2013 年中科大少年班初试

按原题序浏览；已整理 5/7 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

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第 1 题

本题整理中，不计分。

已知 $sin x + sin y = 1/3, cos x - cos y = 1/5$ ，求 $cos (x + y)$ 与 $sin (x - y)$ 。

点 $A$ 在直线 $y = k x$ 上，点 $B$ 在直线 $y = - k x$ 上，其中 $k > 0$ ， $∣ O A ∣ \cdot ∣ OB ∣ = k^{2} + 1$ ，且 $A, B$ 在 $y$ 轴同侧。

本题整理中，不计分。

数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，且 $a_{n + 1} = a_{n} + c a_{n}^{2} (c > 0 为常数)$ 。

(1)
求证：对任意正数 $M$ ，存在 $N \in N^{*}$ ，当 $n > N$ 时有 $a_{n} > M$ ；
(2)
设 $b_{n} = \frac{1}{1 + c a _{n}}$ ， $S_{n}$ 是 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证：对任意 $d > 0$ ，存在 $N \in N^{*}$ ，当 $n > N$ 时有 $0 < S_{n} - \frac{1}{c a _{1}} < d$ 。

已知 $x, y, z$ 是互不相等且都大于1的正整数， $x yz ∣ (x y - 1) (yz - 1) (z x - 1)$ ，求 $x, y, z$ 。

已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x} - 1$ 。

(1)
求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ；
(2)
数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1, x_{1} = 1$ ，求证：数列 ${x_{n}}$ 递减且 $x_{n} > 1/ 2^{n}$ 。