2022 年中科大少年班初试

按原题序浏览；已整理 5/5 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

求满足

a + b + c = 2022

且 $ab c$ 可被2022整除的正整数有序三元组 $(a, b, c)$ 的个数。

求满足如下条件的所有函数 $f (x)$ ：

(i) 定义域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ；

(ii) $f (0) = 0$ ；

(iii) $sin f (x) - \frac{1}{3} sin f (\frac{x}{3}) = x$ 恒成立。

欧拉公式

1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} + \dots = \frac{π ^{2}}{6} .

求最小正整数 $n$ ，使得

k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} > \frac{π ^{2}}{6} - \frac{1}{2022} .

在圆周上独立地随机选取 $n$ 个点，求这 $n$ 个点可以被半圆周覆盖的概率。

设

f_{n} (x) = 1 - x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{( - x ) ^{n}}{n !}, n \in N^{+}, x \in R .

(1) 证明：方程 $f_{2 n - 1} (x) = 0$ 有唯一实数根，记作 $a_{n}$ 。

(2) 数列 ${a_{n}}$ 是否为单调数列？请证明你的结论。