培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第三章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系
用一个字母代替会变的数，一个式子就能说清一整类情况。这一节学三件事：什么是代数式、怎样把文字关系写成代数式、什么叫“乘积一定”的反比例关系。
本节导读 先修：2.3 有理数的乘方 · 本节路线
要用到：有理数的四则运算和乘方（回看 2.3）；小学里用字母表示运算律和面积公式（没学过也不要紧，这一节从头讲）。
- 从买彩笔进入：盒数会变，就用字母代替它。
- 认识代数式，分清代数式和等式、不等式；学会书写规范。
- 反过来读：按运算顺序说出代数式的意义。
- 列代数式：先用文字写出关系，再逐项换成式子。
- 反比例关系：两个量的乘积一定；和“和一定”“比值一定”比一比。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易写错”。
文具店里一盒彩笔有 \(12\) 支。点下面的按钮，看看买不同盒数时一共有多少支：
买 \(n\) 盒，一共有多少支彩笔？选出数量关系正确、书写也规范的一项。
A。买几盒就乘几：\(12\times n\)，数和字母相乘时省略乘号、数写在前面，写成 \(12n\)。看关系：C 把“乘”错成了“加”，D 是“平均每盒分”的意思，方向反了，这两项数量关系就错了。看书写：B 的关系没错（也是 \(12\) 乘 \(n\)），但数应写在字母前面，不规范。
只用一个式子 \(12n\)，买 \(2\) 盒、\(5\) 盒、\(30\) 盒都说清了。这样的式子叫代数式。这一节要回答：什么样的式子是代数式？怎样把一句话正确地写成代数式？
1. 先认识几个词：代数式和它的书写规范
前置知识：有理数的乘方（回看 2.3）。代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接起来的式子，例如 \(12n\)、\(0.8x-5\)、\(a^2\)、\(\tfrac{s}{6}\)。单独一个数或一个字母也是代数式，例如 \(8\)、\(m\)。点下面几个式子，判断它是不是代数式：
直觉微图解 ①有“=”“>”“<”的，就不是代数式
核心概念 ②字母代表的是数
\(12n\) 里的 \(n\) 是“盒数”这个数，不是“彩笔”本身。列式时要说清字母表示哪个量、单位是什么。同一个代数式还能放进不同情境：\(1.5t\) 可以是每千克 \(1.5\) 元的土豆买 \(t\) kg 的钱数，也可以是每秒走 \(1.5\) m、走 \(t\) s 的路程。
字母不一定是正数：取值按题意确定；没有另外限制时，也可以是负数或 \(0\)。\(-a\) 是相反数，不一定是负数：\(a=-4\) 时，\(-a=4\)（回看 1.2）。
核心概念 ③代数式 vs 等式、不等式
代数式只写“怎么算”，不下结论。\(3a\) 是代数式；\(C=3a\) 说“\(C\) 等于 \(3a\)”，是等式；\(2x>5\) 是不等式。它们都不是代数式。
书写规范（每次写完都对照一遍）。点一点，看左边的写法怎样改成规范写法：
直觉微图解 ②五条书写规范
2. 核心点：说出代数式的意义——先算的先说
看到一个代数式，按它的运算顺序说出来：先算的先说，最后一步是什么运算，就说成什么（和、差、积、商、平方）。
直觉微图解 ③把代数式看成一条流水线：数字依次经过每一步
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
说出 \(3(k+2)\) 和 \(3k+2\) 的意义，并各举一个生活中的例子。
① 读懂题意：两个式子长得很像，都有 \(3\)、\(k\)、\(2\)。要说清它们的区别，先看什么？
提示 1：找最后一步
\(3(k+2)\) 先算括号里的 \(k+2\)，最后乘 \(3\)；\(3k+2\) 先算 \(3k\)，最后加 \(2\)。
看完整示范
\(3k+2\) 是“\(k\) 的 \(3\) 倍与 \(2\) 的和”。例：\(3\) 袋饼干每袋 \(k\) 块，另有 \(2\) 块散装的，一共 \(3k+2\) 块。
④ 回头看：括号改变了运算顺序，意义就变了。说意义时，“和的 3 倍”和“3 倍与 2 的和”只差几个字，顺序却完全不同。
自己试试：\(4(n-1)\) 的意义是什么？
B。括号里的 \(n-1\) 先算，最后一步乘 \(4\)，所以是“差的 \(4\) 倍”。A 和 C 说的都是 \(4n-1\)。
3. 核心点：列代数式——先写文字关系，再换成字母
反过来，把一句话写成代数式：按叙述的顺序，先说的先写。题目长的时候分三步：找出有哪些量 → 用文字写出它们的关系 → 逐项换成数和字母。
直觉微图解 ④用线段图分清“比 \(a\) 的 3 倍少 2”和“\(a\) 与 2 的差的 3 倍”
例 2（示范）
打印店黑白打印每页 \(0.2\) 元，彩色打印每页 \(a\) 元。小敏打印了 \(30\) 页黑白、\(8\) 页彩色，付了 \(20\) 元。应找回多少元？
① 读懂题意：题里有哪几笔钱？哪个量是会变的，用字母表示？
提示 1：先用文字写关系
找回的钱 ＝ 付的钱 － 黑白打印的钱 － 彩色打印的钱。
看完整示范
④ 回头看：只含具体数的部分（\(20-6\)）可以先算出来；含字母的部分写成 \(8a\) 就是答案，不用再变形。
自己试试：“\(x\) 与 \(5\) 的差的一半”怎样列式？
A。先说“\(x\) 与 \(5\) 的差”，写 \(x-5\)；最后一步是“一半”，整个差除以 \(2\)。分数线起括号的作用。B 是“\(x\) 的一半与 \(5\) 的差”；C 顺序也反了。
再试一个：一个两位数，十位上的数字是 \(a\)，个位上的数字是 \(b\)。这个两位数怎样表示？
提示
先拿一个具体的数想：\(37\) 是几个十加几个一？
B。\(37=3\times10+7\)，所以十位是 \(a\)、个位是 \(b\) 的数是 \(10a+b\)。A 的 \(ab\) 表示 \(a\times b\)，不是把两个数字并排写；C 是数字和；D 把十位和个位弄反了。
4. 核心点：反比例关系——乘积一定的两个量
先回顾正比例：每支笔 \(3\) 元，买的支数和总价一起变，比值（总价 ÷ 支数 \(=3\)）一定。再换一种情况：班上 \(48\) 人分组，每组人数相同。每组 \(x\) 人，分成 \(y\) 组：每组 \(2\) 人有 \(24\) 组，每组 \(4\) 人有 \(12\) 组，每组 \(6\) 人有 \(8\) 组……\(x\) 变，\(y\) 跟着变，但 \(x\cdot y\) 总是 \(48\)。
反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，并且这两个量的乘积一定，这两个量就叫成反比例的量，它们的关系叫反比例关系，写成 \(xy=k\)（\(k\) 是一个确定的值，\(k\ne0\)）。小学学没学过都不要紧，这里从头讲。注意：\(xy=k\) 有等号，是等式，不是代数式。
判断依据是乘积一定，不是“一个变大、另一个变小”。
直觉微图解 ⑤三种关系放在一起：每次都算一算 \(x\cdot y\)
例 3（示范）
一个水箱装满了 \(360\) L 水。打开阀门，每分钟放出 \(x\) L，\(y\) min 放完。\(y\) 与 \(x\) 成反比例关系吗？如果成，写出关系式，并说出每分钟放 \(24\) L 时要几分钟放完。
① 读懂题意：哪两个量在变？哪个量不变？
提示 1：写出两个量的乘积
每分钟放的水量 × 放水时间 ＝ ？
看完整示范
④ 回头看：判断反比例分两步：写出两个量的乘积；看它是否等于一个确定的非零值，并说出这个积表示什么。
自己试试：下面哪两个量成反比例关系？
A。步长 × 步数 ＝ 路长，\(xy=1200\)，乘积一定。B 是 \(y\div x=4\)，比值一定，是正比例；C 是和一定，乘积会变；D 两个量没有确定的关系。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：如果 \(xy=0\)，还能唯一确定吗？
如果把乘积一定中的常数改成 \(0\)，取 \(x=0\) 时，\(y\) 能取哪些数？只给出这个 \(x\)，能唯一确定 \(y\) 吗？
想好后看解释
为什么 \(k\ne0\)？如果 \(k=0\)，取 \(x=0\) 时，\(y\) 取什么数都满足 \(xy=0\)，“一个量变、另一个量随着变”就说不通了。
① 找规律：用小棒搭一排“小房子”
每间小房子是一个正方形加一个三角形屋顶，相邻两间共用一面墙。拖动滑条上的圆点（或点一下圆点再用方向键）改变房子的间数 \(n\)。红色是最左边那面墙，每间房子再添 5 根（底、顶、右墙和两根屋顶）。搭 \(n\) 间要几根？先自己写出式子，再拖动核对。
② 进阶：面积一定和周长一定，长和宽的关系一样吗？
拖动长方形右上角的圆点（或选中后按方向键）改变长 \(x\)，每格边长 1 cm。先看面积一定（\(24\) cm²），再切到周长一定（长 + 宽 \(=12\) cm），比一比乘积。
自主工作台：先自己写，再核对
草稿只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。式子可用 + − * × / ÷ ^、小数和括号，乘号可省略，平方可写 ²；不要填等号或单位。网页会合并同次幂来核对，试几个数不能证明式子等价。遇到无法识别的写法，会给出核对建议；文字理由请对照提交后给出的准则自己检查。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 小芳每天跳绳 \(x\) 下，坚持了两个星期。她一共跳了多少下？选出数量关系正确、书写也规范的一项。
B。两个星期是 \(14\) 天，总数 ＝ 每天的下数 × 天数 ＝ \(14x\)。看关系：A 只算了一个星期，C 用错了运算。看书写：D 的关系对，但数要写在字母前面。
2. 代数式 \(x^2-3\) 的意义是什么？
B。先算 \(x^2\)，最后减 \(3\)，是“平方与 \(3\) 的差”。A 是 \((x-3)^2\)；C 是 \(2x-3\)，把平方当成了乘 \(2\)。
易错
3. 每支笔 \(y\) 元，小林买了 \(4\) 支，付了 \(20\) 元。应找回多少元？选出数量关系正确、书写也规范的一项。
提示
先用文字写：找回的钱 ＝ 付的钱 － 花的钱。式子是差，后面又要写单位。
A。找回 \(20-4y\)，看关系：C 减反了（花的钱减付的钱），关系错。看书写：B 关系对，但式子是差、后面带单位要加括号，漏了括号读起来像只有 \(4y\) 带单位；D 关系对，但数要写在字母前面。
4. “\(m\) 与 \(n\) 的差的平方”怎样列式？
提示
最后一步是什么运算？是“差”还是“平方”？
C。先算 \(m\) 与 \(n\) 的差，最后整个差平方，差要加括号。A 是“\(m\) 与 \(n\) 的平方的差”；B 是“\(m\) 的平方与 \(n\) 的平方的差”；D 把平方当成了乘 \(2\)。
5. 下面哪两个量成反比例关系？
提示
每个选项都写出两个量的乘积，看它是不是一个确定的非零值。
A。每瓶的量 × 瓶数 ＝ 油的总量，\(xy=18\)。B 是年龄差一定；C 是长 + 宽 \(=15\)，和一定；D 是 \(y\div x=6\)，比值一定，是正比例。
挑战
6. 一张方桌四边各坐 \(1\) 人。把 \(n\) 张方桌拼成一长条（相邻两张桌子拼在一起的那一边不能坐人），一共能坐多少人？
提示 1：先数前几个
\(1\) 张坐 \(4\) 人，\(2\) 张坐 \(6\) 人，\(3\) 张坐几人？画个草图数一数。
提示 2：从“形”上看
长条的上下两边，每张桌子各坐 \(1\) 人；左右两头再各坐 \(1\) 人。
B。上下两边共 \(2n\) 人，两头 \(2\) 人，一共 \(2n+2\) 人。用前几个验证：\(n=1\) 得 \(4\)，\(n=2\) 得 \(6\)，\(n=3\) 得 \(8\) ✓。A 没减去拼接处少坐的人；C 在 \(n=2\) 时是 \(7\)，不对；D 在 \(n=1\) 时是 \(6\)，不对。
本节中考真题
共 12 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 五上第5单元 · 用字母表示数和数量关系小学初步学会用字母代替未知数或公式中的边长，初中将其系统化为代数式书写规范，支撑后续一切整式与方程运算。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 数列的概念初中按序号规律用含 $n$ 的代数式表示第 $n$ 个图形或数的探究题，在高中正式上升为数列的通项公式 $a_n=f(n)$。