培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第二十九章 圆
29.3 弧长和扇形面积
从摩天轮转过的弧长、折扇铺开的扇面切入，推导弧长公式 \(l = \frac{n\pi R}{180}\) 与扇形面积公式 \(S = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{1}{2}lR\)，学习圆锥侧面展开图（母线等于扇形半径、底面周长等于扇形弧长），掌握割补法求解不规则阴影面积。
本节导读 先修：20.1 勾股定理 · 29.1 圆的有关概念 · 29.2 圆的有关性质 · 本节路线
要用到：勾股定理计算（回看 20.1）、圆的周长与圆心角性质（回看 29.1、回看 29.2）。
- 从摩天轮观光舱运行切入：旋转特定角度时，观光舱在空中划过的弯曲路程是多少？
- 掌握弧长公式推导：从圆周长 \(2\pi R\) 到 \(1^\circ\) 的弧长 \(\frac{\pi R}{180}\)，再到 \(n^\circ\) 的弧长公式 \(l = \frac{n\pi R}{180}\)；
- 掌握扇形面积公式推导：从圆面积 \(\pi R^2\) 到 \(S = \frac{n\pi R^2}{360}\)，以及类比三角形的 \(S = \frac{1}{2}lR\)；
- 理解圆锥侧面展开图的核心等量关系：展开扇形半径等于母线 \(l\)，展开扇形弧长等于底面圆周长 \(2\pi r\)；
- 动手交互实验：扇形圆心角与面积测算台、进阶圆锥与展开扇形联动台（含重置按钮）；
- 巩固练习与真题演练，吃透弧长与扇形面积计算、圆锥侧面展开问题。
摩天轮在空中缓缓转动，观光舱沿着巨大的圆弧轨迹上升。如果我们知道摩天轮的半径和转过的圆心角度数，怎样算出观光舱在空中走过的圆弧长度？
某景区摩天轮的轮盘半径为 \(R = 20\text{ m}\)，观光舱从最低点 \(A\) 出发逆时针匀速旋转。当观光舱旋转了 \(120^\circ\) 的圆心角到达点 \(B\) 时，观光舱在空中划过的圆弧路径长度是（ ）
B。摩天轮整周对应 \(360^\circ\)，圆周长为 \(C = 2\pi R = 2 \times \pi \times 20 = 40\pi\text{ m}\)。
旋转 \(120^\circ\) 所占整圆的比例为 \(\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}\)。因此，观光舱划过的弧长为 \(\frac{1}{3} \times 40\pi = \frac{40}{3}\pi\text{ m}\)。可见，弧长就是圆周长的一部分，比例正好等于圆心角占 \(360^\circ\) 的比例。
1. 先认识几个词：弧长、扇形与圆锥母线
扇形的两条边是圆的半径。
弧是圆周的一部分；长度和圆心角、半径都有关。
先检查条件，再使用关系；彩色标注帮助区分量。
前置知识：圆的周长与圆心角（回看 29.1、回看 29.2）。在半径为 \(R\) 的圆中，因为 \(360^\circ\) 的圆心角所对的弧长就是圆周长 \(C = 2\pi R\)，所以 \(1^\circ\) 的圆心角所对的弧长是 \(\frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}\)。由此得到 \(n^\circ\) 的圆心角所对的弧长公式：
- 弧长公式：\[l = \frac{n\pi R}{180}\]
- 注意事项：公式中的 \(n\) 表示 \(1^\circ\) 圆心角的倍数，计算时不带度数单位 \(^\circ\)；分母是约分后的 \(180\)。
直觉微图解 ①弧长公式推导：从 1° 份额到 n° 弧长
基础示范：先认半径和圆心角，再按整圆的份数算
半径为 \(8\text{ cm}\) 的圆中，取圆心角为 \(90^\circ\) 的扇形。它占整圆的 \(90/360=1/4\)。因此弧长为 \(l=\frac14\times2\pi\times8=4\pi\text{ cm}\)，面积为 \(S=\frac14\times\pi\times8^2=16\pi\text{ cm}^2\)。
检查：用另一条关系 \(S=\frac12lR=\frac12\times4\pi\times8=16\pi\text{ cm}^2\)，结果相同。弧长用长度单位，面积用平方单位；两种计算都先确认使用的是同一个半径和同一个圆心角。
自己试试 1：已知 \(\odot O\) 的半径 \(R = 9\)，则 \(100^\circ\) 的圆心角所对的弧长是（ ）
B。直接应用弧长公式：\(l = \frac{n\pi R}{180} = \frac{100 \times \pi \times 9}{180} = 5\pi\)。
公式细究：为什么公式里的 \(n\) 不能带度数单位？
在弧长公式 \(l = \frac{n\pi R}{180}\) 中，圆心角的度数是 \(n^\circ\)。由于推导时我们把 \(n^\circ\) 与整圆的 \(360^\circ\) 做比值：\(\frac{n^\circ}{360^\circ} = \frac{n}{360}\)，度数单位 \(^\circ\) 已经在比值中相互抵消变成了纯比率。因此代入公式时 \(n\) 只取纯数字。
2. 扇形面积公式：角度比例与“曲边三角形”双视角
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形（sector）。在半径为 \(R\) 的圆中，因为 \(360^\circ\) 的圆心角对应圆面积 \(\pi R^2\)，所以圆心角为 \(n^\circ\) 的扇形面积为：
- 角度比例公式：\(S_{\text{扇形}} = \frac{n\pi R^2}{360}\)（注意分母是 \(360\)，且半径是 \(R^2\)）；
- 弧长半径公式（类比三角形）：比较扇形面积公式与弧长公式 \(l = \frac{n\pi R}{180}\)，可得： \[S_{\text{扇形}} = \frac{1}{2}lR\] 把弧长 \(l\) 看作“底”，半径 \(R\) 看作“高”，形式与三角形面积 \(\frac{1}{2}\text{底}\times\text{高}\) 完全一致！
直觉微图解 ②扇形面积双公式：角度切分 vs 微小三角形拼接
自己试试 2：已知一个扇形的弧长为 \(4\pi\)，半径为 \(3\)，则该扇形的面积为（ ）
C。已知弧长 \(l = 4\pi\) 和半径 \(R = 3\)，直接套用 \(S = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 3 = 6\pi\)，无需反求圆心角。
典例 1（波利亚四步法）：割补法求弓形（不规则阴影）面积
【例 1】水平放置的圆柱形排水管道截面半径为 \(R = 12\text{ cm}\)，其中水面高 \(h = 6\text{ cm}\)（水面在圆心下方），求截面上有水部分（弓形）的面积。
- ① 读懂题意：圆半径 \(OA = OB = 12\text{ cm}\)，水深 \(CD = 6\text{ cm}\)，水面为弦 \(AB\)，有水部分是劣弧 \(\widehat{ACB}\) 与弦 \(AB\) 围成的弓形，求弓形面积。
- ② 想办法：弓形面积无法直接套公式，采用“割补法”：\(S_{\text{弓形}} = S_{\text{扇形 }OAB} - S_{\triangle OAB}\)。为此需要先求出圆心角 \(\angle AOB\) 和弦长 \(AB\)。
- ③ 执行 + 执行中检查：连接 \(OA, OB\)，作 \(OD \perp AB\) 于 \(D\)，则 \(OD = OC - CD = 12 - 6 = 6\text{ cm}\)。在 \(\text{Rt}\triangle OAD\) 中，因为 \(OD = 6 = \frac{1}{2}OA\)，所以 \(\angle OAD = 30^\circ, \angle AOD = 60^\circ\)，故圆心角 \(\angle AOB = 120^\circ\)。由勾股定理得 \(AD = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\)，弦长 \(AB = 12\sqrt{3}\text{ cm}\)（检查：\(S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2\)）。扇形面积 \(S_{\text{扇形 }OAB} = \frac{120\pi \times 12^2}{360} = 48\pi\text{ cm}^2\)。故有水部分面积 \(S = (48\pi - 36\sqrt{3})\text{ cm}^2\)。
- ④ 回头看：求圆中阴影面积的核心心法是“化不规则为规则”——把弓形拆成“扇形与三角形的差（或和）”。
3. 圆锥的侧面积与全面积：三维曲面展开为平面扇形
连接圆锥顶点 \(S\) 与底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线（长记为 \(l\)），连接顶点与底面圆心的垂线段叫作圆锥的高（\(h\)）。沿一条母线将圆锥侧面剪开铺平，得到一个平面扇形：
- 勾股定理关系：底面半径 \(r\)、高 \(h\) 与母线 \(l\) 构成直角三角形：\(r^2 + h^2 = l^2\)；
- 半径对应：侧面展开图扇形的半径 等于圆锥的母线长 \(l\)；
- 弧长对应：侧面展开图扇形的弧长 等于圆锥底面圆的周长 \(2\pi r\)；
- 侧面积与全面积：\(S_{\text{侧}} = \frac{1}{2} \times (2\pi r) \times l = \pi r l\)，\(S_{\text{全}} = \pi r l + \pi r^2\)；
- 展开圆心角公式：由 \(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\) 得 \(\frac{n}{360} = \frac{r}{l}\)，即 \(n = \frac{r}{l} \times 360\)。
直觉微图解 ③圆锥侧面展开的对应关系：母线等于扇形半径，底面周长等于扇形弧长
自己试试 3：已知圆锥的底面半径 \(r = 4\)，母线长 \(l = 7\)，则该圆锥的侧面积为（ ）
A。圆锥侧面积公式为 \(S_{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times 4 \times 7 = 28\pi\)。若求全面积（表面积），再加上底面积 \(\pi r^2 = 16\pi\)，全面积为 \(44\pi\)。
典例 2（波利亚四步法）：圆锥侧面展开图求母线与圆锥高
【例 2】用一个半径为 \(10\text{ cm}\)、圆心角为 \(216^\circ\) 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面圆半径 \(r\) 和圆锥的高 \(h\)。
- ① 读懂题意：已知展开扇形的半径即圆锥母线 \(l = 10\text{ cm}\)，扇形圆心角 \(n = 216^\circ\)，求围成圆锥后的底面半径 \(r\) 和高 \(h\)。
- ② 想办法：先利用“底面圆周长等于展开扇形弧长”\(2\pi r = \frac{n\pi l}{180}\) 求出底面半径 \(r\)，再在圆锥轴截面直角三角形中由勾股定理 \(h = \sqrt{l^2 - r^2}\) 求出高 \(h\)。
- ③ 执行 + 执行中检查：由 \(2\pi r = \frac{216\pi \times 10}{180}\)（或 \(\frac{r}{10} = \frac{216}{360} = \frac{3}{5}\)），解得 \(r = 6\text{ cm}\)（检查：底面周长 \(12\pi\text{ cm}\)，扇形弧长 \(\frac{216}{180}\times 10\pi = 12\pi\text{ cm}\)，完全相等）。再由勾股定理得圆锥的高 \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}\)。
- ④ 回头看：解决圆锥侧面展开问题，要用到“扇形半径 \(=\) 母线 \(l\)”和“\(\frac{r}{l} = \frac{n}{360}\)”这两个关系。
秒杀秘诀：圆锥底面半径 \(r\)、母线 \(l\) 与展开扇形圆心角 \(n\) 的比例关系
由“展开扇形弧长等于圆锥底面圆周长”\(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\)，两边同除以 \(2\pi l\) 立得黄金比例式：\[\frac{r}{l} = \frac{n}{360}\]也就是说，圆锥底面半径占母线的几分之几，侧面展开扇形的圆心角就占周角 \(360^\circ\) 的几分之几！例如当 \(l = 2r\) 时，侧面展开图必定是一个半圆（\(n = 180^\circ\)）。
用之前必查：三大翻车现场
实验 1扇形圆心角与面积动态测算台
拖动滑块调节圆心角 \(n\) 与半径 \(R\)，观察扇形形态、精确 \(\pi\) 值与小数近似值的联动验证。
实验 2进阶：圆锥与侧面展开扇形联动台
拖动滑块调节底面半径 \(r\) 与高 \(h\)，观察左侧立体圆锥与右侧侧面展开扇形的实时联动，理解底面周长向展开弧长、母线向扇形半径的精准映射。
练习 1：已知扇形的半径 \(R = 4\)，圆心角为 \(90^\circ\)，则该扇形的弧长为（ ）
B。应用弧长公式：\(l = \frac{90 \times \pi \times 4}{180} = 2\pi\)。
练习 2：已知一个扇形的面积为 \(12\pi\)，圆心角为 \(120^\circ\)，则该扇形的半径 \(R\) 为（ ）
C。由扇形面积公式 \(S = \frac{n\pi R^2}{360}\)，代入数据得 \(12\pi = \frac{120\pi R^2}{360} = \frac{1}{3}\pi R^2\)，解得 \(R^2 = 36 \implies R = 6\)。
练习 3：已知圆锥的底面半径为 \(2\)，高为 \(\sqrt{5}\)，则该圆锥的侧面积是（ ）
A。由勾股定理得母线长 \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3\)。因此圆锥的侧面积为 \(S_{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi\)。
练习 4：已知一个扇形的弧长是 \(6\pi\)，面积是 \(18\pi\)，则该扇形的半径是（ ）
D。直接应用公式 \(S = \frac{1}{2}lR\)：代入得 \(18\pi = \frac{1}{2} \times (6\pi) \times R = 3\pi R\)，解得 \(R = 6\)。
练习 5：已知圆锥的底面半径为 \(3\text{ cm}\)，母线长为 \(4\text{ cm}\)，则这个圆锥的全面积（表面积）是（ ）
提示
全面积等于侧面积 \(\pi r l\) 加上底面圆面积 \(\pi r^2\)，别漏掉底面圆！
C。侧面积 \(S_{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times 3 \times 4 = 12\pi\text{ cm}^2\)，底面积 \(S_{\text{底}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2\)，故全面积 \(S_{\text{全}} = 12\pi + 9\pi = 21\pi\text{ cm}^2\)。
易错提醒：圆锥的“底面半径”与“展开扇形半径”千万别搞混！
圆锥底面圆的半径记为 \(r\)，展开扇形的半径是圆锥的母线记为 \(l\)。计算侧面积时公式是 \(\pi r l\)；审题时还要看清题目求的是“侧面积”还是“全面积（含底面圆 \(\pi r^2\)）”。
巩固练习 1：已知扇形的半径为 \(6\)，圆心角为 \(60^\circ\)，则该扇形的弧长为（ ）
B。根据弧长公式 \(l = \frac{n\pi R}{180}\)，将 \(n = 60\)，\(R = 6\) 代入，得 \(l = \frac{60 \times \pi \times 6}{180} = 2\pi\)，故选 B．
巩固练习 2：若扇形的圆心角为 \(120^\circ\)，半径为 \(3\sqrt{2}\)，则该扇形的面积为（ ）
C。由扇形面积公式 \(S = \frac{n\pi R^2}{360}\)，将 \(n = 120\)，\(R = 3\sqrt{2}\) 代入，注意 \(R^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18\)，故 \(S = \frac{120 \times \pi \times 18}{360} = 6\pi\)，故选 C．
巩固练习 3：已知圆锥的底面半径 \(r = 3\text{ cm}\)，高 \(h = 4\text{ cm}\)，则这个圆锥的侧面积为（ ）
B。圆锥的底面半径 \(r = 3\text{ cm}\)、高 \(h = 4\text{ cm}\) 与母线长 \(l\) 构成直角三角形，由勾股定理得母线长 \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}\)．根据圆锥侧面积公式 \(S_{\text{侧}} = \pi r l\)，得 \(S_{\text{侧}} = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi\text{ cm}^2\)，故选 B．
巩固练习 4：若圆锥的底面半径为 \(2\text{ cm}\)，母线长为 \(6\text{ cm}\)，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为______\(^\circ\)．
查看答案与解析，自行核对
答案：\(120\)
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长．设展开图扇形的圆心角为 \(n^\circ\)，则 \(2\pi \times 2 = \frac{n\pi \times 6}{180}\)，即 \(4\pi = \frac{n\pi}{30}\)，解得 \(n = 120\)．
本节中考真题
共 24 道，含 7 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 六上第4单元 · 圆小学掌握的圆周长 $C=2\pi r$ 与圆面积 $S=\pi r^2$，按圆心角占 $360^\circ$ 的比例拆分即推导出初中的弧长公式与扇形面积公式。
- 小学 · 六下第3单元 · 圆柱与圆锥小学认识圆柱与圆锥的底面和侧面展开图并掌握体积公式，初中在此基础上用弧长与扇形面积公式严格推导圆锥侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl$ 与全面积。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 任意角和弧度制对半径 $r>0$ 的圆，圆心角 $n$ 度（$0\le n\le360$）对应弧长 $l=\dfrac{n\pi r}{180}$；任意角 $\alpha$ 用弧度表示时，转过的弧长为 $l=|\alpha|r$。当 $0\le|\alpha|\le2\pi$ 时，对应扇形面积 $S=\dfrac12lr$。
- 高中 · 简单几何体的表面积与体积圆锥与圆台的侧面展开图是扇形与扇环，高中推导圆锥、圆台侧面积公式直接依赖初中弧长与扇形面积公式。