并排比较

2010 年黑龙江预赛 第 19 题

P010585 · 数列综合

（12分）已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=4$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{n+1}-3S_n-2n-4=0$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   设函数 $f(x)=a_{n}x+a_{n-1}{x}^2+\cdots +a_1{x}^n$，$f^{\prime }(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，令 $b_n=f^{\prime }(1)$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式，并研究其单调性。

2013 年山西预赛 第 11 题

P010746 · 组合计数综合

盒中装有红色和蓝色纸牌各 $100$ 张，每色纸牌都含标数为 $1,3,3^2,\dots ,3^{99}$ 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为 $S$。对于给定的正整数 $n$，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为 $n$，便称为一种取牌 $n$ 方案，不同的 $n$ 方案种数记为 $f(n)$。试求 $f(1)+f(2)+\cdots +f(S)$ 的值。