培玉 · 一试

2026 年培玉原创改编高中数学竞赛

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第 1 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线段 $Γ$ 由参数方程

⎩ ⎨ ⎧ x = t + \frac{1}{t}, y = t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} - 3 (t + \frac{1}{t}) + 6 (t \in [\frac{1}{2}, 3])

给出。记 $Γ$ 上全体点的纵坐标的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $9 M + 9 m =$ 。

第 2 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知定点 $P_{0} (1, 1)$ ，直线 $l$ 的参数方程为

{x = 1 + 3 t, y = 1 + 4 t (t \in R) .

若直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 16 x + 9$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $∣ P_{0} A ∣ \cdot ∣ P_{0} B ∣ + ∣ A B ∣ =$ 。

第 3 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点 $P (x, y)$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上满足 $x \geq 23$ 且 $y \geq 0$ 的弧段上的动点。记 $f (x, y) = 3 x + 43 y$ 在该弧段上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M^{2} + m^{2} =$ 。

第 4 题

在极坐标系（极点为 $O$ ，极轴为 $O x$ ，与平面直角坐标系 $x O y$ 的原点及 $x$ 轴正半轴重合）中，已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin θ$ 。

（1）求曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的直角坐标方程，求出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的全部公共点的直角坐标，并说明为什么仅联立同角方程 $4 cos θ = 4 sin θ$ 会漏掉极点 $O$ ；

（2）过极点 $O$ 作两条夹角为 $\frac{π}{3}$ 的射线 $θ = α$ 与 $θ = α + \frac{π}{3} (α \in (0, \frac{π}{6}))$ ，其中射线 $θ = α$ 与 $C_{1}$ 交于异于 $O$ 的点 $A$ ，射线 $θ = α + \frac{π}{3}$ 与 $C_{2}$ 交于异于 $O$ 的点 $B$ 。求 $△ O A B$ 面积的最大值及此时 $α$ 的值。

第 5 题

已知可导函数 $f (x)$ 在 $R$ 上满足 $f (x) = x^{3} - 2 x f^{'} (1) + f (0)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线经过点 $(2, - 5)$ 。设 $g (x) = \frac{f ( x )}{x + 1} (x \neq = - 1)$ ，则 $g^{'} (1) =$ 。

第 6 题

设正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} (n \in N^{*})$ ，记其前 $n$ 项和为 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 。若实数 $M$ 对一切正整数 $n$ 均满足

S_{n} < M < S_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )},

则 $lim_{n \to \infty} (n^{2} (M - S_{n})) + M =$ 。