29.1 圆的有关概念

日常生活中，很多同学容易把“弧长相等”误当成“等弧”。

例如：小圆半径为 1，半圆弧长是 \(\pi\)；大圆半径为 2，四分之一圆弧长也是 \(\frac{1}{4} \times 4\pi = \pi\)。虽然这两条弧长度完全一样（都是 \(\pi\)），但把它们叠放在一起，小圆弧弯曲得更厉害，大圆弧更平缓，根本无法完全重合！因此，只有在半径相等的圆里，弯曲度与长度都完全一致的弧才叫等弧。

【例 1】在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 3\)，\(AD = 4\)。以点 \(A\) 为圆心作 \(\odot A\)，若点 \(B, D\) 中至少有一个点在 \(\odot A\) 内，且至少有一个点在 \(\odot A\) 外，求 \(\odot A\) 的半径 \(r\) 的取值范围。

1. ① 读懂题意：圆心是顶点 \(A\)，已知矩形邻边 \(AB = 3, AD = 4\)，要求点 \(B, D\) 一点在圆内、一点在圆外，求半径 \(r\) 的范围。
2. ② 想办法：先算出点 \(B, D\) 到圆心 \(A\) 的距离 \(d_B = AB = 3\)，\(d_D = AD = 4\)。因为 \(d_B \lt d_D\)，所以只能是距离较近的点 \(B\) 在圆内、距离较远的点 \(D\) 在圆外。
3. ③ 执行 + 执行中检查：由点 \(B\) 在 \(\odot A\) 内得 \(r \gt AB = 3\)；由点 \(D\) 在 \(\odot A\) 外得 \(r \lt AD = 4\)（检查：当 \(r=3\) 时点 \(B\) 在圆上，当 \(r=4\) 时点 \(D\) 在圆上，均不满足“在圆内/外”，故不能取等号）。因此 \(3 \lt r \lt 4\)。
4. ④ 回头看：如果题目问的是“矩形的三个顶点 \(B, C, D\) 中至少有一点在圆内、至少有一点在圆外”，则还需把对角顶点到圆心的距离纳入比较，确定最近与最远的顶点后再写半径上下界。

若三点 \(A, B, C\) 在同一直线上，作线段 \(AB\) 的垂直平分线 \(l_1\) 和线段 \(BC\) 的垂直平分线 \(l_2\)。

因为 \(l_1 \perp AC\) 且 \(l_2 \perp AC\)，所以在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行（\(l_1 \parallel l_2\)）。两条平行线永远不会相交，因此找不到到三点距离都相等的点作为圆心！所以“不在同一直线上”是确定圆不可或缺的数学前提。

【例 2】在平面直角坐标系中，点 \(A(0, 4), B(6, 0), O(0, 0)\)，求经过 \(A, B, O\) 三点的圆的圆心坐标与半径。

1. ① 读懂题意：已知坐标原点 \(O(0,0)\) 与坐标轴上的两点 \(A(0,4), B(6,0)\)，\(\angle AOB = 90^\circ\)，求 \(\triangle AOB\) 外接圆的圆心与半径。
2. ② 想办法：因为 \(\angle AOB = 90^\circ\)，\(\triangle AOB\) 是直角三角形，斜边为 \(AB\)。根据直角三角形外心性质，外心即为斜边 \(AB\) 的中点，半径为斜边长的一半。
3. ③ 执行 + 执行中检查：斜边 \(AB\) 的中点坐标为 \(M\left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (3, 2)\)；由勾股定理得斜边长 \(AB = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)，故外接圆半径 \(R = \frac{1}{2}AB = \sqrt{13}\)（检查：\(MO = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}\)，\(MA = \sqrt{3^2+(2-4)^2} = \sqrt{13}\)）。
4. ④ 回头看：见到 \(90^\circ\) 直角顶点，立即锁定“斜边中点即外心”，免去繁琐的两条垂直平分线联立计算。

审题时务必看清题干给出的是“半径”还是“直径”！点与圆位置的判定标准是 \(d\) 与半径 \(r\) 比较，若题中给出直径，必须先除以 2 求出半径，切勿直接用直径判断。