2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题

解答

对 $x>0$，

且等号只在 $x=4$ 时成立。因此值域包含 $9$ 当且仅当 $a\ge 4$。 另一方面，

在 $x\ge 2$ 的范围内，此式等价于 $x\le 8$。所以函数在整个 $[2,a]$ 内不超过 $11$ 当且仅当 $a\le 8$。 若 $4\le a\le 8$，则 $f$ 连续，且 $f(4)=9$、$f(2)=11$，因而其值域确为 $[9,11]$。 故所求范围为 $\boxed{[4,8]}$。