易混 2025 年全国高中数学联赛一试(B 卷) 第 5 题 · P007117
两题都可见正项与倒数项相加,但允许范围决定均值等号是否有效。根式换元带来的下界可能把全正轴上的驻点挡在区间外;定和正变量的比值则可以遍历整个正半轴,等号比例才有机会实现。
不能只认出同一种分式外形就套用相同最值。先定位新变量范围,再决定取内部平衡点还是定义域边界。
设 ,不等式
恒成立,则实数 的最大值为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
令 ,把根式和平方统一成一个满足 的变量。
令 ,则 。原不等式等价于
即对任意 都有
函数 在 上严格递增,最小值为 。因此
当 时,
对所有 成立,并在 时取等。
形如 的恒成立问题可用新变量统一代数化,但必须保留新变量的准确下界。
取t=sqrt(x²+1)>=1直接消去根式,并在给定区间最小化2t+1/t,单调性和边界t=1明确。
易混 2025 年全国高中数学联赛一试(B 卷) 第 5 题 · P007117
两题都可见正项与倒数项相加,但允许范围决定均值等号是否有效。根式换元带来的下界可能把全正轴上的驻点挡在区间外;定和正变量的比值则可以遍历整个正半轴,等号比例才有机会实现。
不能只认出同一种分式外形就套用相同最值。先定位新变量范围,再决定取内部平衡点还是定义域边界。
已记下,谢谢!