培玉 · 一试

2025 年中科大少年班营一

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 5/5 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

椭圆

\frac{x ^{2}}{9} + y^{2} = 1

与曲线

x y = t

有四个交点。

(1)
求 $t$ 的范围；
(2)
求这四个交点构成的四边形面积。

第 2 题

求实数 $a$ 的范围，使方程

x^{4} + x^{3} - 7 x - a = 0

在 $(0, + \infty)$ 上恰有一个解。

第 3 题

设

a_{0} > 0, a_{1} > 0,

并满足

a_{2 n} = \frac{1 + a _{2 n - 1}}{a _{2 n - 2}}, a_{2 n + 1} = \frac{1 + a _{2 n}^{2}}{a _{2 n - 1}} (n \geq 1) .

求证 ${a_{n}}$ 是周期数列，即存在正整数 $m$ ，使得 $a_{n + m} = a_{n}$ 恒成立。

第 4 题

记 $f (n)$ 为满足 $3^{k} ∣ n$ 的最大整数 $k$ 。求证：

f (4^{n} - 1) = f (n) + 1.

第 5 题

有 $1, 2, \dots, n$ 个球和 $1, 2, \dots, n$ 个盒子。按球的号码顺序从小到大把球放入盒子。一开始先把第 $1$ 号球随机放入一个盒子。在放置第 $k$ 号球时（ $k \geq 2$ ），若 $k$ 号盒子为空，则把第 $k$ 号球放入 $k$ 号盒子；若 $k$ 号盒子非空，则把第 $k$ 号球随机放入一个剩下的空盒子中。记 $X (k)$ 为第 $k$ 号球放入的盒子编号。求在条件

X (1) \neq = 1

下，

X (n) = n

的概率。