2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 10 题

思路

线性特解是先找一个简单数列抵消非齐次项，本题直接代入 $a_n=n$ 即可确认。对 $0<u<v<1$，用差 $u+1/u-v-1/v=(v-u)(1/(uv)-1)>0$ 判单调，无需求导。

想法从哪来：试算前几项时，原数列不会直接周期重复，因为递推里不断加入下标。但这个外加项是一次式，所以先减去一个一次特解：令 $b_n=a_n-n$，新递推就不再含下标。把最初两项当字母递推六次，会看到状态原样返回，于是原数列每六项只上移一个固定量。 这一步同时解决两个难点：大下标可以按余数折回；“所有项非负”可以完整压到前六项，而非只看最初两项。再用乘积条件把首项表示成第二项的函数，利用非负约束先限定第二项的正区间，才可判断 $y+1/y$ 的单调方向。最后把等号参数放回前六项，借六项平移保证无限后续也合法。

直接递推到第 $2022$ 项不合适。令 $b_n=a_n-n$ 可化成 $b_{n+1}=b_n-b_{n-1}$，呈现六项周期；这使无限非负条件归结为前六项的非负。随后利用乘积条件把 $a_1$ 写成一个单变量函数，并用非负条件确定其所在区间。