培玉 · 一试

2014 年中科大少年班初试

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练习时长（分钟）

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第 1 题

本题整理中，不计分。

第 2 题

本题整理中，不计分。

第 3 题

函数 $f (x) = \frac{2}{2} (cos x - sin x) sin (x + \frac{π}{4}) - 2 a sin x + b (a > 0)$ 的最大值为1，最小值为 $- 4$ ，求 $a, b$ 的值。

第 4 题

已知 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都有反函数，且反函数分别为 $f^{- 1} (x), g^{- 1} (x)$ 。

(1)
证明： $y = f (g (x))$ 的反函数为 $y = g^{- 1} (f^{- 1} (x))$ ；
(2)
设 $F (x) = f (- x)$ 。若 $f (x)$ 的反函数是 $F (x)$ ，证明 $f (x)$ 为奇函数。

第 5 题

已知椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 。过椭圆上一点 $M$ 作圆的两条切线，切点分别为 $P, Q$ ，直线 $PQ$ 与 $x, y$ 轴分别交于点 $E, F$ ，求 $△ EOF$ 的面积的最小值。

第 6 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0, a_{n + 1} = n p^{n} + q a_{n}$ 。

(1)
若 $q = 1$ ，求 $a_{n}$ ；
(2)
若 $∣ p ∣ < 1, ∣ q ∣ < 1$ ，求证数列 ${∣ a_{n} ∣}$ 有界。

第 7 题

已知 $n$ 是正整数，求证：当 $x \leq n$ 时， $n - n (1 - \frac{x}{n})^{n} e^{x} \leq x^{2}$ 。