2026 年中科大少年班营一

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $f (x)$ 是首项系数为1的四次多项式，满足：

求 $f (x)$ 。

设 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in C$ ，满足

k = 1 \sum n ∣ z_{k} ∣ < ln 2.

证明：

k = 1 \prod n ∣1 + z_{k} ∣ \leq 2 k = 1 \sum n ∣ z_{k} ∣ + 1.

求方程组

⎩ ⎨ ⎧ (x^{2} - x) y^{3} = \frac{625}{1024}, (y^{2} - y) x^{3} = \frac{625}{1024}, (x > 0, y > 0)

的解。

设 $n \geq 2$ 。已知方程

k = 1 \sum n x^{k} = 1.

(1)
证明方程有且仅有一个正根 $x_{n}$ ；
(2)
证明 $x_{n + 1} \leq x_{n}$ ；
(3)
证明 $\frac{1}{2} < x_{n} \leq \frac{1}{2 - a ^{n}}$ ， $a = \frac{5 - 1}{2}$ 。

设 $a, b > 0$ 。

(1)
已知 $A_{i} (x_{i}, y_{i})$ ， $B_{i} (\frac{x _{i}}{a}, \frac{y _{i}}{b}) (i = 1, 2, 3)$ ，求 $\frac{S _{△ B_{1} B_{2} B_{3}}}{S _{△ A_{1} A_{2} A_{3}}}$ 。
(2)
求椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \leq 1$ 与 $\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} \leq 1$ 的公共面积。

设 $A = {1, 2, \dots, n}$ ， $B \subseteq A$ 。若 $B$ 中任意两个元素 $b_{1}, b_{2}$ 都满足 $∣ b_{1} - b_{2} ∣ \geq 2$ ，则称 $B$ 为“完美集”。

(1)
在 $A$ 中任取 $m$ 个元素组成 $B$ ，求 $B$ 为完美集的概率。
(2)
设 $1 \leq m \leq \frac{n + 1}{2}$ 。若有 $m$ 个大小都为 $m$ 的完美集 $B_{1}, \dots, B_{m}$ （可相同），证明：存在一种从每个集合中各取1个元素的取法，使所得 $m$ 个元素构成完美集。