能漏掉“在每一个象限内”？
以 \(y = \frac{2}{x}\)（\(k=2>0\)）为例：取第三象限点 \(A(-1, -2)\)，第一象限点 \(B(1, 2)\)。横坐标从 \(-1\) 增大到 \(1\)，但纵坐标从 \(-2\) 增大到 \(2\)！若跨象限，函数值不仅没减小反而增大了！因此说增减性时，必须且只能在同一象限（或同一支）内比较！
解题秘籍 2跨象限比大小金法则：先看正负，再比同支
当给出的点分布在不同象限时，绝不能直接盲目比大小！正确战术是：先看横坐标正负定象限，确定纵坐标的正负区间（如第二象限 \(y > 0\)，第四象限 \(y \lt 0\)，则第二象限必然大于第四象限）；位于同一象限的点，再根据增减性精准排定高低。
2. 比例系数 k 的几何意义与面积关系
直觉微图解 ②k 的几何意义：动点拉出的矩形面积恒等于 |k|
3. 对称之美：中心对称与双轴对称
直觉微图解 ③双曲线的三种对称性
为什么双曲线上任意一点围成的矩形面积都是常数？
设点 \(P(x, y)\) 是反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图象上的任意一点。过点 \(P\) 向 \(x\) 轴作垂线，垂足为 \(A(x, 0)\)；向 \(y\) 轴作垂线，垂足为 \(B(0, y)\)。
所得矩形 \(PAOB\) 的两边长分别为 \(|x|\) 和 \(|y|\)，因此矩形面积为：
用 \(S\) 表示矩形 \(PAOB\) 的面积：\[ S = |x| \cdot |y| = |xy| = |k| \]
同理，连接 \(OP\)，直角三角形 \(POA\) 的面积为矩形的一半：\(S_{\triangle} = \frac{1}{2}|x| \cdot |y| = \frac{1}{2}|k|\)。只要点在曲线上，无论点怎么滑动，面积永远不变！
注意绝对值：反求 k 时千万别漏负号！
中考经常出现这样的题目：“如图，点 \(P\) 在反比例函数图象上，过 \(P\) 作坐标轴垂线围成矩形面积为 6，求函数解析式”。
此时由面积可知 \(|k| = 6 \implies k = \pm 6\)。如果图象在第一、三象限，则 \(k = 6\)；如果图象在第二、四象限，则必须取负数 \(k = -6\)！漏看象限漏加负号是极其惨痛的扣分点。
几何对称性：反比例函数与正比例函数的交点必然关于原点对称
正比例函数 \(y = mx\) 与反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 的图象都关于原点 \((0, 0)\) 成中心对称。
联立方程组 \(\begin{cases} y = mx \\ y = \frac{k}{x} \end{cases} \implies mx^2 = k \implies x^2 = \frac{k}{m}\)。
当 \(km > 0\) 时，方程有两个互为相反数的解 \(x_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)，\(x_2 = -\sqrt{\frac{k}{m}}\)。对应的函数值也互为相反数 \(y_1 = -y_2\)。所以若两函数图象相交于 \(A, B\) 两点，则线段 \(AB\) 必过原点且被原点平分，即点 \(A\) 与点 \(B\) 必然关于原点对称！
如何快速解决反比例函数与一次函数的面积综合大题？
反比例函数综合压轴题中，经常涉及三角形面积与交点坐标。关键技巧是“铅垂高与水平宽割补法”：
若三角形三个顶点都不在坐标轴上，过顶点作平行于 \(y\) 轴的垂线，将任意三角形分割为左右两个以铅垂线段为公共底边的直角/钝角三角形，面积等于 \(\frac{1}{2} \times \text{铅垂高} \times \text{水平宽}\)，免去复杂距离计算！
示范例题图象象限、常数范围与单调性比较
题目：已知反比例函数 \(y = \frac{2m+1}{x}\) 的图象的一支位于第二象限。
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 \(m\) 的取值范围是什么？
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 \(A(x_1, y_1)\) 和点 \(B(x_2, y_2)\)。如果 \(x_1 > x_2\)，那么 \(y_1\) 和 \(y_2\) 有怎样的大小关系？
【Polya 审题与理解】
已知一支在第二象限，根据中心对称性可知另一支必在第四象限；比例系数为整体 \(2m+1\)，由第二象限可知系数小于 0；第二问明确了“在某一支上”，可直接运用单调性。
先自己想一想，再展开：想办法、完整解答、回头看
【拟定计划】
第一问：由第二象限得出第四象限，列出不等式 \(2m + 1 \lt 0\) 求出 \(m\)；第二问：因为 \(k \lt 0\)，在每一支上 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大，由 \(x_1 > x_2\) 得出 \(y_1 > y_2\)。
【执行解答】
解：(1) 因为反比例函数的图象是由两支关于原点对称的双曲线组成的，已知一支位于第二象限，所以另一支必定位于第四象限。
因为双曲线位于第二、四象限，所以反比例系数小于 0，即：
\[ 2m + 1 \lt 0 \implies m \lt -\frac{1}{2} \]
(2) 因为 \(2m + 1 \lt 0\)，所以在这个函数图象的任意一支上，函数值 \(y\) 随自变量 \(x\) 的增大而增大。
因为点 \(A(x_1, y_1)\) 与点 \(B(x_2, y_2)\) 在图象的某一支上，且 \(x_1 > x_2\)，
所以 \(y_1 > y_2\)。
【回顾与反思】
注意第二问的前提是“在某一支上”，如果未说明在同一支上，则必须分在同一象限和分处不同象限进行分类讨论，绝不能直接下结论。
【自测 1 · 象限判定】反比例函数 \(y = -\frac{3}{x}\) 的图象位于（ ）
D。比例系数 \(k = -3 \lt 0\)，根据反比例函数性质，图象必定位于第二、四象限。
【自测 2 · 单调性避坑】点 \(A(-3, y_1)\)、\(B(-1, y_2)\)、\(C(2, y_3)\) 在反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 的图象上，则 \(y_1, y_2, y_3\) 的大小关系为（ ）
A。比例系数 \(k = 6 > 0\)。点 \(C(2, y_3)\) 在第一象限，\(y_3 = \frac{6}{2} = 3 > 0\)；点 \(A, B\) 在第三象限，\(y_1, y_2 \lt 0\)。在第三象限内 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小，因为 \(-3 \lt -1\)，所以 \(y_1 > y_2\)。综合得 \(y_3 > y_1 > y_2\)。
【自测 3 · 几何面积反求】点 \(P\) 是反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \lt 0\)）图象上一点，过点 \(P\) 向两坐标轴作垂线围成的矩形面积为 \(8\)，则 \(k\) 的值为（ ）
B。由 \(k\) 的几何意义，矩形面积 \(S = |k| = 8\)。因为已知 \(k \lt 0\)（图象在第二或四象限），所以 \(k = -8\)。
4. 用之前必查：三大翻车现场
先拉 \(k\)，看两支曲线怎样翻到另一对象限；再沿着曲线移动点 \(P\)，看矩形的面积是否真的不变。
基础实验 ①\(k\) 的正负决定一切：象限与增减
进阶实验 ②移动点 \(P\)：矩形面积恒等于 \(\lvert k\rvert\)（进阶）
③ 由我列表、描点，分开画两支
研究 \(y=k/x\)（\(k\ne0\)，\(x\ne0\)）。自己选k，再选三个不同的正幅值a、b、c，配成六个正负x。所有y由你算，点由你落，两支由你分别手连，不自动给标准曲线。
精确数值用整数、最多12位小数或整数分数（正分母），每个整数词元最多12位；首尾、分数线两侧可空格，数字内部不能拆开。不收逗号、指数、算式或单位，支持全角数字与负号“−”，不转换上下标/罗马数字。参数约分后分母不超过100。
为便于看清，本工具支持 \(1/4\le|k|\le6\)，\(1/4\le a<b<c\le6\)，所选各点还须 \(1/4\le|y|\le6\)。这些是作图窗限制；一般反比例函数只要求k≠0，x可以取一切非零实数，窗外并非没有图象。
1. 自己列表，再独立落点
| 点 | 我选的x | 我算的y |
|---|
抽象坐标x、y无物理单位，两轴每大格1；窗口均为−6到6。选择表行后自己输入图上坐标并主动落点；也可在图上点取游标再落点。键盘方向键每次1/4单位，Enter取游标坐标，不自动落点。分数坐标可用输入框精确填写。
2. 分别留下两支的曲线痕迹
核点后按住图格手描，或逐次输入自己的路径点；手描开启时Enter加入游标位置。每支按x从小到大，画所选三点之间的局部段，两端接到自描点，不接到轴上。另一支必须另画；在所选段以外曲线仍继续，不能把窗边当函数端点。只靠近你已落下的点8屏幕像素内会吸附，不生成正确点。
屏幕以短折段记录近似手描，相邻横向间隔不超过1/2单位，并经过各个自描点。近似核图的纵误差须同时不超过约1/4单位和该处|y|的1/4，有浮点舍入余量；这是本屏幕准则，不是精确图象证明。故意试触轴、跨支或竖段，再按反馈纠正；重复同点可，回描只提示顺序不合，不由此直接断言非函数。
3. 从自己的图与式子写观察
改k或成对取值会清掉本轮表、点、画痕和文字；已完成正负k的计数保留至“清空”。本轮文字可先自行复制。
图上观察之后，再看一般依据
\(x\ne0\)、\(k\ne0\)给出\(y=k/x\ne0\)，因此图象不与两轴相交。由xy=k的符号判断象限；\((-x)(-y)=xy=k\)，所以成对点关于原点对称。有限点只能核对这些取值，不证明整条曲线的性质。
若\(x_1<x_2\)且在同一支，\(x_1x_2>0\)，有\(y_2-y_1=\dfrac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}\)。k>0时此差为负，k<0时为正，所以分别在每一支讨论增减；跨x=0时不沿用这个符号前提。检查你自选的跨支反例，不要把两支统一称递增或递减。
自查：成对x非0吗？计算与独立点一致吗？两支分开且未碰轴吗？有限窗外仍有曲线吗？增减是否写明同一支？文字只记录，尚未判定正确；按这些准则修改，不认证纸笔、合作或掌握。
所有草稿仅留本页内存，刷新清除，不写学习账本。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 若反比例函数 \(y=\frac{2-m}{x}\) 的图象在第一、三象限，则 \(m\) 的取值范围是（ ）
B。一、三象限 \(\iff\) 系数大于 \(0\)：\(2-m>0\)，\(m\lt 2\)。A 是把系数写成了 \(m-2\)；C、D 多了“等于”：系数等于 \(0\) 时就不是反比例函数了。
2. 已知反比例函数 \(y=-\frac4x\)，当 \(x_1\lt x_2\lt 0\) 时，\(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小关系是（ ）
C。\(k=-4\lt 0\)，在每一个象限内 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大；\(x_1\lt x_2\lt 0\) 同在第二象限，所以 \(y_1\lt y_2\)。例如 \(x_1=-4,x_2=-2\)：\(y_1=1,y_2=2\)。A 是套了“\(k>0\) 时减小”；D 是没发现两点在同一象限。
易错
3. 点 \(A\) 是反比例函数 \(y=\frac{10}{x}\) 图象上一点，过 \(A\) 作 \(x\) 轴的垂线，垂足为 \(B\)，连接 \(OA\)，则 \(\triangle AOB\) 的面积为（ ）
提示
矩形面积是 \(\lvert k\rvert\)；三角形只占它的一部分。
A。设 \(A(a,b)\)，\(ab=10\)，\(S_{\triangle AOB}=\frac12\lvert a\rvert\lvert b\rvert=\frac12\times10=5\)。B 是把三角形当成了矩形（漏乘 \(\frac12\)）；C 多乘了 \(2\)；D 是 \(\frac{1}{4}\lvert k\rvert\)。
4. 反比例函数 \(y=\frac kx\) 的图象上有两点 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，若 \(x_1x_2\lt 0\)，则下列结论一定成立的是（ ）
提示
\(x_1x_2\lt 0\) 说明两点的横坐标一正一负。纵坐标的正负由 \(k\) 和横坐标共同决定，先试 \(k>0\)，再试 \(k\lt 0\)。
D。\(y_1y_2=\frac{k}{x_1}\cdot\frac{k}{x_2}=\frac{k^2}{x_1x_2}\)，分子 \(k^2>0\)，分母 \(\lt 0\)，所以 \(y_1y_2\lt 0\)。A、C 与横坐标异号矛盾；B 只有 \(x_1=-x_2\) 时才成立。
5. 点 \(A(-2,y_1)\)、\(B(3,y_2)\) 都在反比例函数 \(y=-\frac6x\) 的图象上，则 \(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小关系是（ ）
提示
两个点在同一个象限吗？先算出它们各自的 \(y\) 值是正还是负。
C。\(y_1=\frac{-6}{-2}=3>0\)，\(y_2=\frac{-6}{3}=-2\lt 0\)，所以 \(y_1>y_2\)。A 是用“\(k\lt 0\) 时 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大”套到了不同象限的两点上（\(-2\lt 3\) 就以为 \(y_1\lt y_2\)）；D 是以为跨象限就不能比，其实先看正负就能比。
挑战
6. 反比例函数 \(y=\frac kx\) 的图象在第二、四象限，点 \(P\) 在图象上，\(PA\perp y\) 轴于点 \(A\)，\(\triangle PAO\) 的面积为 \(4\)，则这个函数的解析式是（ ）
提示 1：面积怎么用
\(S_{\triangle PAO}=\frac12\lvert k\rvert\)。先求 \(\lvert k\rvert\)。
提示 2：符号怎么定
“第二、四象限”告诉你 \(k\) 是正还是负。
B。\(\frac12\lvert k\rvert=4\)，\(\lvert k\rvert=8\)；第二、四象限 \(k\lt 0\)，\(k=-8\)。A 忘了 \(k\) 的符号；C 把三角形面积当成了 \(\lvert k\rvert\)；D 两个错误都犯了。
本节中考真题
共 44 道，含 20 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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近三年各地中考原卷真题，检验象限判断、同一象限内的增减性，以及“先分正负再比大小”的跨象限比较。
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