培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第七章 相交线与平行线
7.4 平移
推开推拉窗、拉开抽屉，整个东西朝一个方向滑过去。滑过去以后，什么变了，什么没变？对应点连起来的线段，又有什么规律？
本节导读 先修：7.2 平行线 · 本节路线
要用到：平行线、画平行线（回看 7.2）；线段的长度（回看 6.2）；小学在方格纸上把图形向左右、上下平移几格。
- 从推拉窗进入：窗上每一点移动的方向和距离一样吗？
- 平移的定义：方向 + 距离；对应点、对应线段、对应角。
- 平移的性质：形状大小不变；对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等。
- 画平移后的图形：一对对应点定方向和距离，每个顶点照样走。
- 分清平移距离和两个图形之间的空隙。
- 练习：用平移求距离、求面积。
教室的推拉窗向右推开。窗框左上角有一颗螺钉，右下角有一个把手。点下面的按钮，看推开不同距离时，螺钉和把手各走了多远：
把窗向右推开 \(50\) cm。螺钉和把手各移动了多远、往哪个方向？
B。整扇窗一起滑动，窗上每一个点都朝同一个方向走了同样远。窗的形状、大小也没变，只是换了位置。
这样的运动叫平移。这一节要回答：平移由什么决定？平移前后的两个图形之间有什么关系？
1. 先认识几个词：平移、对应点、方向和距离
前置知识：平行线（回看 7.2），小学在方格纸上把图形向左右、上下平移几格。先分清哪种运动才是平移：
直觉微图解 ①平移只换位置：不转、不翻、不变大小
- 平移：在平面内，把一个图形按某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移。一次平移由方向和距离两样东西确定；方向可以是平面内的任何方向，不只左右、上下。
- 对应点：新图形上的每一点，都是由原图形上某一点移动得到的，这两个点叫对应点。习惯用同一个字母加撇标出：点 \(A\) 平移到点 \(A'\)。对应线段、对应角也这样说。
核心概念 ②“使 A 移到 A′”= 方向 + 距离
知道一对对应点，平移就定了：方向是从 \(A\) 指向 \(A'\)，距离是线段 \(AA'\) 的长。描述一次平移要两样都说全，如“沿射线 \(AA'\) 的方向移动 \(AA'\) 的长度”。
核心概念 ③平移距离 ≠ 两个图形的空隙
平移距离是一对对应点之间的距离，如 \(BB'\)。两个图形之间空出来的那一段（如 \(C\) 到 \(B'\)）一般不是平移距离。
自己试试：下面哪一句把一次平移说全了？
C。一次平移要说清两样：方向和距离。A 只有方向，B 只有距离，D 两样都没有。
2. 核心点：平移的性质
平移前后，图形的形状和大小完全相同：对应线段一样长，对应角一样大。这些规律先通过测量和观察来认识，八年级再学严格证明。
直觉微图解 ②连一连对应点：三条连线方向一样、长度一样
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
\(\triangle ABC\) 沿射线 \(BC\) 的方向平移得到 \(\triangle DEF\)，点 \(B\)、\(E\)、\(C\)、\(F\) 依次在一条直线上。已知 \(BF=13\) cm，\(EC=3\) cm。求平移的距离和 \(BC\) 的长。
① 读懂题意：谁和谁是对应点？平移距离是哪两点之间的距离？
提示 1：先画线段图
按 \(B\)、\(E\)、\(C\)、\(F\) 的顺序画一条线段。\(B\) 对应 \(E\)，\(C\) 对应 \(F\)，所以 \(BE\) 和 \(CF\) 都是平移距离，它们相等。
看完整示范
④ 回头看：\(EC=3\) cm 是两个三角形重叠部分的底，不是平移距离。平移距离一定是一对对应点之间的距离。
自己试试：\(\triangle ABC\) 平移得到 \(\triangle A'B'C'\)。已知 \(\angle B=52^\circ\)，\(AB=4\) cm，那么 \(\angle B'\) 和 \(A'B'\) 是多少？
A。平移只换位置，形状和大小完全相同，对应角相等、对应线段相等，跟往哪儿移、移多远都没关系。
3. 核心点：画平移后的图形
直觉微图解 ③方格纸上平移四边形：一步一步来
例 2（示范：在方格纸上找对应点）
方格纸上有 \(\triangle ABC\)：\(B\) 在 \(A\) 正右方 \(3\) 格，\(C\) 在 \(A\) 正上方 \(2\) 格。平移这个三角形，使点 \(A\) 移到点 \(A'\)，\(A'\) 在 \(A\) 右边 \(4\) 格、下边 \(3\) 格。\(B'\)、\(C'\) 分别在哪里？
提示：“右 4、下 3”对每个点都一样
从 \(B\) 出发也数“右 4、下 3”，从 \(C\) 出发也数“右 4、下 3”。
看完整示范
回头看：“右 4、下 3”只是在方格纸上找对应点的数法；图形真正的运动是一次沿 \(AA'\) 方向的斜向平移。
自己试试：方格纸上，点 \(A\) 平移到 \(A'\) 是“向右 3 格、向下 2 格”。点 \(B\) 在 \(A\) 的正右方 \(4\) 格处，那么 \(B'\) 在哪里？
A。\(B\) 也要“向右 3 格、向下 2 格”，所以 \(B'\) 和 \(A'\) 的相对位置与 \(B\) 和 \(A\) 一样：在 \(A'\) 正右方 \(4\) 格。B 只走了水平方向，漏了“向下 2 格”。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）
剪拼平行四边形时，哪步是平移？面积为何不变？
看剪拼解释
把剪下的三角形移到另一边拼成长方形，用了平移；形状、大小不变，且拼接没有重叠或空隙，所以面积不变。
先右 2、上 1，再右 3、下 4，终点在哪？先右 3、再左 3 呢？
看连续平移
前者相当于右 5、下 3；后者回到原处，两次移动抵消。去“动手”③ 验证。
① 在方格纸上平移三角形
虚线是原来的 \(\triangle ABC\)。拖动圆点 \(A'\)（或点它后按方向键，每次一格），三角形跟着平移。看三条连线 \(AA'\)、\(BB'\)、\(CC'\)。
② 沿 BC 方向平移：距离和空隙
\(BC=5\) cm。拖动圆点（或按方向键 ← →，每次 \(0.5\) cm）改变平移距离，把 \(\triangle ABC\) 沿射线 \(BC\) 方向平移到 \(\triangle DEF\)。
③ 进阶：连续平移两次
拖动绿色圆点 \(A'\) 定第一次平移，拖动红色圆点 \(A''\) 定第二次平移（也可以点圆点后按方向键）。看最后的位置能不能用一次平移得到。
④ 我的平移图案工作台
选一个基本纹样，亲自安排至少两次平移，做成带状或平铺图案。这里只能平移；每一步从上一步的新图形出发。每格边长作 1 个单位，允许重叠。
⑤ 连线测量，再换一个多边形
先完成上面的两次平移。选第一步或第二步，勾选至少两组对应点连线，再用图下的小尺读长（小尺每小格为 1 单位）。填入两条线的长度，允许读数误差 0.1 单位。换另一种纹样，重复一次；最后先写自己的归纳。
⑥ 我来逐顶点画图
虚线四边形 ABCD 和给定的 A′ 已画出。由 A 到 A′ 确定这一次平移，分别标出 B′、C′、D′，再按原四边形的连接顺序连形。选点名后点格点；也可聚焦方格，用方向键移动十字光标、回车标点。每次只改所选点。
先标三个顶点，再连形核对。
无格纸作图：已知 A→A′
用白纸、铅笔、三角尺、刻度直尺。照图画 ABC 及给定 A′（A≠A′），连 AA′；以纸上 AA′ 为准。
先作再核：使 A 移到 A′，在纸上作 B′、C′ 并连成三角形。留辅助线，作完再展开自核；卡住才看提示。
按需看：两尺画法
- 量出纸上 AA′ 的长，认准 A→A′ 的方向。
- 三角尺一边贴 AA′ 所在直线，直尺贴另一边；按稳直尺，沿它平推三角尺，不转动，直到原来贴 AA′ 的边经过 B，沿边画辅助直线。
- 在过 B 的线上先标与 A→A′ 同向的箭头；直尺零刻度对准 B，朝箭头方向量取 AA′ 等长，标 B′。
- 对 C 重做“过点画平行方向、同向截等长”，标 C′。若原点在 AA′ 所在直线上，就沿原直线同向量取。
- 连 A′B′、B′C′、C′A′，不能漏点或跳点。
作完展开：自核与返修
- 查反向：用三角尺沿固定直尺平推，比对 AA′、BB′、CC′ 所在直线应平行（或共线）；再查三个箭头同向。平行却反向的，从原点朝正确方向重取。
- 查长度错：每次将直尺零刻度对准原点，复量 AA′、BB′、CC′ 应等长；过长过短就重标，不能量图形间的空隙。
- 查漏项：逐对点名 A—A′、B—B′、C—C′，三对齐全；新边按原相邻顺序闭合。漏点先补再连。
在纸边记下要改的地方，改后再核对。若没发现问题，就任选一对对应点，复核方向、长度并写出依据。复量时要对齐，测量不能代替证明。请自己检查纸上的图。
从易到难排好了。
直接用
1. 下面哪一种运动是平移？
A。人随电梯整体竖直向上移动，身上每个点走的方向、距离都一样。B、C 是绕着一点转，D 是翻过去，朝向都变了。
2. \(\triangle ABC\) 平移得到 \(\triangle A'B'C'\)，\(AA'=7\) cm。那么 \(BB'\)、\(CC'\) 各是多少？
A。每一组对应点的连线都相等，都等于平移距离 \(7\) cm。
易错
3. \(\triangle ABC\) 沿射线 \(BC\) 方向平移到 \(\triangle DEF\)，点 \(B\)、\(C\)、\(E\)、\(F\) 依次排在一条直线上。\(BC=4\) cm，\(BF=15\) cm。平移的距离是多少？
提示
\(B\) 的对应点是谁？\(EF\) 和 \(BC\) 一样长吗？
B。\(EF=BC=4\) cm（对应线段相等），所以 \(BE=BF-EF=15-4=11\) cm，这就是平移距离。A 的 \(7\) cm 是 \(CE\)，是两个三角形之间的空隙；C 是把整段当成了距离。
4. 方格纸上，一个图形上的点 \(A\) 移到了 \(A'\)：向右 \(2\) 格、向上 \(3\) 格，图形上其他点也都这样移动，图形整体沿 \(AA'\) 方向斜着滑过去。下面说法对的是哪一个？
提示
平移的定义里，对方向有没有限制？
B。每个点都沿同一个方向走同样远，就是一次平移，方向是斜的也没关系。“右 2、上 3”只是在方格纸上找对应点的数法。如果真的分两步移动（先右 2、再上 3），那是两次平移，但结果和这一次斜向平移一样。
5. \(\triangle ABC\) 沿射线 \(BC\) 的方向平移得到 \(\triangle A'B'C'\)。下面说法错误的是哪一个？
提示
\(A\) 在直线 \(BC\) 上吗？\(AA'\) 和直线 \(BC\) 是什么关系？
C。\(B\)、\(B'\)、\(C\)、\(C'\) 都在直线 \(BC\) 上，而 \(A\) 不在这条直线上，\(AA'\) 和它平行，不会和 \(BB'\) 共线。A、B、D 都对：这正是“平行（或在同一条直线上）且相等”。
挑战
6. 一块长方形草地长 \(30\) m、宽 \(18\) m，中间有一条从上边通到下边的弯曲小路，小路在任何地方横着量都是 \(3\) m 宽。草地（不含小路）的面积是多少？
提示 1：让小路“消失”
把小路右边的草地整块向左平移，能不能正好和左边的草地拼上？平移了多远？
提示 2：拼出来是什么形状
拼好后是一个长方形，宽还是 \(18\) m，长少了多少？
A。把小路右边的草地整块向左平移 \(3\) m，正好和左边的草地拼上，小路就“消失”了。平移不改变形状和大小，面积不变；拼成的长方形长 \(30-3=27\) m、宽 \(18\) m，面积 \(27\times18=486\ \text{m}^2\)。B 没扣小路；C 是把长多扣了一次路宽：\((30-6)\times18=432\)。
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往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 平面向量的概念初中平移变换所决定的两个核心要素——“平移的方向”和“平移的距离”，正是高中定义既有大小又有方向的平面向量的几何原型。