培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
三角形的内角和是 180°，四边形呢？五边形、十边形呢？连一条对角线，把多边形切成三角形，答案就出来了。再沿着多边形走一圈，每次转过的外角加起来有什么规律？
本节导读 先修：13.1、13.3 三角形 · 本节路线
要用到：三角形的内角和定理、外角、三个外角的和是 360°（回看 13.3）；三角形的稳定性（回看 13.1）；解一元一次方程。
- 撕下四边形的四个角，看它们拼成什么。
- 四边形的定义、记法、对角线、内角与外角；本章只研究凸四边形。
- 连对角线，证明四边形内角和 360°；再得外角和 360°。
- 推广到 \(n\) 边形：内角和 \((n-2)\times180^\circ\)，外角和仍是 \(360^\circ\)。
- 四边形没有稳定性；正多边形要“边都相等、角都相等”两条。
- 练习与中考真题：求角、求边数。
剪一张四边形纸片，把四个角撕下来，顶点对在一起拼。换几种形状试试（点按钮），看拼出来是什么：
不管四边形是什么形状，四个内角加起来总是多少度？
B。三种形状拼出来都是一个周角。选 A 是把三角形的结论直接搬了过来；选 D 是只看到角的大小在变，没看到它们的和不变。
可是“试了三个都对”不等于“每个都对”。这一节要证明它：连一条对角线，四边形就变成两个三角形。再把它推广到五边形、六边形……
1. 先认识几个词：四边形、对角线、内角与外角
前置知识：三角形的定义和内角、外角（回看 13.3）。四边形的说法都从三角形“类比”过来。
四边形：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形。记作“四边形 \(ABCD\)”，字母要按顶点的顺序写，\(ABCD\) 和 \(ADCB\) 是同一个，\(ACBD\) 却不是。
直觉微图解 ①同样四个点，怎样连才是四边形 \(ABCD\)
凸四边形：画出任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧。今后没有特别说明，说的四边形、多边形都是凸的。
核心概念 ②边和对角线
连接不相邻两个顶点的线段叫对角线。四边形 \(ABCD\) 的对角线是 \(AC\)、\(BD\)；\(AB\)、\(BC\) 是相邻顶点连成的，是边。一条对角线把凸四边形分成两个三角形。
核心概念 ③内角和外角
相邻两边组成的角是内角；一边和另一边的延长线组成的角是外角。外角和相邻的内角是邻补角：外角 \(=180^\circ-\)内角。
2. 核心点：四边形的内角和是 360°
撕角拼角只是猜想。要证明，就把新问题变成学过的问题：连一条对角线，四边形变成两个三角形，三角形的内角和我们会。
直觉微图解 ②切成三角形：怎么切都得 360°
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle A=\angle C\)，\(\angle B\) 比 \(\angle A\) 大 \(30^\circ\)，\(\angle D=2\angle A\)。求 \(\angle D\)。
① 读懂题意：四个角都和 \(\angle A\) 有关，还缺一个“等量关系”。它从哪里来？
提示 1：设谁为 \(x\)
设 \(\angle A=x^\circ\)，把另外三个角都用 \(x\) 表示；四个角的和是多少？
看完整示范
④ 回头看：四边形求角，等量关系几乎总是“内角和 \(360^\circ\)”。设一个角为 \(x\)，其余用 \(x\) 表示，一个方程就够了。
自己试试：四边形有三个内角分别是 \(100^\circ\)、\(85^\circ\)、\(70^\circ\)，第四个内角是多少？
A。\(360^\circ-100^\circ-85^\circ-70^\circ=105^\circ\)。选 C 是只把三个角加起来就停了；选 B 是求出 \(105^\circ\) 后又用 \(180^\circ\) 减了一次，算成了外角。
3. 核心点：四边形的外角和也是 360°
在每个顶点处各取一个外角，它们的和叫外角和。每个顶点的内角和外角凑成 \(180^\circ\)，四个顶点共 \(4\times180^\circ=720^\circ\)，减去内角和：
直觉微图解 ③沿着边走一圈：每到一个顶点转一个外角，回到起点正好转一整圈
例 2（示范）
一个四边形在每个顶点处各取一个外角，这四个外角的度数之比是 \(1:2:3:4\)。这个四边形最大的内角是多少度？
提示：先算外角，再找内角
外角和是多少？最大的内角和哪个外角相邻——最大的还是最小的？
看完整示范
回头看：外角越小，内角越大。直接答 \(144^\circ\)（最大的外角）是碰巧数字相同，理由却错了。
自己试试：四边形的三个外角分别是 \(80^\circ\)、\(95^\circ\)、\(100^\circ\)。第四个顶点处的内角是多少？
C。第四个外角 \(360^\circ-80^\circ-95^\circ-100^\circ=85^\circ\)，相邻内角 \(180^\circ-85^\circ=95^\circ\)。选 A 是求出第四个外角就停了，题目问的是内角；选 B 是三个外角的和。
4. 推广：\(n\) 边形的内角和与外角和
由 \(n\) 条线段 \(A_1A_2\)，\(A_2A_3\)，…，\(A_nA_1\) 首尾顺次相接组成的平面图形叫 \(n\) 边形（\(n\ge3\)）。从一个顶点出发，能画 \((n-3)\) 条对角线（不能连自己和两个邻居），把 \(n\) 边形分成 \((n-2)\) 个三角形：
直觉微图解 ④从一个顶点出发切：边数减 2 个三角形
外角和与边数无关。各个角都相等、各条边都相等的多边形叫正多边形，正 \(n\) 边形每个外角 \(=360^\circ\div n\)。
例 3（示范：求边数）
一个多边形的内角和比它外角和的 \(3\) 倍少 \(180^\circ\)。它是几边形？
提示：设边数
设它是 \(n\) 边形，内角和用 \(n\) 表示，外角和是定值。
看完整示范
回头看：如果解出的 \(n\) 不是整数，说明这样的多边形不存在。
自己试试：一个正多边形的每个内角都是 \(150^\circ\)，它是正几边形？
提示
先算每个外角，再用外角和 \(360^\circ\) 除。
B。每个外角 \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\)，\(360\div30=12\)。也可以列方程 \((n-2)\times180=150n\)，同样得 \(n=12\)。外角法更快。
再想一个：下面哪个一定是正多边形？
C。等边三角形三个角也都是 \(60^\circ\)，是正三角形。A：把正方形木框推斜，四边仍相等，角不相等了；B：长方形四个角都是直角，长和宽可以不等。四边形以上，“边都相等”“角都相等”两条缺一不可。
5. 四边形没有稳定性
三角形三条边定了，形状就定了（回看 13.1）。四边形不行：四条边的长度不变，四个角还能变，木框一推就斜（“动手”②里推推看）。在一对不相邻的顶点之间钉一根木条，木框被分成两个三角形，三角形有稳定性，木框就不再变形。伸缩门、升降架正是利用了四边形的不稳定性。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：哪些正多边形能铺地？
只用同一种正多边形，无缝、不重叠且边与边完整相接地铺满平面。你认为哪些形状可以？用一个顶点周围的角解释。
想好后看解释
用同一种正多边形无缝、不重叠地铺地，拼在一个顶点处的几个角加起来必须是 \(360^\circ\)。正三角形 \(60^\circ\)（6 个）、正方形 \(90^\circ\)（4 个）、正六边形 \(120^\circ\)（3 个）都行；正五边形每个角 \(108^\circ\)，\(360\div108\) 不是整数，单独铺不满。
① 拖四边形的顶点：内角和、外角和变不变
拖动四个顶点（或点一下顶点再用方向键），顶点停在格点上。切换“内角 / 外角”看两种和。
② 推一推木框：四边形的不稳定性
拖动滑块上的圆点（或方向键）改变 \(\angle B\)；再点“钉木条”，试试还能不能推动。
③ 进阶：正 \(n\) 边形的每个内角和外角
拖动滑块（或方向键）改变边数 \(n\)，从 \(3\) 到 \(12\)。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 九边形的内角和是多少度？
C。\((9-2)\times180^\circ=1260^\circ\)。A 是 \(9\times180^\circ\)；B 是用了 \(9-3\)；D 是外角和。
2. 正十边形的每个内角是多少度？
A。每个外角 \(360^\circ\div10=36^\circ\)，内角 \(180^\circ-36^\circ=144^\circ\)。B 是外角；C 是把内角和算成 \(10\times180^\circ\) 再除以 \(10\)；D 是内角和，忘了平均分给 \(10\) 个角。
易错
3. 十二边形的外角和是多少度？
D。任何多边形的外角和都是 \(360^\circ\)，与边数无关（翻车现场 ①）。A 是十二边形的内角和；B 是 \(12\times180^\circ\)；C 是每个顶点取了两个外角的那种想法。
4. 从一个多边形的某个顶点出发，一共能画 \(5\) 条对角线。这个多边形的内角和是多少度？
提示
从一个顶点出发的对角线有 \((n-3)\) 条。先求 \(n\)。
B。\(n-3=5\)，\(n=8\)，内角和 \(6\times180^\circ=1080^\circ\)。A 是把 \(5\) 条对角线当成 \(5\) 个三角形；C 是把 \(5\) 当成了边数。
5. 下面说法正确的是哪一个？
提示
每一句都找找反例：推斜的木框、长方形、三角形。
C。\((n+1-2)\times180^\circ-(n-2)\times180^\circ=180^\circ\)。A：推斜的正方形木框；B：四边形没有稳定性；D：外角和恒为 \(360^\circ\)。
挑战
6. 小明算一个多边形的内角和，漏加了一个内角，得到 \(1000^\circ\)。漏掉的那个内角是多少度？
提示 1：内角和有什么特点
内角和一定是 \(180^\circ\) 的整数倍，而且比 \(1000^\circ\) 大。
提示 2：漏掉的角有多大
凸多边形的一个内角在 \(0^\circ\) 和 \(180^\circ\) 之间，所以真实内角和在 \(1000^\circ\) 和 \(1180^\circ\) 之间。
A。\(1000^\circ\) 和 \(1180^\circ\) 之间，\(180^\circ\) 的倍数只有 \(1080^\circ\)（八边形），漏掉的角 \(1080^\circ-1000^\circ=80^\circ\)。B 是 \(1000\div180\) 的余数，和漏掉的角无关；C 取了 \(1260^\circ\)，漏掉的角超过 \(180^\circ\)，凸多边形不可能。
本节中考真题
共 16 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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多边形的内角和、外角和是中考填空题的常客。做完看解析。