并排比较

看起来很像，为什么方法不同？

2009 年河南预赛第 5 题

P010204 · 数列的和

已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为

a_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) n + n n + 1}, n \in N^{*} .

其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。在数列 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{2009}$ 中，有理数项共有多少项？

P006818 · 数列的性质

已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有

a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1,

其中 $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和。求证：

（1）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} < 2 n$ ；

（2）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} a_{n + 1} < 1$ 。