培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
两条直线永远不相交，没法一直画下去检验，怎么才能确定？反过来，知道两条直线平行，它们和第三条直线形成的角又有什么规律？答案都藏在 7.1 的“三线八角”里。
本节导读 先修：7.1 相交线 · 本节路线
要用到：对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义、同位角/内错角/同旁内角的识别（回看 7.1）；补角（回看 6.3）；等式的性质。
- 从画车位线进入：每条线和路边成同样的角，它们会相交吗？
- 平行线的定义（同一平面内）和关于平行线的基本事实。
- 判定：由“角”推出“线平行”——同位角、内错角、同旁内角。
- 性质：由“线平行”推出“角”的关系。
- 分清判定和性质，先判定、再用性质。
- 练习与中考真题：每一步括号里写依据。
停车场画斜车位：路边先拉一条直线，每画一条车位线，都用量角器让它和路边在同一侧成同样大的角。点下面的按钮，换几种角度，看两条车位线往上（或往下）延长会不会碰到：
工人画的每一条车位线，都和路边在同一侧成 \(55^\circ\)。这些车位线彼此是什么位置关系？
A。路边这条直线把每两条车位线都“截”了一下，截出的同位角一样大，这样的两条直线平行。角度差一点（\(55^\circ\) 和 \(65^\circ\)），延长后就会相交。
不用延长到无穷远，只看角就能判断平行——这一节要讲：由角怎样判定平行？反过来，平行时角又有什么关系？
1. 先认识几个词：平行线与平行的基本事实
前置知识：两直线相交、同位角、内错角、同旁内角（回看 7.1）。点一点，看同一张纸上两条直线的位置：
直觉微图解 ①同一平面内的两条直线：不相交，就平行
- 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。直线 \(a\) 与 \(b\) 平行，记作 \(a\parallel b\)。
- 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交或平行。两条线段（射线）平行，是说它们所在的直线平行。
- 基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（画一画就能确认）。
核心概念 ②“同一平面内”不能省
一个长方体纸盒，上底面前面那条棱和下底面右边那条棱，永远碰不到，可它们并不平行，因为不在同一个平面里。我们在一张纸上画图，说的平行都是同一平面内的。
核心概念 ③“直线外”不能省
点在直线上时，过这个点的直线要么就是原直线，要么和它相交，谈不上画平行线。所以基本事实说的是“过直线外一点”。
2. 先认角的位置，再学怎样判定平行
先把三条线和两个交点找出来：\(a\)、\(b\) 是我们要研究的两条直线；\(c\) 穿过它们，叫作截线。每个交点都有四个角。图中的 1–8 是角的名字，不是度数。
先看上面的交点：从右上起，逆时针依次是角 1、2、3、4；下面同样编号为角 5、6、7、8。点按钮，每次只看着色的两个角：
先分位置，再谈大小。叫作同位角、内错角或同旁内角，只是在说明位置，还不能据此说它们相等或互补。要谈大小关系，得再看题目给了什么条件。
还要分清两种老关系：\(\angle1\) 与 \(\angle3\) 在同一个交点，是对顶角，总相等；\(\angle1\) 与 \(\angle4\) 的外侧两条边拼成一条直线，是邻补角，总和为 \(180^\circ\)。这两条都不需要 \(a\parallel b\)。
直线 \(a\)、\(b\) 被直线 \(c\) 所截，八个角的编号和 7.1 一样：\(a\) 上的交点处，右上、左上、左下、右下依次是 \(\angle1\)–\(\angle4\)；\(b\) 上依次是 \(\angle5\)–\(\angle8\)。
判定解决的问题：还不知道平不平行，怎样确认？
① 同位角相等：\(\angle1=\angle5\Rightarrow a\parallel b\)（基本事实）。
② 内错角相等：\(\angle3=\angle5\Rightarrow a\parallel b\)。
③ 同旁内角互补：\(\angle4+\angle5=180^\circ\Rightarrow a\parallel b\)。
三条都从角的关系出发，得到两直线平行。依据写成“同位角相等，两直线平行”，就是把已知和结论按顺序说出来。
直觉微图解 ②\(\angle1\) 固定为 \(62^\circ\)，转一转 \(b\)：只有 \(\angle5=\angle1\) 时，\(a\)、\(b\) 才不相交
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：自己推出“内错角相等，两直线平行”）
直线 \(a\)、\(b\) 被直线 \(c\) 所截（编号同上），已知 \(\angle3=\angle5\)。说明 \(a\parallel b\)。
① 读懂题意：已知的是一对内错角相等，要推出平行。手里现成能判定平行的依据只有哪一条？
提示 1：转化
手里只有“同位角相等，两直线平行”。能不能把 \(\angle3\) 换成 \(\angle5\) 的一个同位角？\(\angle5\) 的同位角是 \(\angle1\)，而 \(\angle1\) 和 \(\angle3\) 是什么关系？
跟着推一遍（可收起）
∴ \(\angle1=\angle5\)（等量代换）。
∴ \(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。
④ 回头看：这样推一遍，就得到判定方法 2：内错角相等，两直线平行。同样把 \(\angle4+\angle5=180^\circ\) 里的 \(\angle4\) 换成 \(180^\circ-\angle1\)，可以推出判定方法 3。
为什么同旁内角互补，也能判平行？仍看上图：已知 \(\angle4+\angle5=180^\circ\)。
① \(\angle1+\angle4=180^\circ\)，因为它们是邻补角。
② 两个和都是 \(180^\circ\)，都减去 \(\angle4\)，就有 \(\angle1=\angle5\)。
③ 这就变成同位角相等，所以 \(a\parallel b\)。
内错角和同旁内角的两种判定，都是先转成同位角相等，再用基本事实；不必把三条当作互不相关的口诀。
自己试试：量得 \(\angle4=108^\circ\)，\(\angle5=72^\circ\)。能判定 \(a\parallel b\) 吗？用哪一条？
C。\(\angle4\) 和 \(\angle5\) 都夹在 \(a\)、\(b\) 之间，都在 \(c\) 的右边，是同旁内角；\(108^\circ+72^\circ=180^\circ\)，互补。同旁内角看的是“和是不是 \(180^\circ\)”，不是看相等，所以 D 错。
3. 核心点：平行线有什么性质（由线推出角）
性质解决另一个问题：已经知道平行，能得到哪些角的关系？
先有 \(a\parallel b\)，才有同位角相等：\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\angle1=\angle5}_{\text{同位角相等}}}\)。这是测量、观察后本节先承认的性质，不是基本事实，也不能只因把判定反过来读就当作证明。
再用对顶角：\(\angle3=\angle1=\angle5\)，得到两直线平行，内错角相等。
再用邻补角：\(\angle4+\angle1=180^\circ\)，把 \(\angle1\) 换成 \(\angle5\)，得到两直线平行，同旁内角互补。
直觉微图解 ③\(a\parallel b\) 不动，换一条截线：八个角至多两种大小；截线垂直时全是直角
先跟着算一题：已知 \(a\parallel b\)，\(\angle1=68^\circ\)，求 \(\angle5\)、\(\angle6\)。
- 先跨到下面的交点。题目已经给了平行，可以用性质。\(\angle1\)、\(\angle5\) 都在各自交点的右上，是同位角，所以 \(\angle5=\angle1=68^\circ\)。依据是“两直线平行，同位角相等”。
- 再在同一个交点里求角。\(\angle5\)、\(\angle6\) 并排拼成平角，是邻补角，所以 \(\angle6=180^\circ-68^\circ=112^\circ\)。这一步用邻补角互补。
为什么先找角 5？已知角 1 在上面，要求的角 6 在下面，角 5 能把两步接起来。不是看到数字就马上相减，要先说出是哪一对角、有什么关系。
回头检验：\(68^\circ+112^\circ=180^\circ\)，邻补角的和正确。下面换一个已知角，按同样思路走。
例 2（示范：已知平行，求角）
直线 \(a\parallel b\)，被直线 \(c\) 所截（编号同上），\(\angle7=124^\circ\)。求 \(\angle1\) 和 \(\angle4\)。
提示：从已知角出发找路
已知平行，要求角，用性质。\(\angle7\) 的同位角是谁？再从它走到 \(\angle1\)、\(\angle4\)。
跟着推一遍（可收起）
\(\angle1=\angle3=124^\circ\)（对顶角相等）；\(\angle4=180^\circ-\angle3=56^\circ\)（邻补角互补）。
回头看：性质的依据语序是“线在前、角在后”。平行线被截，八个角至多两种大小，这里是\(124^\circ\) 和 \(56^\circ\)。
自己试试：补全依据。“∵ \(a\parallel b\)，∴ \(\angle4=\angle6\)（ ）”
B。\(\angle4\)（\(a\) 下方、\(c\) 右边）和 \(\angle6\)（\(b\) 上方、\(c\) 左边）是内错角。已知的是线，推出的是角，用性质，“线在前、角在后”。A 是判定，方向反了；它们不是对顶角，也不是同位角。
4. 核心点：先判定，再用性质
判定角 ⇒ 线
已知同位角相等（或内错角相等、同旁内角互补），推出两直线平行。
性质线 ⇒ 角
已知两直线平行，推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
做题前先圈出已知，再看要得出什么：要说明两条线平行，找一对角的关系，用判定；已知平行、要求角，先用性质。若只给一个角、既没说平行也不能判定平行，就不能跨交点直接套性质。有时要两步接力：先判定平行，再用性质求角。
例 3（示范：两条截线接力）
如图，直线 \(a\)、\(b\) 被直线 \(c\)、\(d\) 所截，\(\angle1=\angle2=75^\circ\)，\(\angle3=112^\circ\)。求 \(\angle4\)。
提示：题目没说 a ∥ b
先看 \(\angle1\)、\(\angle2\) 是哪条截线截出的什么角，能不能先得到 \(a\parallel b\)？再看 \(\angle3\)、\(\angle4\) 是截线 \(d\) 截出的什么角。
看完整示范
∴ \(\angle3+\angle4=180^\circ\)（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ \(\angle4=180^\circ-112^\circ=68^\circ\)。
回头看：图上 \(a\)、\(b\) 看起来平行不算数，平行必须由已知条件推出来。
自己试试：例 3 里如果去掉条件“\(\angle1=\angle2=75^\circ\)”，只知道 \(\angle3=112^\circ\)，还能求出 \(\angle4\) 吗？
B。“同旁内角互补”是平行线的性质，前提是两直线平行。没有 \(\angle1=\angle2\)，就推不出 \(a\parallel b\)，\(\angle4\) 可以是别的度数。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：能用平行线的唯一性解释吗？
“两直线平行，同位角相等”不是本节的基本事实，本节暂不证明。试想：能否借助“同位角相等，两直线平行”和过直线外一点作平行线的唯一性，解释这条性质？
看一种思路
可以过截线与其中一条平行线的交点，另作一条直线，使它和另一条平行线的同位角相等。由判定，这条新直线也平行于另一条线；由平行线的唯一性，它与原来的平行线重合，于是得到所需的同位角相等。
先作一条线：过外点 P 作 a 的平行线
黑线 a 和外点 P 固定在同一平面内。先操作，再点“画线并核对”。图框只显示直线的一部分，不能凭框内没交点就说平行。
三角尺的一条边已贴合 a。把直尺靠紧另一条直角边，再固定方向。
请先操作工具，再画线核对。
把网页操作搬到纸上
- 在纸上画直线 a，在直线外标点 P。将三角尺的一条直角边与 a 重合。
- 用直尺紧贴三角尺的另一条直角边，按住直尺不动。
- 让三角尺沿直尺平移，不转动，直到原先贴着 a 的边经过 P；沿这条边画直线。
- 核对画线是否过 P、三角尺是否转动、画线边与直尺所成的角是否保持。两条画线边与直尺都成直角，同位角相等，可判定平行。
网页只能核对这里的作图。纸上的线需要你按上述准则亲自核对。
换几个方向画画，再把同一条线反向描一遍，比较核对结果。本节把“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”作为基本事实；几次作图帮助理解它，不能代替对所有情况的说明。
① 判定：转动 b，找到不相交的位置
直线 \(a\) 和截线 \(c\) 不动，\(\angle1=60^\circ\)。拖动 \(b\) 上的圆点（或按方向键 ↑ ↓）转动 \(b\)，看 \(\angle5\) 等于 \(\angle1\) 时会怎样。
② 性质：a ∥ b 不动，转动截线 c
拖动截线 \(c\) 上的圆点（或按方向键 ↑ ↓），选一类角，看两个角的关系是不是始终成立。
③ 进阶：拐角处的角，过拐点作平行线
\(AB\parallel CD\)，拐点 \(E\) 在两条平行线之间。拖动 \(E\)（或点它后按方向键），看 \(\angle BED\) 和 \(\angle ABE\)、\(\angle CDE\) 的关系。虚线是过 \(E\) 作的 \(EF\parallel AB\)。
从易到难排好了。第 1–4、6 题的配图沿用“讲清楚”的编号（\(a\)、\(b\) 被 \(c\) 所截，\(\angle1\)–\(\angle4\) 在 \(a\) 上，\(\angle5\)–\(\angle8\) 在 \(b\) 上，都从右上起逆时针编号）。图只表示角的位置，是否平行、角度大小以题目条件为准。
直接用
1. 已知 \(a\parallel b\)，\(\angle1=76^\circ\)。\(\angle6\) 是多少度？
B。∵ \(a\parallel b\)，∴ \(\angle5=\angle1=76^\circ\)（两直线平行，同位角相等）；\(\angle6=180^\circ-76^\circ=104^\circ\)（邻补角互补）。C 是把互补错成了互余。
2. 下面哪个条件不能判定 \(a\parallel b\)？
D。\(\angle2\) 和 \(\angle4\) 是对顶角，不管 \(a\)、\(b\) 平不平行都相等，说明不了什么。A、B、C 分别是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
易错
3. “∵ \(\angle3=\angle5\)，∴ \(a\parallel b\)（ ）”括号里应填什么？
提示
圈出已知：已知的是角还是线？推出的是什么？
A。已知的是角，推出的是线，用判定，“角在前、线在后”。\(\angle3\)、\(\angle5\) 是内错角，不是同位角。B 是性质，方向反了。
4. 直线 \(a\)、\(b\) 被直线 \(c\) 所截（题目没有说 \(a\)、\(b\) 的位置关系），\(\angle1=70^\circ\)。\(\angle5\) 是多少度？
提示
“同位角相等”成立的前提是什么？题目给了吗？
D。\(\angle1\) 和 \(\angle5\) 是同位角，但没有 \(a\parallel b\) 这个条件，同位角不一定相等。图上“看起来平行”不能当已知。
5. 在同一平面内，直线 \(a\perp b\)，\(b\perp c\)。直线 \(a\) 和 \(c\) 是什么关系？
提示
把 \(b\) 看成截线，\(a\)、\(c\) 和 \(b\) 相交成的同位角各是多少度？
B。以 \(b\) 为截线，\(a\)、\(c\) 与 \(b\) 所成的同位角都是 \(90^\circ\)（垂直的定义），相等，所以 \(a\parallel c\)（同位角相等，两直线平行）。“垂直再垂直还是垂直”是凭感觉类推，错了。
挑战
6. 已知 \(a\parallel b\)，\(\angle4\) 比 \(\angle1\) 大 \(40^\circ\)。\(\angle6\) 是多少度？
提示 1：先求 ∠1、∠4
\(\angle1\) 和 \(\angle4\) 有公共边（\(a\) 向右的部分），另一边互为反向延长线：它们是什么关系？和是多少？
提示 2：∠6 和谁有关系
\(\angle6\) 在 \(b\) 上方、\(c\) 左边，和 \(\angle4\) 是哪一类角？
B。\(\angle1+\angle4=180^\circ\)（邻补角互补），又 \(\angle4-\angle1=40^\circ\)，所以 \(\angle1=70^\circ\)，\(\angle4=110^\circ\)。∵ \(a\parallel b\)，∴ \(\angle6=\angle4=110^\circ\)（两直线平行，内错角相等）。检查：\(\angle5=\angle1=70^\circ\)（同位角），\(\angle5+\angle6=180^\circ\) ✓。A 是 \(\angle1\)。
本节中考真题
共 27 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习已知平行求角。选完看解析，核对每一步用到的角的关系。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四上第5单元 · 平行四边形和梯形小学通过三角尺与直尺画垂线和平行线、认识点到直线的距离，初中在此基础上用同位角、内错角、同旁内角建立平行线的判定与性质定理。