培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十六章 整式的乘法
16.2 整式的乘法
整式里的字母表示数，所以数的运算律在整式里照样能用。靠交换律、结合律和幂的运算，单项式能相乘；靠分配律，多项式的乘法一步步化成单项式的乘法。反过来，除法就是乘法的逆运算。
本节导读 先修：16.1 幂的运算、4.2 整式的加减 · 本节路线
要用到：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方（回看 16.1）；单项式与多项式、合并同类项、去括号（回看 4.2）；有理数乘除的符号法则（回看 2.2）。
- 从花圃面积进入：长加长了，面积怎么写？
- 单项式乘单项式：系数、相同字母、单独字母三部分。
- 单项式乘多项式：分配律，乘遍每一项。
- 多项式乘多项式：每一项乘每一项，用项数查漏。
- 除法是乘法的逆运算：同底数幂相除、\(a^0=1\) 的规定、单项式与多项式除以单项式。
- 练习与中考真题：化简求值先化简再代入。
学校有一块长方形花圃，宽 \(5\) m、长 \(x\) m。现在把长再加长 \(3\) m，宽不变。点按钮换几个 \(x\)，看新花圃由哪两块组成：
新花圃的面积用 \(x\) 表示是多少平方米？
B。新长方形长 \(x+3\)、宽 \(5\)，面积 \(5(x+3)\)；也可以分两块算：\(5x\) 加上 \(5\times3=15\)。选 A 只乘了括号里的第一项；选 C 是把 \(5\) 和 \(3\) 加了；选 D 把三个数全乘到了一起。
\(5(x+3)=5x+15\) 是七年级学过的去括号。如果宽也是一个式子，比如 \(2x\)，甚至是 \(x+1\)，又该怎么乘？这一节就讲整式乘整式。
1. 先认识几个词：三类整式乘法
前置提醒：单项式、多项式、系数、项（回看 4.1）；去括号时括号外只是一个数（回看 4.2）。本节把括号外推广成单项式、多项式，分三类：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，最后都化成第一类。
直觉微图解 ①单项式相乘：按“系数、每个字母”分栏，各算各的
依据 ①字母表示数，运算律照用
单项式乘单项式 = 交换律、结合律 + 同底数幂的乘法。系数是数，按有理数乘法定符号。
依据 ②分配律把“多”化成“单”
单项式乘多项式用一次分配律；多项式乘多项式把一个多项式看成整体，再用一次。
2. 核心点：单项式乘单项式
\(3a^2b\cdot(-2a^3)\)
\(=\color{#966524}{3\times(-2)}\cdot\color{#2F7A56}{a^{2+3}}\cdot\color{#B5452F}{b}=-6a^5b\)
系数相乘；同底数幂相乘；单独字母照抄。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \(4a^2b\cdot(-3ab^3)\)；(2) \((-2x^2)^3\cdot3xy\)。
① 读懂题意：都是单项式相乘；(2) 第一个因式带乘方。先做什么？
提示 1：有乘方先乘方
\((-2x^2)^3\) 用积的乘方：\((-2)^3(x^2)^3=-8x^6\)。
看完整示范
④ 回头看：积的次数等于两个单项式次数之和：(1) \(3+4=7\)，\(-12a^3b^4\) 正好是 \(7\) 次。可以用它快速查错。
自己试试：\(5x^3\cdot(-2x^2)\) 等于多少？
A。系数 \(5\times(-2)=-10\)，\(x^{3+2}=x^5\)。选 B 把指数乘了；选 C 把系数加了；选 D 丢了符号。
3. 核心点：单项式乘多项式
开头的花圃，宽换成单项式也一样：长方形面积 = 每一块面积之和。代数上就是分配律。
直觉微图解 ②用单项式去乘多项式的每一项，一格一次乘法
多项式有几项，乘出来（合并前）就有几项；每一项连同它前面的符号一起乘。
例 2（示范）
计算：(1) \(-3x(2x^2-x+4)\)；(2) \((-2a)^2(a-3)\)。
① 读懂题意：(1) 多项式有三项：\(2x^2\)、\(-x\)、\(4\)；(2) 先把 \((-2a)^2\) 算出来。
提示：先写满再化简
(1) 写成 \((-3x)\cdot2x^2+(-3x)\cdot(-x)+(-3x)\cdot4\)，每一项带括号，符号就不会丢。
看完整示范
④ 回头看：负单项式乘进去，每一项都变号：\(-x\) 变成了 \(+3x^2\)。
自己试试：\(-2x(x^2-3x)\) 等于多少？
A。\((-2x)\cdot x^2=-2x^3\)，\((-2x)\cdot(-3x)=+6x^2\)。选 B 第二项没变号；选 C 只乘了第一项；选 D 两项符号都反了。
4. 核心点：多项式乘多项式
\((a+b)(p+q)\)：先把 \(p+q\) 看成一个整体 \(m\)，\((a+b)m=am+bm\)；再把 \(m=p+q\) 代回去，各用一次分配律，得 \(ap+aq+bp+bq\)。画成表格，就是“每一项乘每一项”。
直觉微图解 ③行乘列，填满表格再合并
合并同类项前，积的项数 = 两个多项式项数的乘积（\(2\times2=4\)，\(2\times3=6\)），用来查漏项。
例 3（示范）
计算：(1) \((3x-2)(x+4)\)；(2) \((x-2)(x^2+3x-1)\)。
提示 1：先数项数
(1) 应写出 \(2\times2=4\) 项；(2) 应写出 \(2\times3=6\) 项，再合并。
看完整示范
④ 回头看：像 \((x+2)(x+3)=x^2+5x+6\) 这类首项都是 \(x\) 的乘积，一次项系数是 \(2+3\)，常数项是 \(2\times3\)。这是乘出来的规律，可以用来速算检查。
自己试试：\((a+3)(a-5)\) 等于多少？
A。\(a^2-5a+3a-15=a^2-2a-15\)。选 B 只乘了首首、尾尾两项（漏项）；选 C 一次项符号错；选 D 把 \(-5a\) 和 \(-3a\) 合并了（\(3a\) 的符号弄错）。
5. 核心点：除法是乘法的逆运算
\(a^7\div a^3\) 要找的是“和 \(a^3\) 相乘得 \(a^7\) 的式子”。\(a^4\cdot a^3=a^7\)，所以商是 \(a^4\)。看成约分也一样：\(7\) 个 \(a\) 里约掉 \(3\) 个。
直觉微图解 ④同底数幂相除：上下一对一对约掉
\(a^m\div a^n=a^{m-n}\ (a\ne0,\ m>n)\)
同底数幂相除，指数相减。
\(\color{#B5452F}{a^0=1\ (a\ne0)}\)
\(a\ne0\)：除数不能为 \(0\)。\(a^m\div a^m\) 一方面等于 \(1\)，一方面按指数相减得 \(a^0\)，所以规定 \(a^0=1\)。它是规定，不是推出来的；\(0^0\) 没有意义。
单项式除以单项式：系数相除、同底数幂相除，只在被除式里有的字母连同指数照抄。多项式除以单项式：每一项分别除以这个单项式，再相加。
例 4（示范）
计算：(1) \(-15a^5b^3\div5a^2b\)；(2) \((12x^3y-8x^2y^2+4xy)\div4xy\)。
提示：每一步都能用乘法验算
商 × 除式 = 被除式。(2) 最后一项 \(4xy\div4xy\) 等于多少？
看完整示范
④ 回头看：三项除以单项式，商也有三项；被除的项和除式相同时商是 \(1\)，不能漏。
自己试试：\((9m^3-6m^2+3m)\div3m\) 等于多少？
A。逐项相除：\(3m^2\)、\(-2m\)、\(1\)。选 B 漏了最后的 \(1\)；选 C 只除了系数，忘了 \(m\) 也要除；选 D 符号错。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：被除指数较小时还剩什么？
设 \(a\ne0\)。把 \(a^2\div a^5\) 写成因数相除，约去相同因数后，分子分母各剩什么？结果还能写成整式吗？
想好后看解释
分子留下1，分母还剩3个a，所以结果为 \(1/a^3\)。条件是a≠0，原除式才不为0。本节必做的整式除法仍限定商为整式。
① 分配律的面积：整体算 = 分块算
拖动圆点（或点一下再用方向键）改变长方形的高 \(h\) 和两段宽 \(p\)、\(q\)。
② 多项式乘多项式：四块拼成一个长方形
大长方形长 \(x+p\)、宽 \(x+q\)。拖动 \(x\)、\(p\)、\(q\)，看四块面积怎么加起来。
③ 进阶：同底数幂相除，什么时候出现 \(a^0\)？
上面一行是被除式 \(a^m\) 的因数，下面一行是除式 \(a^n\) 的因数（\(a\ne0\)）。拖动 \(m\)、\(n\)，一对一对约掉。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \(2x^2y\cdot(-3xy^2)\)。
A。系数 \(2\times(-3)=-6\)，\(x^{2+1}=x^3\)，\(y^{1+2}=y^3\)。B 指数没相加；C 把系数加了；D 丢了负号。
2. 一块长方形菜地，宽 \(a\) m，长比宽的 \(2\) 倍多 \(3\) m。菜地面积是多少平方米？
A。长 \(2a+3\)，面积 \(a(2a+3)=2a^2+3a\)。B 第二项没乘 \(a\)；C 把乘法做成了加法；D 把不是同类项的 \(2a^2\) 和 \(3a\) 合并了。
易错
3. 计算 \((x-4)(x+2)\)。
提示
应写出 \(4\) 项：\(x\cdot x\)、\(x\cdot2\)、\((-4)\cdot x\)、\((-4)\cdot2\)，再合并。
B。\(x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8\)。A 漏了中间两项；C 一次项符号反了；D 把 \(+2x\) 当成了 \(-2x\)。
4. 计算 \((-3a)(2a^2-a+1)\)。
提示
三项都要乘 \(-3a\)，每一项连同符号：\(2a^2\)、\(-a\)、\(+1\)。
B。\((-3a)\cdot(-a)=+3a^2\)，\((-3a)\cdot1=-3a\)。A 第二项没变号；C 最后一项没乘；D 漏了最后一项。
5. 下列计算正确的是哪一个？
提示
每个选项都用“乘回去”验算一下。
B。任何不等于 \(0\) 的数的 \(0\) 次幂都等于 \(1\)，\(-7\ne0\)。A 应为 \(a^6\)；C 应为 \(2a^2-1\)；D 应为 \(1\)（\(a\ne0\)）。
挑战
6. 若 \((x+m)(x-3)\) 的展开式中不含 \(x\) 的一次项，则 \(m\) 的值是多少？
提示 1：先展开
\((x+m)(x-3)=x^2-3x+mx-3m\)。
提示 2：一次项的系数
把含 \(x\) 的两项合并：\((m-3)x\)。不含一次项，就是它的系数为 \(0\)。
A。一次项系数 \(m-3=0\)，\(m=3\)。验证：\((x+3)(x-3)=x^2-9\)，确实没有一次项。B 是符号弄反了；C 是以为“不含”就让 \(m=0\)，但 \((x+0)(x-3)=x^2-3x\) 仍有一次项。
本节中考真题
共 6 道，含 2 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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整式乘除常以填空题和“化简求值”解答题出现。做完看分步解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 复数的四则运算复数的加减法与乘法 $(a+b\mathrm i)(c+d\mathrm i)$ 完全沿用初中多项式合并同类项与整式展开法则，只需将 $\mathrm i^2$ 替换为 $-1$；复数除法分母实数化则沿用平方差公式。