2022 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

为便于归纳，补记 $f_0(x)=1$。对 $k\ge 1$ 有 $f_k^{\prime }(x)=-f_{k-1}(x)$。若 $f_{2n-2}$ 在全实轴为正，则 $f_{2n-1}$ 严格递减；它是负首项系数的奇次式，两端极限分别为 $+\infty ,-\infty$，故有唯一实根 $a_n$。又 $f_{2n-1}(0)=1$，所以 $a_n>0$。 进一步，$f_{2n}^{\prime }=-f_{2n-1}$ 在 $a_n$ 左侧为负、右侧为正，故 $f_{2n}$ 的全局最小值为

从 $f_0>0$ 开始，同步归纳即证所有偶数阶式为正及所有奇数阶式有唯一根，完成(1)。 对于(2)，在 $x=2n$ 处按相邻项配对，得

由严格递减性可知 $0<a_n<2n$。因此

而 $f_{2n+1}$ 严格递减，唯一零点为 $a_{n+1}$，故 $a_n<a_{n+1}$。结论为 $\boxed{\{a_n\}\text{严格递增}}$。