培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
两个未知数一起解不出来？先想办法消掉一个，变成会解的一元一次方程。消元有两种手段：代入和加减。这一节学会它们，也学会挑更省事的那一种。
本节导读 先修：5.2 解一元一次方程、10.1 · 本节路线
要用到：等式的性质、解一元一次方程（回看 5.2）；二元一次方程组和它的解（回看 10.1）；去括号、合并同类项（回看 4.2）。
- 从两盘水果称重进入：比一比，一个未知数就“消失”了。
- 消元思想：二元 → 一元，先求一个，再求另一个。
- 代入消元法：变形、代入另一个方程、回代。
- 加减消元法：系数相等就减，互为相反数就加。
- 系数都不对齐时先乘数；怎样选方法更省事。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
两个盘子放在秤上：第一盘是 \(1\) 个苹果和 \(1\) 个梨，共 \(400\) g；第二盘是 \(2\) 个苹果和 \(1\) 个梨，共 \(650\) g。（同一种水果一样重。）点下面几步，比一比两盘：
一个苹果重多少克？
A。两盘相同的部分（\(1\) 个苹果 \(1\) 个梨）抵掉，第二盘只多出 \(1\) 个苹果，多出 \(650-400=250\) g。梨就是 \(400-250=150\) g。选 B 是把 \(650\) 平均分给了两个苹果，忘了盘里还有梨。
设苹果 \(x\) g、梨 \(y\) g：\(\begin{cases}x+y=400\\2x+y=650\end{cases}\)。“两盘比一比”就是第二个方程减第一个，\(y\) 一下子没了，只剩 \(x=250\)。这一节要回答：怎样有计划地把一个未知数消掉？
1. 先认识几个词：消元
前置知识：解一元一次方程（回看 5.2）、方程组的解（回看 10.1）。两个未知数的方程组，我们还不会直接解；但一个未知数的方程，我们会。所以思路是：
直觉微图解 ①二元 → 一元 → 回代：先求一个，再求另一个
- 消元：把方程组里的一个未知数消去，二元一次方程组就化成了一元一次方程。这种“未知数由多化少、逐个解决”的想法叫消元思想。
- 代入消元法（代入法）：从一个方程里把某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，代入另一个方程。
- 加减消元法（加减法）：让某个未知数在两个方程里的系数相等或互为相反数，再把两个方程的两边分别相减或相加。
核心概念 ②代入：同一个字母，同一个量
两个方程里的 \(y\) 表示同一个数。第一个方程说 \(y\) 等于 \(2x-1\)，第二个方程里的 \(y\) 就可以整体换成 \(2x-1\)。依据是等量代换。
核心概念 ③加减：两个等式相加减，仍是等式
“\(\textcircled{2}-\textcircled{1}\)”是用 ② 的左边减 ① 的左边，② 的右边减 ① 的右边。等量减等量，差仍相等，这就是两盘水果比一比。
2. 核心点：代入消元法
挑一个容易变形的方程（最好有系数是 \(1\) 或 \(-1\) 的未知数），把它写成“\(y=\)含 \(x\) 的式子”或“\(x=\)含 \(y\) 的式子”，再代入另一个方程。代进去的式子要整体加括号。
直觉微图解 ②代到哪里去？只能代入另一个方程
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
用代入法解方程组 \(\begin{cases}2x+y=7\ \textcircled{1}\\3x-2y=7\ \textcircled{2}\end{cases}\)。
① 读懂题意：两个未知数、两个方程。哪个未知数最容易单独拿出来？
提示 1：看系数
① 里 \(y\) 的系数是 \(1\)，移项就得 \(y=7-2x\)，不出分数。
提示 2：代到哪里
把 \(y=7-2x\) 代入 ②，并把 \(7-2x\) 整体加括号。
看完整示范
④ 回头看：回代时选 ③ 最省事，因为它已经是“\(y=\)”的样子。如果先表示 \(x\)，会得到 \(x=\tfrac{7-y}{2}\)，也能做，只是要算分数。
再走一步：系数都不是 ±1，怎样去分母？
另例：① \(2x+3y=11\)，② \(3x-2y=10\)。由①得 \(x=(11-3y)/2\)，分母是非零的数 \(2\)。整体代入②：\(3(11-3y)/2-2y=10\)。
两边每项同乘 \(2\)：\(3(11-3y)-4y=20\)，去括号得 \(33-13y=20\)，于是 \(y=1\)。回代①：\(2x+3=11\)，\(x=4\)。验两原式：\(8+3=11\)、\(12-2=10\)。先写分数，再去分母；右边也要乘。
自己试试：用代入法解 \(\begin{cases}x=3y-1\\2x+y=12\end{cases}\)，结果是哪一个？
A。\(2(3y-1)+y=12\)，\(7y=14\)，\(y=2\)，\(x=3\times2-1=5\)。B 把 \(x\)、\(y\) 写反了；C 只满足第一个方程（\(16+3=19\ne12\)）。
3. 核心点：加减消元法
先看同一个未知数在两个方程里的系数：相等就相减，互为相反数就相加。都不是时，先给一个或两个方程的两边同乘一个数，把系数“对齐”，就像通分。
直觉微图解 ③对齐一列，相加或相减，那一列就变成 0
例 2（示范：系数都不对齐时）
用加减法解方程组 \(\begin{cases}3x+4y=2\ \textcircled{1}\\2x-3y=7\ \textcircled{2}\end{cases}\)。
① 读懂题意：\(x\) 的系数 \(3\) 和 \(2\)，\(y\) 的系数 \(4\) 和 \(-3\)，都既不相等也不相反。怎么办？
提示 1：消哪一个
\(y\) 的系数一正一负，乘成 \(12\) 和 \(-12\) 后直接相加，不用担心减号变号。
提示 2：乘几
① 两边乘 \(3\)，② 两边乘 \(4\)。右边的常数也要乘！
看完整示范
④ 回头看：先消 \(x\) 也行（\(\textcircled{1}\times2-\textcircled{2}\times3\)），结果一样，只是要做减法，更容易在符号上出错。
自己试试：方程组 \(\begin{cases}4x+3y=11\ \textcircled{1}\\4x-y=7\ \textcircled{2}\end{cases}\) 中，\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 得到的方程是哪一个？
B。\(3y-(-y)=4y\)，\(11-7=4\)，所以 \(4y=4\)，\(y=1\)，再得 \(x=2\)。A 是 \(-y\) 没变号（算成 \(3y-y\)）；C、D 是右边加了起来。
再试一个：解 \(\begin{cases}2x-y=5\ \textcircled{1}\\7x+3y=24\ \textcircled{2}\end{cases}\)，用 \(\textcircled{1}\times3+\textcircled{2}\) 消去 \(y\)，得到哪个方程？
A。\(\textcircled{1}\times3\)：\(6x-3y=15\)，加 ②：\(13x=39\)，\(x=3\)，\(y=1\)。B 是只乘了左边、右边的 \(5\) 没乘（\(5+24=29\)）；C 是没乘 \(3\) 就相加，得 \(9x+2y=29\)，又把 \(2y\) 当成抵消掉了；D 是左边乘 \(3\) 后相加，右边却算成了 \(24-5=19\)。这道题用代入法（由 ① 得 \(y=2x-5\)）也很顺手。
怎样选方法：有系数是 \(\pm1\) 的未知数，代入法往往省事；某个未知数的系数相等、互为相反数或者容易乘成这样，加减法省事。方程里有分母、括号的，先去分母、去括号，整理成 \(ax+by=c\) 的样子再选。两种方法对任何二元一次方程组都能用，先消哪个元，解都一样。
另外，题目给出方程组的解、让你求方程里的字母系数，也是本节常见题：把解代进每个方程，字母系数就成了新的未知数，再解它们组成的方程（组）。
4. 用之前必查：三大翻车现场
自己完成：从消元到两式检验
① 代入：x 一确定，一切都确定
方程组 \(\begin{cases}y=2x-3\ \textcircled{1}\\3x+2y=22\ \textcircled{2}\end{cases}\)。拖动 \(x\)（或点一下圆点再用方向键），\(y\) 按 ① 跟着变；条形是 ② 的左边 \(3x+2y\)，竖线是 \(22\)。
② 加减：给两个方程各乘一个数
先选一个方程组，再拖动乘数 \(m\)、\(n\)：上两行是 \(\textcircled{1}\times m\)、\(\textcircled{2}\times n\)，下面是两行相加。乘数取负数，就相当于相减。让某一列变成 \(0\)！
③ 进阶：不求 x、y，也能求 x + y
方程组 \(\begin{cases}2x+y=p\ \textcircled{1}\\x+2y=q\ \textcircled{2}\end{cases}\)。拖动 \(p\)、\(q\)，看 \(\textcircled{1}+\textcircled{2}\) 和 \(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 各得到什么。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 方程组 \(\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}\) 的解是哪一个？
A。两式相加：\(2x=6\)，\(x=3\)，代入得 \(y=2\)。B 写反了（\(2-3=-1\)）；C 只满足第一个（\(4-1=3\ne1\)）；D 只满足第二个（\(2-1=1\)，但 \(2+1=3\ne5\)）。
2. 用代入法解 \(\begin{cases}y=x+2\\3x-y=4\end{cases}\)，把第一个方程代入第二个，正确的是哪一个？
B。\(y\) 整体换成 \((x+2)\)，括号不能丢。解得 \(2x-2=4\)，\(x=3\)，\(y=5\)。A 丢了括号，\(+2\) 没变号；C 是把 \(x+2\) 代错了位置；D 是减号丢了。
易错
3. 解 \(\begin{cases}2x-3y=1\ \textcircled{1}\\4x+5y=13\ \textcircled{2}\end{cases}\)，要消去 \(x\)，先把 ① 两边乘 \(2\)，得到的是哪个方程？
提示
左边每一项乘 \(2\)，右边也乘 \(2\)。
B。再用 \(\textcircled{2}-\textcircled{3}\)：\(11y=11\)，\(y=1\)，\(x=2\)。A 漏乘右边（翻车现场 ①）；C 漏乘 \(y\) 那一项；D 把符号乘丢了。
4. 方程组 \(\begin{cases}3x+2y=7\ \textcircled{1}\\3x-4y=1\ \textcircled{2}\end{cases}\) 中，\(\textcircled{1}-\textcircled{2}\) 得到哪个方程？
提示
先写 \((3x+2y)-(3x-4y)=7-1\)，再去括号。
B。\(2y-(-4y)=6y\)，\(7-1=6\)。于是 \(y=1\)，\(x=\tfrac53\)。A 是 \(-4y\) 没变号；C、D 是右边做错了运算。
5. 已知 \(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) 是方程组 \(\begin{cases}ax+y=5\\x+by=7\end{cases}\) 的解，那么 \(a+b\) 等于多少？
提示
把 \(x=1,\ y=2\) 代进每个方程，\(a\)、\(b\) 就成了要求的未知数。
A。\(a+2=5\)，\(a=3\)；\(1+2b=7\)，\(b=3\)。\(a+b=6\)。
挑战
6. 已知 \(3x+2y=11\)，\(2x+3y=9\)，那么 \(x+y\) 和 \(x-y\) 分别是多少？
提示 1：两式相加
\(5x+5y=20\)，两边除以 \(5\)。
提示 2：两式相减
第一个减第二个，\(x\) 和 \(y\) 的系数各是多少？
A。相加：\(5(x+y)=20\)，\(x+y=4\)；相减：\(x-y=2\)。不用先求 \(x\)、\(y\)（其实 \(x=3,\ y=1\)）。B 是相减时方向弄反了；C 是忘了除以 \(5\)。
本节中考真题
共 7 道，含 5 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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各地中考常考：直接解方程组、已知解求系数、整体加减。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 椭圆初中解二元一次方程组的“代入消元法”，在高中解析几何中直接用于联立直线方程与椭圆（及双曲线、抛物线）方程，消去 $y$ 化归为一元二次方程并应用韦达定理。