培玉 · 一试

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并排比较

这两道题哪里一样？想好再点

2014 年安徽预赛第 10 题

P010177 · 递推数列

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2} + 3}{2 a _{n}}$ ， $n \geq 1$ 。求证：

(1)
当 $n \geq 2$ 时， $a_{n}$ 严格单调递减；
(2)
当 $n \geq 1$ 时， $a_{n + 1} - 3 = 23 \frac{r ^{2^{n}}}{1 - r ^{2^{n}}}$ ，这里 $r = 2 - 3$ 。

2011 年河北预赛第 14 题

P010612 · 递推数列

已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足

a_{1} = 2 p, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{p ^{2}}{a _{n}}), b_{n} = \frac{a _{n} + p}{a _{n} - p} (n \in N^{*}, p > 0) .

(1)
求数列 ${b_{n}}$ 的通项；
(2)
证明： $\frac{a _{n} - p}{a _{n + 1} - p} = 3^{2^{n - 1}} + 1$ ；
(3)
设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n}$ 与 $(n + \frac{23}{18}) p$ 的大小关系是否确定？请说明理由。