易混 2022 年贵州预赛 · P006848
两题都涉及圆弧区域，可以用扇形减三角形，但区域的截断方式决定应减哪块三角形。竖直截线下的圆弧面积，与首尾弦截下的圆弓形不是同一形状，不能机械套用同一个弓形公式。
一题按指定横坐标截取曲线下方区域；另一题先找到短弧，再用弦与弧之间的区域包住多边形。
培玉 · 一试
2012 年河北预赛（高三卷） · 第 2 题
F2填空题积分的应用
。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
被积函数是半径为二的上半圆。
思路
所求面积可以看成对应扇形减去一个直角三角形，不必先处理根式积分。
解答
在圆 上取点 ，再记 、、。因 ，有 。
积分表示 时曲线与横轴之间的面积，正好等于扇形 减去直角三角形 。因此
复核
也可用原函数核验：
在 内有 ，且两端连续。、，相减与面积法相同。
方法总结
根号 在圆弧区间上的积分，可优先识别为圆域面积。分清扇形中多出的三角形，再用扇形角度与直角边计算。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
须把根式被积函数识别为圆弧，将所求竖向区域正确拆成扇形减直角三角形；求出对应圆心角后即可算面积，并可用原函数复核。
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