2023 年中科大少年班初试

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练习时长（分钟）

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第 1 题

复数 $z$ 满足

z^{2023} - z - 1 = 0.

求证：

∣ z ∣ \leq 1 ⟺ ℜ (z) \leq - \frac{1}{2} .

设 $α_{i}$ （ $1 \leq i \leq 5$ ）为 $R^{3}$ 中的五个非零向量。求证：存在非零向量 $β \in R^{3}$ ，使得存在

1 \leq j_{1} < j_{2} < j_{3} < j_{4} \leq 5,

满足 $β$ 与 $α_{j_{k}}$ 的夹角均不超过 $\frac{π}{2}$ （ $k = 1, 2, 3, 4$ ）。

甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄。称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记 $n$ 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为 $p_{n}$ 。求 $p_{n}$ 及

n \to \infty lim p_{n} .

(1) 当 $x > 0$ 时，证明

x - \frac{x ^{3}}{6} < sin x < x .

(2) 若

0 < a_{1} < 3, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{sin a _{n}}{n + 1},

证明：对任意正整数 $n$ ，都有

n a_{n} < \frac{3 a _{1}}{3 - a _{1}^{2}} .

将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 。例如 $a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{3} = 5, \dots$ 。求证：对任意正整数 $n$ ，都有

∣ a_{n} - n - n ∣ < \frac{1}{2} .