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八年级上册 · 第十五章 轴对称

15.1 图形的轴对称

把纸对折，两边能完全重合，这就是轴对称。折痕藏着一个精确的规律：每一对重合的点，连线都被折痕垂直平分。顺着这条线，我们得到一把新工具——线段的垂直平分线。

本节导读　先修：平移、命题、全等的判定 · 本节路线

要用到：垂线（回看 7.1）、命题的题设和结论（回看 7.3）、平移的研究方法（回看 7.4）、全等三角形的判定 SSS 和 SAS（回看 14.2）。

  1. 从折纸进入：沿哪条折痕，两旁能完全重合？
  2. 分清两个词：轴对称图形（一个图形）和两个图形成轴对称。
  3. 轴对称的性质：连接对称点的线段被对称轴垂直平分。
  4. 线段的垂直平分线：性质定理、判定定理，顺带认识互逆命题。
  5. 尺规作垂直平分线、作对称轴；看懂半径为什么要“大于一半”。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

剪纸、窗花、门上的福字，很多是把纸先对折再剪出来的。拿一张“小房子”形状的纸片（屋顶两条斜边一样长），换几条折痕试试，看折过去的那一半（虚线）能不能和另一半完全重合：

换一张长 \(8\) cm、宽 \(5\) cm 的长方形纸片。有几条折痕能让两旁完全重合？

B。上下边中点连成的竖线、左右边中点连成的横线，各折一次都能重合。沿对角线折，长的一边会翻到短边外面去，对不上——选 C 是把两条对角线也算了进去（只有正方形的对角线才行）。

能对折重合的那条直线，就是这一节的主角。这一节要回答：重合的两个点和折痕之间有什么精确的关系？这个关系能变成什么工具？

1. 先认识几个词：一个图形，还是两个图形？

前置提醒：研究平移时，我们看“对应点”怎么动（回看 7.4）；这一节换一种图形变化——沿一条直线翻折，同样盯住对应的点。点下面三档：

直觉微图解 ①同一条折痕，两种说法

核心概念 ②说的对象不同

“轴对称图形”说的是一个图形自己的形状；“成轴对称”说的是两个图形之间的位置关系。把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形；反过来，把成轴对称的两个图形合起来，就是一个轴对称图形。对称轴一律是直线。

核心概念 ③成轴对称 ⇒ 全等，反过来不行

折过去能重合，所以成轴对称的两个图形一定全等。但全等的两个图形不一定成轴对称：一个三边互不相等的三角形，沿某个方向平移一段（不为 \(0\) 的）距离，得到的三角形和它全等，朝向却完全相同，找不到一条折痕让它们重合。

自己试试：下面说法正确的是哪一个？

C。折过去能重合，所以全等。A 反了，平移得到的两个三角形就是反例；B 混用了两个词，应说“这两个三角形关于 \(l\) 对称”；D：正方形除了两条中线，两条对角线所在直线也是对称轴，共 \(4\) 条。

2. 核心点：对称点的连线被对称轴垂直平分

点 \(P\) 和 \(P'\) 关于直线 \(l\) 对称，连接 \(PP'\)，交 \(l\) 于点 \(O\)。沿 \(l\) 折叠，\(P\) 和 \(P'\) 重合，所以 \(OP\) 和 \(OP'\) 重合——一样长；\(l\) 两边的两个角也重合，它们相等又合成一个平角，所以都是直角。

\(P,\ P' \text{ 关于 } l \text{ 对称}\ \Longrightarrow\ \color{#2F7A56}{\underbrace{PP'\perp l}_{\text{垂直}}}\ \text{且}\ \color{#B5452F}{\underbrace{OP=OP'}_{\text{平分}}}\)

成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形也一样。所以对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。

直觉微图解 ②换不同位置的点，看它和对称点的连线

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A'B'C'\) 关于直线 \(l\) 对称，\(AA'\) 交 \(l\) 于点 \(O\)。已知 \(AA'=9\) cm，\(\angle BAC=48^\circ\)。求 \(AO\) 和 \(\angle B'A'C'\)；（\(A\)、\(B\) 都不在 \(l\) 上）\(AA'\) 与 \(BB'\) 所在的直线是什么位置关系？

① 读懂题意：题目给了一对成轴对称的三角形。哪些是对称点？要求的三样东西分别和哪条性质有关？

提示 1：两条性质各管一件事

\(AO\) 和 \(\angle B'A'C'\)：一个靠“被对称轴平分”，一个靠“成轴对称的图形全等”。位置关系：\(AA'\)、\(BB'\) 都和 \(l\) 有什么关系？

看完整示范
② 想办法：\(A\)、\(A'\) 是对称点，\(l\) 垂直平分 \(AA'\)；两个三角形全等，对应角相等；\(AA'\) 和 \(BB'\) 都垂直于 \(l\)。
③ 执行：\(AO=\tfrac12 AA'=4.5\) cm；\(\angle B'A'C'=\angle BAC=48^\circ\)；\(AA'\perp l\)，\(BB'\perp l\)，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以 \(AA'\)、\(BB'\) 所在的直线平行或重合（\(A\)、\(B\) 到 \(l\) 的垂足相同时重合）。
执行中检查：\(\angle B'A'C'\) 的顶点 \(A'\) 和 \(\angle BAC\) 的顶点 \(A\) 是对称点，两边也对应 ✓；\(AA'\) 被平分，\(AO=OA'\)，两段相加 \(9\) cm ✓。

④ 回头看：对称点的连线都垂直于对称轴，所以它们所在的直线平行或重合。如果 \(B\) 在 \(l\) 上，\(B'\) 就是 \(B\) 自己，没有连线可谈，所以题目要先说明 \(A\)、\(B\) 不在 \(l\) 上。平移的对应点连线也平行——但平移的连线一样长，对称的连线长短可以不同。

自己试试：点 \(P\)、\(P'\) 关于直线 \(l\) 对称，\(PP'=10\) cm。点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离是多少？

B。\(l\) 垂直平分 \(PP'\)，设垂足为 \(O\)，则 \(PO\perp l\)，\(PO\) 的长就是 \(P\) 到 \(l\) 的距离，\(PO=\tfrac12\times 10=5\) cm。选 A 是把整条 \(PP'\) 当成了距离；选 D 是忘了“垂直”这一半：既垂直又平分，距离就定了。

3. 核心点：线段的垂直平分线——性质与判定

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。两个条件“过中点”“垂直”缺一不可。它上面的点有什么特点？

直觉微图解 ③点 \(P\) 在垂直平分线 \(m\) 上，量一量 \(PA\) 和 \(PB\)

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{P\text{ 在 }AB\text{ 的垂直平分线上}}_{\text{题设}}}\ \overset{\text{性质}}{\underset{\text{判定}}{\rightleftarrows}}\ \color{#B5452F}{\underbrace{PA=PB}_{\text{结论}}}\)

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。合起来看，垂直平分线就是与两个端点距离相等的所有点组成的。

例 2（示范：证明性质定理）

已知：直线 \(m\perp AB\)，垂足为 \(C\)，\(AC=CB\)，点 \(P\) 在 \(m\) 上。求证：\(PA=PB\)。

沿用上方微图③，以线段AB的中点为C；先讨论P不在C处，再单独检查P=C。

① 读懂题意：要证两条线段相等。它们在哪两个三角形里？这两个三角形有哪些相等的元素？

提示：找全等

\(PA\) 在 \(\triangle PCA\) 中，\(PB\) 在 \(\triangle PCB\) 中。题目给了一组边、一组角，公共边也算一组。

基础示范（可收起）
② 想办法：用 SAS 证 \(\triangle PCA\cong\triangle PCB\)，对应边 \(PA=PB\)。
③ 执行：当 \(P\) 不与 \(C\) 重合时：\(\because m\perp AB\)，\(\therefore \angle PCA=\angle PCB=90^\circ\)。在 \(\triangle PCA\) 和 \(\triangle PCB\) 中，\(AC=BC\)，\(\angle PCA=\angle PCB\)，\(PC=PC\)，\(\therefore \triangle PCA\cong\triangle PCB\)（SAS），\(\therefore PA=PB\)。
执行中检查：\(P\) 与 \(C\) 重合时构不成三角形，要单独说：这时 \(PA=CA=CB=PB\)，结论仍成立 ✓。

④ 回头看：判定定理反过来证：已知 \(PA=PB\)，取 \(AB\) 中点 \(C\)，连接 \(PC\)，用 SSS 得 \(\triangle PCA\cong\triangle PCB\)，于是 \(\angle PCA=\angle PCB\)，又因两角互补，都是 \(90^\circ\)，所以 \(PC\) 就是垂直平分线（\(P\) 在 \(AB\) 上时，\(P\) 就是中点）。

互逆命题：上面两个定理，一个的题设是另一个的结论，一个的结论是另一个的题设。这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。写逆命题，先改成“如果……那么……”，再交换题设和结论。原命题成立，逆命题不一定成立：“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立。逆命题经过证明成立时，这两个定理叫互逆定理，判定定理就是性质定理的逆定理。

自己试试：下列命题中，逆命题是真命题的是哪一个？

C。它的逆命题就是判定定理，已经证过。A 的逆命题“相等的角是对顶角”不成立；B 的逆命题“三个角对应相等的两个三角形全等”不成立（一大一小的两个等边三角形）；D 的逆命题“如果 \(a^2=b^2\)，那么 \(a=b\)”不成立，例如 \(a=3\)，\(b=-3\)。

4. 核心点：尺规作线段的垂直平分线、作对称轴

判定定理告诉我们：只要找到两个与 \(A\)、\(B\) 距离都相等的点，过这两点的直线就是垂直平分线（两点确定一条直线）。圆规正好能画出“到 \(A\) 的距离等于半径”的点。半径取多大？

直觉微图解 ④分别以 \(A\)、\(B\) 为圆心，同一个半径 \(r\) 作弧

例 3（示范：作图并说出依据）

纸上画着关于某条直线对称的 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A'B'C'\)（\(A\) 与 \(A'\)、\(B\) 与 \(B'\)、\(C\) 与 \(C'\) 是对称点，都已标出，且不在对称轴上），但折痕没画出来。怎样用尺规把对称轴找出来？

提示：对称轴和对称点有什么关系？

对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。所以只要找一对对称点。

基础示范（可收起）
想办法：任取一对已知的对称点（例如 \(A\) 和 \(A'\)；不能凭感觉挑“看起来对应”的点），连接 \(AA'\)，作它的垂直平分线。
作法：(1) 分别以 \(A\)、\(A'\) 为圆心，以大于 \(\tfrac12 AA'\) 的长为半径作弧，两弧交于 \(M\)、\(N\)；(2) 作直线 \(MN\)。直线 \(MN\) 就是所求的对称轴。
检查：再取另一对对称点 \(B\)、\(B'\)，看 \(MN\) 是否也垂直平分 \(BB'\)。

回头看：同一个作法还能“过直线外一点 \(P\) 作已知直线的垂线”：以 \(P\) 为圆心、适当长为半径作弧，交已知直线于 \(C\)、\(D\)，再作 \(CD\) 的垂直平分线。因为 \(PC=PD\)，\(P\) 一定在这条垂直平分线上。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）只垂直、不过中点，也当成垂直平分线
❌ 典型错解：“直线 \(l\perp AB\)，点 \(P\) 在 \(l\) 上，所以 \(PA=PB\)。”
✅ 看图秒懂：右图的 \(l\) 垂直于 \(AB\)，但没过中点，\(P\) 离 \(A\) 明显比离 \(B\) 近。“过中点”“垂直”两个条件少一个都不行。
翻车现场 ②性质和判定用反了方向
❌ 典型错解：已知 \(PA=PB\)，写“\(\because\) 线段垂直平分线上的点与两端距离相等，\(\therefore P\) 在垂直平分线上”。
✅ 一眼看清：由“在垂直平分线上”推“距离相等”用性质；由“距离相等”推“在垂直平分线上”用判定。而且一个点定不下一条直线，要找到两个这样的点才能确定垂直平分线。
翻车现场 ③以为原命题对，逆命题就对
❌ 典型错解：“全等三角形的对应角相等，所以对应角相等的三角形全等。”
✅ 一眼看清：边长 \(2\) 和边长 \(5\) 的两个等边三角形，三个角都相等，却不全等。逆命题的真假要重新证明，或者举反例。
再深一点：沿平行轴连续对称两次

两条平行对称轴相距3 cm。先关于第一条轴对称，再关于第二条轴对称，图形相当于沿哪个方向、移动多远？画图试试。

想好后看解释

相当于沿垂直于两轴、从第一条轴指向第二条轴的方向平移6 cm，即两轴间距的2倍。交换对称顺序，平移方向相反。

① 拖动点 \(P\)，看它的对称点

拖动红点 \(P\)（或点一下再用方向键）；拖动直线 \(l\) 上的绿点可以转动对称轴。\(O\) 是 \(PP'\) 与 \(l\) 的交点。

② 垂直平分线上的点：量一量 \(PA\)、\(PB\)

拖动 \(P\)，每次走半格。虚线 \(m\) 是 \(AB\) 的垂直平分线。看 \(P\) 落在 \(m\) 上和不在 \(m\) 上时，两段距离有什么不同。

③ 进阶：尺规作垂直平分线，半径取多大？

\(AB=10\)（单位：格）。拖动左边的金色圆点改变圆规张开的半径 \(r\)，看两弧什么时候能交出两个点。

④ 自主论证与尺规

先移动P并记录猜想；测量不能代替证明。

单点落线，还是两点定线？

PA=PB，QA=QB。只有P与再有Q≠P时各能确定什么？

写完后自核这两个量词

单个等距P只能落线；不同等距点P、Q才能定线，Q=P不够。

尺规工作台：作弧—取点—连线—核验

半径限0.5至8的半单位普通小数（如1.5），不预填。弧痕留到重置；只取最近两弧交点。

    完成后对照纸笔自检

    核圆心、等半径、两不同交点。中垂线过中点且垂直，垂线还需过P，依据回看全等论证。半径大于半段才两交点，等号一点，小于无交点。

    可用无刻度直尺和圆规在纸上作图，留弧自检，也可拍照留存。

    记录只留本页，离开前可保存；文字理由请自检，不计入学习记录。

    从易到难排好了。卡住时先展开提示。

    直接用

    1. 下列图形中，对称轴条数最多的是哪一个？

    B。正方形有 \(4\) 条（两条中线、两条对角线所在直线）；长方形 \(2\) 条；等腰梯形 \(1\) 条（上下底中点的连线所在直线）；一般的平行四边形沿哪条直线折都对不上，没有对称轴。

    2. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AC\) 的垂直平分线交 \(BC\) 于点 \(D\)，交 \(AC\) 于点 \(E\)，连接 \(AD\)。已知 \(AB=6\)，\(BC=9\)，求 \(\triangle ABD\) 的周长。

    提示

    \(D\) 在 \(AC\) 的垂直平分线上，\(AD\) 和哪条线段相等？

    A。\(D\) 在 \(AC\) 的垂直平分线上，\(AD=DC\)。周长 \(=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+9=15\)。选 D 是只看到 \(BD\)、\(AD\) 各自不知道，没想到把 \(AD\) 换成 \(DC\)，和 \(BD\) 拼成整条 \(BC\)。

    易错

    3. 下列说法正确的是哪一个？

    提示

    对照定义：垂直平分线要同时满足哪两个条件？它是直线、射线还是线段？

    C。这就是判定定理。A 少了“垂直”，B 少了“过中点”（翻车现场 ①）；D：垂直平分线是一条直线。

    4. 用尺规作长 \(6\) cm 的线段 \(AB\) 的垂直平分线，分别以 \(A\)、\(B\) 为圆心作弧时，半径可以取：

    提示

    半径要比 \(AB\) 的一半大还是小？正好等于一半会怎样？

    C。半径要大于 \(\tfrac12 AB=3\) cm。取 \(2\) cm，两弧不相交；取 \(3\) cm，两弧只在中点碰到一个点，一个点定不下直线；D 忽略了这一点。

    5. 命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题和它的真假是：

    提示

    交换题设和结论；判断真假，试着举一个反例。

    B。题设“两个角都是直角”和结论“这两个角相等”交换位置。两个 \(40^\circ\) 的角相等却不是直角，所以是假命题（翻车现场 ③）。C 不是交换题设和结论；D 只是把原命题换了个说法。

    挑战

    6. 在 \(\triangle ABC\) 中，边 \(AB\) 的垂直平分线和边 \(BC\) 的垂直平分线交于点 \(O\)，连接 \(OA\)、\(OB\)、\(OC\)。已知 \(OA=4\)，下面结论正确的是：

    提示 1：一条一条用性质

    \(O\) 在 \(AB\) 的垂直平分线上，得到哪两条线段相等？\(O\) 在 \(BC\) 的垂直平分线上呢？

    提示 2：再用判定

    得到 \(OA=OC\) 以后，对线段 \(AC\) 用判定定理。

    A。由性质：\(OA=OB\)，\(OB=OC\)，所以 \(OC=OA=4\)。再由判定：\(OA=OC\)，所以 \(O\) 在 \(AC\) 的垂直平分线上。也就是说，三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这个点到三个顶点的距离相等。选 B 是只用了性质、没想到再用一次判定。

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