28.1 图形的旋转

不必！旋转中心是平面内的任意一个固定点：

• 可以在图形的内部（如汽车车轮转动时绕轴心）；
• 可以在图形的顶点上（如把直角三角形绕其直角顶点旋转 \(90^\circ\)）；
• 完全可以在图形的外部（例如把一个三角形绕其外部的定点转动）。无论旋转中心在哪里，非中心点都绕它沿圆运动；旋转中心本身始终不动。

【例 1】在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(\angle B = 30^\circ\)，将 \(\triangle ABC\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转 \(60^\circ\) 得到 \(\triangle DEC\)，点 \(D\) 恰好落在斜边 \(AB\) 上，求 \(\angle ADE\) 的度数。

1. ① 读懂题意：旋转中心是点 \(C\)，旋转角 \(\angle ACD = \angle BCE = 60^\circ\)，点 \(A\) 对应点 \(D\)（在 \(AB\) 上），点 \(B\) 对应点 \(E\)，求 \(\angle ADE\)。
2. ② 想办法：由旋转保距性 \(CA = CD\) 及旋转角 \(\angle ACD = 60^\circ\)，可判定 \(\triangle ACD\) 为等边三角形；再结合旋转全等性质 \(\angle CDE = \angle CAB\) 即可求 \(\angle ADE\)。
3. ③ 执行 + 执行中检查：在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle CAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)。由旋转性质得 \(CA = CD\)，\(\angle ACD = 60^\circ\)，故 \(\triangle ACD\) 是等边三角形，\(\angle CDA = 60^\circ\)。又由 \(\triangle DEC \cong \triangle ABC\) 得 \(\angle CDE = \angle CAB = 60^\circ\)（检查：对应角顶点顺序 \(D \leftrightarrow A\) 一致）。因此 \(\angle ADE = \angle CDA + \angle CDE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\)（射线 \(DC\) 在 \(\angle ADE\) 内，所以这里把两个角相加）。
4. ④ 回头看：凡遇到“旋转角为 \(60^\circ\)”，连接一对不在旋转中心的对应点，可与旋转中心组成等边三角形！这是旋转几何题中最经典的辅助线直觉。

先分清点与中心所连的射线和对应线段所在的直线。转动度数与它们的较小夹角不能无条件画等号。

例如非零线段转90°后，所在直线与原直线垂直；转180°后，两条直线平行或重合。转60°时，两条相交直线的较小夹角为60°；转240°后，直线方向与转60°相同，较小夹角仍为60°，而非中心点连线的普通夹角为120°。应根据具体构型选角，不能把所有角都称作转过的度数。

1. 找关键点：多边形的顶点是决定图形形状的关键点；
2. 连线与画角：连接各关键点与旋转中心 \(O\)，以 \(O\) 为顶点、连线为始边，按指定方向画出等于旋转角 \(\alpha\) 的角；
3. 截取等长：在角的终边上截取对应线段，使得 \(OA' = OA, OB' = OB, OC' = OC\)；
4. 顺次连接：将所得对应顶点顺次连接成多边形。

【例 2】在平面直角坐标系中，点 \(A\) 的坐标为 \((4, 0)\)，将线段 \(OA\) 绕原点 \(O\) 逆时针旋转 \(45^\circ\) 得到线段 \(OA_1\)，求点 \(A_1\) 的坐标。

1. ① 读懂题意：已知线段长 \(OA = 4\)，旋转中心为原点 \(O\)，旋转角为 \(45^\circ\)（逆时针），求对应点 \(A_1\) 的坐标。
2. ② 想办法：由旋转性质可知 \(OA_1 = OA = 4\)，\(\angle AOA_1 = 45^\circ\)。过 \(A_1\) 向 \(x\) 轴作垂线，构造含 \(45^\circ\) 角的等腰直角三角形，用勾股定理计算横纵坐标。
3. ③ 执行 + 执行中检查：作 \(A_1H \perp x\) 轴于 \(H\)。在等腰直角 \(\text{Rt}\triangle OA_1H\) 中，\(\angle A_1OH = 45^\circ\)，故 \(OH = A_1H > 0\)。由勾股定理 \(OH^2 + A_1H^2 = OA_1^2 = 16\)，解得 \(2OH^2 = 16 \implies OH = A_1H = 2\sqrt{2}\)。点 \(A_1\) 在第一象限（检查：横、纵坐标均为正），故 \(A_1(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)。
4. ④ 回头看：验证距离 \(\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = 4 = OA\)，与旋转保距性完全吻合。

画草图定象限法：切忌死背公式，先在草稿纸上标出原点和动点，看它转动 \(90^\circ\) 后落在哪个象限：

• 原点连线转 \(90^\circ\)，水平线段变成竖直线段，竖直线段变成水平线段，横纵坐标数值互换；
• 根据目标象限直接赋符号：第一象限 \((+,+)\)、第二象限 \((-,+)\)、第三象限 \((-,-)\)、第四象限 \((+,-)\)。万无一失！