并排比较

看起来很像，为什么方法不同？

2009 年河北预赛第 17 题

P009478 · 递推数列

已知函数 $f (x) = x^{2} - 2$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{n}, f (x_{n}))$ ， $n \in N^{*}$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $B (x_{n + 1}, 0)$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $x_{1} = 3$ 。

(1)
求证： $x_{n} > 2$ ， $n \in N^{*}$ ；
(2)
设 $b_{n} = x_{n} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2 (3 - 2)$ 。

2009 年陕西预赛第 13 题

P010519 · 数列综合

已知函数 $f (x) = \frac{16 x + 7}{4 x + 4}$ ，数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0, b_{1} > 0$ ， $a_{n} = f (a_{n - 1}), b_{n} = f (b_{n - 1})$ ， $n = 2, 3, \dots$ 。

(1)
求 $a_{1}$ 的取值范围，使得对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ；
(2)
若 $a_{1} = 3, b_{1} = 4$ ，求证： $0 < b_{n} - a_{n} \leq \frac{1}{8 ^{n - 1}}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ 。

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2009 年河北预赛 第 17 题

2009 年陕西预赛 第 13 题

2009 年河北预赛第 17 题

2009 年陕西预赛第 13 题