并排比较

2013 年辽宁预赛 第 14 题

P009402 · 数列综合

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2-n{a}_n+\lambda$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\lambda$ 为实数）。
(1) 若 $a_n\ge 2n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围；
(2) 若 $\lambda =-2$，求证：
$\frac{1}{a_1-2}+\frac{1}{a_2-2}+\cdots +\frac{1}{a_n-2}<2$。

2013 年中科大少年班初试 第 5 题

P010040 · 递推数列

数列$\{a_n\}$各项均为正数，且$a_{n+1}=a_n+c{a}_n^2(c>0\text{为常数})$。

1. (1)

   求证：对任意正数$M$，存在$N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，当$n>N$时有$a_n>M$；

2. (2)

   设$b_n=\frac{1}{1+c{a}_n}$，$S_n$是$\{b_n\}$的前$n$项和，求证：对任意$d>0$，存在$N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，当$n>N$时有$0<\left|S_n-\frac{1}{c{a}_1}\right|<d$。