培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十二章 函数
22.1 函数的概念
世界上的量总在变：水越接越多，电越用越少。这一节先分清一个过程里哪些量在变、哪些不变，再看两个变量之间什么样的“对应”叫函数。
本节导读 先修：代数式的值、不等式、分式与二次根式 · 本节路线
要用到：求代数式的值（回看 3.2）；用不等式（组）表示范围（回看 11.2、11.3）；分式有意义的条件（回看 18.1）；二次根式有意义的条件（回看 19.1）。
- 从接水进入：一个过程里，有的量在变，有的量不变。
- 常量与变量：要放在具体的过程里判断。
- 函数：x 每取一个值，y 都有、而且只有一个值和它对应。
- “谁是谁的函数”有方向；函数值是一个数。
- 自变量的取值范围：式子要有意义，还要符合实际。
- 练习与中考真题，回看最容易错在哪一步。
饮水机下放着一个杯子，杯里原有 \(40\) mL 水。按下开关，每秒流出 \(15\) mL。点下面的按钮，看接了几秒后杯里有多少水：
在接水的这个过程中，下面哪个量始终不变？
C。每秒流出 \(15\) mL，从头到尾没变（原有的 \(40\) mL 也不变）；接水时间 \(t\) 和杯中水量 \(V\) 都在变。选 B 是只看了某一个时刻，没看整个过程。
水量和时间的关系是 \(V=40+15t\)：只要给定一个 \(t\)，就能算出一个确定的 \(V\)。这一节要回答：两个变量之间，什么样的关系叫“函数”？
1. 先认识几个词：常量与变量
前置知识：求代数式的值（回看 3.2）。在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量，数值发生变化的量叫变量。同一个量算常量还是变量，要看说的是哪个过程。点下面三个过程比一比：
直觉微图解 ①同一个长方形，换一个过程，常量和变量就换了
核心概念 ②先说清“在哪个过程中”
找常量和变量，先写“在 ×× 过程中”。常量写出它的数值，变量用字母表示。圆周率 \(\pi\) 在任何过程中都是常量。
核心概念 ③自变量和函数
接水时，先定下时间 \(t\)，水量 \(V\) 就跟着确定：\(t\) 叫自变量，\(V\) 叫 \(t\) 的函数。下面把“跟着确定”说准确。
2. 核心点：什么样的关系叫函数
在一个变化过程中有两个变量 \(x\)、\(y\)。如果 \(x\) 每取定一个值，\(y\) 都有唯一确定的值和它对应，就说 \(x\) 是自变量，\(y\) 是 \(x\) 的函数。这句话里有两层意思，缺一不可：
反过来不要求：不同的 \(x\) 对应同一个 \(y\)，完全允许。
直觉微图解 ②画箭头：从每个 \(x\) 出发，数一数射出几支箭
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
判断下面各题中 \(y\) 是不是 \(x\) 的函数：(1) 正方形的边长 \(x\) cm 与面积 \(y\) cm²；(2) 某班体检时，同学的身高 \(x\) cm 与学号 \(y\)（班上有两位同学身高都是 \(162\) cm）；(3) 某个平年里的月份 \(x\) 与这个月的天数 \(y\)。
① 读懂题意：每道题都有两个变量。要判断的是“\(y\) 是不是 \(x\) 的函数”，该从哪个变量出发去看？
提示 1：从 x 出发，问两件事
任取一个 \(x\)：它有没有对应的 \(y\)？对应的 \(y\) 是不是只有一个？两件事都成立才是函数。
看完整示范
④ 回头看：(2) 反过来看，“学号 → 身高”是函数：每个学号只对应一位同学、一个身高。所以说函数时要讲清谁是自变量。
自己试试：某城市记录了一年中每个月的下雨天数，其中 4 月和 9 月都是 \(11\) 天。下雨天数 \(y\) 是不是月份 \(x\) 的函数？
A。定义只要求每个 \(x\) 对应唯一的 \(y\)。B 把方向弄反了：两个 \(x\) 对同一个 \(y\) 是允许的；C 也不对：函数可以用表格、图给出，不一定有式子。
3. 核心点：“谁是谁的函数”有方向
摩天轮上一个座舱从最低处出发，每过 \(1\) 分钟记一次它离地的高度 \(h\)（米），\(8\) 分钟正好转一圈。从表里“给定 \(t\) 找 \(h\)”和“给定 \(h\) 找 \(t\)”，各能找到几个？
直觉微图解 ③从 \(t\) 找 \(h\) 只有一个，从 \(h\) 找 \(t\) 可能有两个
所以“\(h\) 是 \(t\) 的函数”成立，“\(t\) 是 \(h\) 的函数”不成立。一道题里谁是自变量，由问题说定。（下一节学了函数的图象，还会看到一个“画竖线”的检验办法。）
自己试试：小敏记录了某天各时刻 \(t\) 的气温 \(T\)（℃），上午 9 时和下午 5 时的气温都是 \(18\) ℃。下列说法正确的是：
A。每个时刻只有一个气温，所以 \(T\) 是 \(t\) 的函数。但 \(T=18\) 时对应 9 时和 17 时两个时刻，所以 \(t\) 不是 \(T\) 的函数，B、C 都错；D 是看到“两个时刻同一个气温”就以为都不是函数。
4. 核心点：函数值与函数的解析式
如果当 \(x=a\) 时 \(y=b\)，那么 \(b\) 叫作当自变量的值为 \(a\) 时的函数值。像 \(V=40+15t\) 这样，用含自变量的式子表示函数，这个式子叫函数的解析式，写法是“函数 \(=\) 含自变量的式子”。
自己试试：函数 \(y=2x^2-3x\)，当 \(x=-1\) 时的函数值是多少？
A。\(2\times(-1)^2-3\times(-1)=2+3=5\)。B 是把 \(-3x\) 算成了 \(-3\)；C 是把 \((-1)^2\) 当成了 \(-1\)：\(-2+3=1\)；D 是两处符号都弄错。
5. 核心点：自变量的取值范围
不是什么 \(x\) 都能代进去。确定自变量的取值范围，要同时看两方面，再取公共部分：
整式里的 \(x\) 取任何实数都有意义。实际问题的范围往往比“式子有意义”小。
直觉微图解 ④只看式子：哪些 \(x\) 能代进去
例 2（示范）
手机充满电时电量是 \(100\%\)，连续看视频时每分钟耗电 \(0.4\%\)（假设耗电均匀）。设看了 \(x\) 分钟后剩余电量为 \(y\)（单位：%）。(1) 写出 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式；(2) 求自变量的取值范围；(3) 看了 \(45\) 分钟后还剩多少电？
① 读懂题意：谁在变？谁是自变量？电量最少能是多少？
提示 1：先写文字等量关系
剩余电量 \(=\) 原有电量 \(-\) 已耗电量。
提示 2：取值范围的两头
时间不能是负数；耗掉的电不能超过 \(100\%\)。
看完整示范
④ 回头看：解析式和取值范围要写在一起：\(y=100-0.4x\ (0\le x\le250)\)。如果只写 \(x\ge0\)，代 \(x=300\) 会算出 \(-20\%\)，没有意义。
自己试试：函数 \(y=\sqrt{4-x}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是：
B。被开方数 \(4-x\ge0\)，移项得 \(-x\ge-4\)，两边乘 \(-1\) 要变号：\(x\le4\)。A 是忘了变号；C 漏了等号（\(\sqrt0=0\) 有意义）；D 是把根式当成了分式。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：图难画，还会是函数吗？
对每个实数x，规定x有理时y=1，x无理时y=0。y是x的函数吗？请按定义判断，不凭图象是否好画。
想好后看解释
每个实数恰属于有理数或无理数的一类，因此每个x恰对应一个y，是函数。函数定义不要求图象容易画出来。
① 对应关系机：它是不是函数？
先选一台机器，再拖动数轴上的圆点（或点一下圆点再用方向键）输入 \(x\)，看机器吐出几个 \(y\)。
② 取值范围筛子：这个 x 能不能取？
选一个函数，拖动 \(x\)。绿色粗线是能取的范围，空心圈表示取不到；读数说明为什么。
③ 进阶：靠墙围菜园，x 能取多少？
用 \(30\) m 篱笆靠墙（墙长 \(12\) m）围一块长方形菜园，靠墙的一边不用篱笆。设垂直于墙的边长 \(x\) m，则平行于墙的边长 \(y=30-2x\)。拖动数轴上的圆点（或用方向键）改变 \(x\)。
④ 我来举例：先定方向和取值范围
自己想一个函数候选和一个非函数候选。写物体或公共设施的变化过程，不填姓名、成绩等个人信息。说明从哪个量出发，不能只说“两个量有关”。
先自己写；生活描述只按准则自检，不由系统判断真伪。
⑤ 自己搭有限配对表
先声明本次允许的全部输入，再逐条增删 A、B 配对，自己判断。这里仅核这份有限表，不证明生活故事对所有取值都成立。反向时要重新声明作为输入的 B 的全部允许值；不同输入可有相同输出。
本工坊只收半角整数或小数：整数部分最多三位、小数最多两位，负号用 -，不写正号或多余前导0；不带单位、算式、指数或内部空格。相同数值只算一次；不判断空输入列表。
最多24条，可重复记录同一对；重复不产生第二个不同输出。删去不需要的行再重试。
| A 值 | B 值 | 操作 |
|---|
尚无配对。
所有草稿和配对仅在本页内存中；刷新或相应清空按钮会清除，不认证实物或同伴活动经历。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 小华以每小时 \(15\) km 的速度匀速骑行，骑行路程 \(s\) km 与时间 \(t\) h 满足 \(s=15t\)。在这个过程中，常量是：
C。速度 \(15\) km/h 始终不变，是常量；路程 \(s\)、时间 \(t\) 都在变，是变量。D 把两个变量当成了常量。
2. 函数 \(y=3x^2-2\)，当 \(x=-2\) 时的函数值是：
A。\(3\times(-2)^2-2=12-2=10\)。B 是把 \((-2)^2\) 算成 \(-4\)；C 是先算 \(3\times(-2)\) 再平方：\(36-2\)；D 是把 \(-2\) 当成 \(+2\) 加上了。
易错
3. 下列各题中，\(y\) 不是 \(x\) 的函数的是：
提示
逐个找：有没有一个 \(x\) 会对应两个不同的 \(y\)？
C。\(x=14\) 时对应 \(160\) 和 \(165\) 两个身高：一个 \(x\) 对应两个 \(y\)。D 是“两个 \(x\) 对同一个 \(y\)”，仍是函数（翻车现场 ①）。
4. 用 \(60\) 元买单价 \(4.5\) 元的笔记本，买 \(x\) 本后剩下 \(y\) 元，\(y=60-4.5x\)。自变量 \(x\) 的取值范围是：
提示
本数能是小数吗？钱够买几本？
B。本数是整数，且 \(4.5x\le60\)，\(x\le13\tfrac13\)，所以最多买 \(13\) 本。A 只看了式子；C 漏了上限；D 忘了本数只能是整数。
5. 关于函数 \(y=2x+3\)，下列说法正确的是：
提示
分清“函数（变量）”和“函数值（一个数）”；再算一算。
B。\(2\times(-1)+3=1\)。A：\(y\) 随 \(x\) 变化，是变量；C：\(2x+3=5\) 只有 \(x=1\)；D：整式对任何实数都有意义。
挑战
6. 用 \(24\) m 长的篱笆围一块长方形菜园，一边靠墙（墙长 \(10\) m），另外三边用篱笆。设垂直于墙的一边长 \(x\) m，平行于墙的一边长 \(y\) m，则 \(y=24-2x\)。自变量 \(x\) 的取值范围是：
提示 1：平行于墙的边有几个限制？
它要比 \(0\) 大，又不能比墙长。
提示 2：列不等式组
\(\begin{cases}24-2x>0\\24-2x\le10\end{cases}\)，再取公共部分。
B。由 \(24-2x>0\) 得 \(x<12\)；由 \(24-2x\le10\) 得 \(x\ge7\)。\(x=7\) 时 \(y=10\)，正好等于墙长，可以。A 漏了墙长的限制；C 把 \(x=7\) 也去掉了；D 是解第二个不等式时忘了变号。
本节真题与练习
真题 3 道、原创 1 道；共 4 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部题目。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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“求自变量的取值范围”“求函数值”“写函数解析式”是中考填空题的常客。做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 六下第4单元 · 比例小学正比例与反比例中“两个相关联的量，一个量随另一个量变化”的早期经验，是初中抽象出单值对应函数概念的直观原型。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 函数的概念及其表示初中“在一个变化过程中有两个变量 $x,y$”的描述性定义，在高中升级为两个非空数集之间通过对应关系 $f$ 建立的集合映射定义。