九年级上册 · 第二十九章圆 · 第三十章直线与圆的位置关系

30.1 直线与圆

从日出、车轮着地的现象出发，研究直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离），通过比较圆心到直线距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小来判断位置关系，学习切线的性质与判定，以及两种常用的辅助线添法（“见切点连半径证垂直”、“无切点作垂直证半径”）。

本节导读　先修：7.1 垂线与点到直线距离 · 14.3 角的平分线 · 20.1 勾股定理 · 29.1 圆的有关概念 · 本节路线

要用到：点到直线的距离（回看 7.1）、角的平分线的性质（回看 14.3）、勾股定理计算（回看 20.1）、点与圆的位置关系（回看 29.1）。

从海上日出地平线与太阳圆轮的交触切入：两者的公共点个数如何变化？
掌握直线与圆的三种位置关系：相交（2个公共点，$d \lt r$）、相切（1个公共点，$d = r$）、相离（0个公共点，$d \gt r$）；
理解切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；
理解切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
掌握证明切线时两种常用的辅助线添法；
动手交互实验：直线与圆位置关系测算台、进阶切线性质与判定联动台（含重置按钮）；
中考真题演练，练习切线的性质与判定证明，以及用勾股定理计算线段长。

设太阳的半径为 $r = 70\text{ px}$，地平线为水平直线 $l$，太阳圆心到海平面的距离为 $d$。当太阳刚好与海平面相切时，圆心到地平线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的数量关系是（）

B。当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切，此时圆心到直线的垂直距离恰好等于圆的半径，即 $d = r$。

若太阳还在海面下方一部分，直线与圆有两个公共点（相交），此时 $d \lt r$；若太阳完全升入空中，与海平面没有公共点（相离），此时 $d \gt r$。

在研究了点与圆的位置关系后，我们自然将视线拓展到直线与圆。直线的无限延伸与圆的封闭曲线相遇，可能穿透、可能擦肩而过，也可能产生最奇妙的几何契合——相切。切线是初中几何证明与几何综合题中出现频率最高、技巧性最强的核心载体。

1. 先认识几个词：割线、切线与切点

切线

与圆只有一个公共点；该点是切点。

割线

与圆有两个不同公共点，穿过圆内部。

抓住关系： $\color{#2F7A56}{\underbrace{d}_{\text{圆心到直线距离}}}=\color{#966524}{\underbrace{r}_{\text{半径}}}$

先检查条件，再使用关系；彩色标注帮助区分量。

为了精确刻画直线与圆的几何交互，数学上严格定义了以下词汇：

割线（secant line）：与圆有两个公共点的直线叫作圆的割线，两公共点之间的线段即为圆的弦。
切线（tangent line）：与圆有且只有一个公共点的直线叫作圆的切线。
切点（point of contact / tangency）：切线与圆唯一的那个公共点叫作切点。
圆心到直线的距离 $d$：从圆心向直线引垂线，垂线段的长度即为距离 $d$。

直觉微图解 ①直线与圆的三种位置关系（数形等价）

设 $\odot O$ 的半径为 $r$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$：相交 $\iff d \lt r$（2 个公共点）；相切 $\iff d = r$（1 个公共点）；相离 $\iff d \gt r$（0 个公共点）。

直觉微图解 ②切线的性质定理：“见切点，连半径，得垂直”

圆的切线垂直于经过切点的半径：若直线 $l$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，则必有 $OA \perp l$（$\angle OAP = 90^\circ$），在 $\text{Rt}\triangle OAP$ 中直接锁住勾股定理与互余关系。

直觉微图解 ③切线的判定定理与两大辅助线口诀

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知公共点时“有交点，连半径，证垂直”；未知公共点时“无交点，作垂直，证半径（$d=r$）”。

2. 核心定理与辅助线推演

切线的判定与性质构成了初中几何互逆的两大支柱：

自己试试 1：已知 $\odot O$ 的半径 $r = 5$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d = 4$，则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系是（）

A。因为 $d = 4$，$r = 5$，满足 $d \lt r$，所以直线与圆相交，有两个公共点。

自己试试 2：参照上方微图 2，已知 $PA$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$，点 $P$ 在 $\odot O$ 外，连接 $OP, OA$。若 $\angle OPA = 30^\circ$，则 $\angle AOP$ 的度数是（）

C。由切线性质定理，$OA \perp PA$，即 $\angle OAP = 90^\circ$。在 $\text{Rt}\triangle OAP$ 中，$\angle AOP = 90^\circ - \angle OPA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。

典例 1（波利亚四步法）：“有交点，连半径，证垂直”证明圆的切线

【例 1】在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$，过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于点 $E$。求证：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线。

① 读懂题意：已知等腰 $\triangle ABC$（$AB=AC$），$AB$ 为 $\odot O$ 直径，点 $D$ 在 $\odot O$ 上且在 $BC$ 上，$DE \perp AC$。求证 $DE$ 切 $\odot O$ 于点 $D$。
② 想办法：直线 $DE$ 与 $\odot O$ 已有明确公共点 $D$！按口诀“有交点，连半径，证垂直”，第一步连接半径 $OD$；由于已知 $DE \perp AC$，只需证 $OD \parallel AC$ 即可得 $OD \perp DE$。
③ 执行 + 执行中检查：连接 $OD$。在 $\odot O$ 中，$OB = OD$，故 $\angle ODB = \angle B$；又在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，故 $\angle C = \angle B$。因此 $\angle ODB = \angle C$，由同位角相等得 $OD \parallel AC$（检查：也可连 $AD$ 用直径所对圆周角 $\angle ADB=90^\circ$ 及三线合一证 $D$ 为 $BC$ 中点，得中位线 $OD \parallel AC$）。因 $DE \perp AC$，故 $OD \perp DE$。又点 $D$ 在 $\odot O$ 上，所以 $DE$ 是 $\odot O$ 的切线。
④ 回头看：凡题目明确指出“交 $\odot O$ 于点 $D$”或“过 $\odot O$ 上一点 $D$”，第一步永远是连接半径 $OD$，再通过平行线或互余角转化证 $90^\circ$。

进阶自检：只证明 OD 垂直 DE 就够了吗？

还不够。必须明确 D 是圆上的点，OD 才是到公共点的半径。本例题设已经给出 D 在圆上，连同 $OD\perp DE$ 才能用切线判定；过半径中点作垂线会穿过圆。

典例 2（波利亚四步法）：“无交点，作垂直，证半径”证明圆的切线

【例 2】在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，以点 $D$ 为圆心、$DC$ 为半径作 $\odot D$。判断直线 $AB$ 与 $\odot D$ 的位置关系，并证明你的结论。

① 读懂题意：圆心为点 $D$，半径 $r = DC$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，$\angle C = 90^\circ$。要判断斜边 $AB$ 与 $\odot D$ 的位置关系。
② 想办法：题目未说明直线 $AB$ 与 $\odot D$ 是否有公共点！按口诀“无交点，作垂直，证半径”，过圆心 $D$ 作 $DH \perp AB$ 于点 $H$，再证 $DH = DC = r$。
③ 执行 + 执行中检查：过点 $D$ 作 $DH \perp AB$，垂足为 $H$。因为 $\angle C = 90^\circ$，所以 $DC \perp BC$。又因为 $BD$ 平分 $\angle ABC$，且 $DC \perp BC, DH \perp AB$，由角的平分线的性质定理得 $DH = DC$（检查：圆心 $D$ 到直线 $AB$ 的距离 $d = DH$，半径 $r = DC$，满足 $d = r$）。因此直线 $AB$ 与 $\odot D$ 相切。
④ 回头看：对比典例 1 与典例 2：已知公共点时“连半径证垂直”，未知公共点时“作垂直证 $d=r$”，两句口诀分工明确，切忌在未知公共点时凭空臆造“切点”连线。

进阶自检：为什么先作 DH 垂直 AB？

直线与圆的位置由圆心到直线的距离决定，而距离是垂线段的长。先作 $DH\perp AB$，才有 $d=DH$；再证明 $DH=DC=r$。任取一条长等于半径的斜线段，不能代替距离。

自己试试 3：点 $A$ 在 $\odot O$ 上，直线 $l$ 经过点 $A$，要判定直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线，还必须补充的条件是（）

B。切线判定定理明确要求：“经过半径外端并且垂直于这条半径”。已知点 $A$ 在圆上，只需证明 $OA \perp l$ 即可断定直线 $l$ 是切线。

想一想：切线判定定理中的两个条件为什么缺一不可？

1. 只垂直，不经过半径外端：例如过半径的中点作半径的垂线，它穿过圆内部，是割线而非切线！
2. 只经过外端，但不垂直：例如过圆上一点引一条与半径夹角为 $60^\circ$ 的斜直线，它同样穿透了圆，有两个公共点，是割线而非切线。
只有同时满足“在圆上（半径外端）”且“垂直于半径”，直线才被牢牢锁定在唯一切点处！

中考经典：切线与角平分线的黄金搭档证明模型

在中考几何综合题中，经常出现如下经典模型：已知 $OP$ 平分 $\angle APB$，$OA \perp PA$（即 $PA$ 是切线）。要求证 $PB$ 也是切线。
证明策略：过 $O$ 作 $OB \perp PB$ 于 $B$。由角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），直接得出 $OB = OA = r$。由于垂线段等于半径，立即判定 $PB$ 也是切线！

用之前必查：三大翻车现场

翻车 1

错误：垂直半径的直线一定相切

核对：过半径中点作垂线得到割线；还需经过半径外端。

翻车 2

错误：圆上一个点到直线距离等于半径

核对：判断位置关系要用圆心到直线的距离。

翻车 3

错误：已知圆上点就可认定直线相切

核对：直线还须经过该点并垂直过该点的半径。

再走一步：第 (2) 问接着第 (1) 问做

解答题常分两问：先证切线，再求长度。第 (1) 问的结论不是做完就扔，它正是第 (2) 问的工具。

桥接例题：用切线得到的直角，设半径 r 列方程

【题目】在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，点 $O$ 在 $AB$ 上，$\odot O$ 经过 $B,D$ 两点，与 $AB$ 的另一个交点为 $E$。
(1) 求证：$AC$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $AD=6$，$AE=2$，求 $\odot O$ 的半径。

(1) $D$ 在圆上，有公共点，连半径 $OD$。$OB=OD$ 得 $\angle OBD=\angle ODB$；$BD$ 平分 $\angle ABC$ 得 $\angle OBD=\angle DBC$。所以 $\angle ODB=\angle DBC$，$OD\parallel BC$。又 $\angle C=90^\circ$，故 $OD\perp AC$，$AC$ 是切线。

卡在哪里：第 (2) 问只给了 $AD$ 和 $AE$，半径不知道，$OD,AO$ 也都不知道。
看到什么信号：第 (1) 问刚证出 $OD\perp AC$，$\text{Rt}\triangle ADO$ 就有了：$AD$ 已知，另两边都和半径有关。
第一步怎么做：设半径为 $r$，把未知边都写成 $r$：$OD=OE=r$，$AO=AE+OE=r+2$。
解：在 $\text{Rt}\triangle ADO$ 中，$r^2+6^2=(r+2)^2$，展开得 $36=4r+4$，$r=8$。检查：三边 $6,8,10$，$6^2+8^2=10^2$ ✓。
回头看：求长度卡住时，先把上一问的结论标在图上，看它送来哪个直角，再用 $r$ 表示未知边。学完相似三角形后，这类题还能用比例列方程。

只写一步 1：点 $O$ 在 $AB$ 上，$\odot O$ 过点 $B$，交 $AB$ 于另一点 $E$。第 (1) 问已证 $AC$ 切 $\odot O$ 于点 $D$。第 (2) 问给 $AD=8$，$AE=4$，求半径。第一步应写（）

B。切线的直角已经证过，直接用：$r^2+8^2=(r+4)^2$，得 $r=6$。A 重复了已证过的结论；C 中 $\triangle ABD$ 没有直角，不能用勾股定理；D 没有依据，这样算得 $4$，不等于 $6$。

只写一步 2：$PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，线段 $PO$ 交 $\odot O$ 于点 $C$，$PA=9$，$PC=3$。设半径为 $r$，应列的方程是（）

C。连 $OA$ 得 $\angle OAP=90^\circ$，斜边 $OP=r+3$，解得 $r=12$。A 把 $PC$ 当直角边、$PA$ 当斜边；B 把最长的 $OP$ 当直角边；D 把 $OP$ 写成了 $PB=2r+3$。

实验 1直线与圆位置关系测算台

拖动滑块调节圆心到水平直线的距离 $d$，固定圆半径 $r = 60$。实时观察直线与圆的交点个数及位置关系的判定。

距离 d： 60

实验 2进阶：切线旋转与垂直几何联动台

拖动滑块改变切点 $A$ 在圆周上的方位角度，观察切线随着切点位置的变化而旋转，切线与半径 $OA$ 之间的直角垂直关系永恒保持！

切点 A 方位角： 45°

证明工坊：先选辅助线，再写依据

先在上方实验中观察三种位置关系，再完成下面五份论证。图上的交点计数只能提出猜想；证明要对任意符合条件的圆和直线成立。全程设半径 $r>0$，距离 $d\ge0$。

每题先独立选择并写证明，点“核对结构与自查”后逐句对照参考链。选择题只检查结构；文字、纸笔或同伴讨论的论证只供准则自核，不会自动记作证明正确，也不写入学习记录。刷新不保存草稿。

任务 1：从实验猜想到一般位置关系

任取直线 $l$，以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径作圆。令 $H$ 为圆心到直线的垂足；若 $O$ 就在直线上，约定 $H=O,d=0$。请分别证明 $d<r,d=r,d>r$ 时恰有两个、一个、零个公共点，并说明为什么也能反向判断。

请交付：三种情况的推理、公共点的存在性及个数上限；另外单独检查 $d=0$，不要把退化图形当直角三角形。

任务 2：已给出公共点，独立证明判定条件

点 $A$ 在 $\odot O$ 上，点 $P\ne A$ 在经过 $A$ 的直线 $l$ 上，且 $OA=AP$、$\angle OPA=45^\circ$。判断 $l$ 与圆的位置关系并证明。题设没有给出切线。

请交付：题设中的公共点、所选辅助线、角度推理、使用判定定理时的完整条件。

任务 3：未标公共点的正向条件题

在非退化的锐角 $\angle APB$ 内，点 $O$ 在角平分线上。已知 $OA\perp PA$，垂足 $A$ 在边 $PA$ 上，$OA=r>0$。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径作圆。判断直线 $PB$ 与圆的位置关系并证明。题中没有标出 $PB$ 与圆的公共点。

请交付：自己命名辅助点并作线、等长的依据、距离与半径的比较；不能先称辅助点为切点。

任务 4：未标公共点的反向条件题

点 $O$ 在锐角 $\angle APB$ 内，$OA\perp PA$，垂足为 $A$，$OA=r>0$。从 $O$ 到直线 $PB$ 的距离是 $OA$ 的一半。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径作圆。有人说“$PA$ 是切线，所以 $PB$ 也是切线”。这一推断成立吗？证明实际的位置关系。

请交付：辅助线、距离比较、公共点个数的依据，以及这次为何不能借用上一题的角平分线条件。

任务 5：解释切线性质的反证矛盾

已知直线 $l$ 与 $\odot O$ 只有一个公共点 $A$。证明 $OA\perp l$。从“假设不垂直”开始，解释辅助垂足与 $A$ 的关系、距离为何小于半径、最后与哪条已知矛盾。也要处理圆心在直线上的可能情形。

请交付：完整反证链，标明所用已证结论；不能用正在证明的切线性质先得到直角。

练习 1：已知 $\odot O$ 的直径为 10，直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切，则圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为（）

B。直径为 10，所以半径 $r = 5$。直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即 $d = r = 5$。

练习 2：在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ, AC = 3, BC = 4$。以 $C$ 为圆心，$r$ 为半径作圆。若 $\odot C$ 与斜边 $AB$ 相切，则半径 $r$ 等于（）

A。斜边 $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。利用等面积法求斜边上的高：$\frac{1}{2}AC \times BC = \frac{1}{2}AB \times h \implies 3 \times 4 = 5 \times h \implies h = 2.4$。圆与斜边相切时，半径等于圆心到直线的距离，即 $r = h = 2.4$。

练习 3：参照讲清楚微图 2 第 3 档（圆周角联动），已知直线 $PA$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$，线段 $PO$ 交 $\odot O$ 于点 $C$，延长 $PO$ 交 $\odot O$ 于点 $B$，连接 $AB$。若 $\angle OPA = 54^\circ$，则 $\angle ABO$ 的度数是（）

C。连接 $OA$，由切线性质定理得 $OA \perp PA$，所以 $\angle AOP = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$。因为 $OA = OB$，$\triangle OAB$ 是等腰三角形，且外角 $\angle AOP = \angle ABO + \angle OAB = 2\angle ABO$（或由同弧所对圆周角等于圆心角的一半），所以 $\angle ABO = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$。

练习 4：已知点 $P$ 是圆外一点，从点 $P$ 引圆的切线，最多可以引（）条切线

D。过圆外任意一点，最多并且恰好可以向圆引 2 条切线，这两条切线具备优美的轴对称性，引出了下一个核心定理——切线长定理。

练习 5：已知直线 $PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，线段 $PO$ 交 $\odot O$ 于点 $C$。若切线线段长 $PA = 4$，圆外线段 $PC = 2$，则 $\odot O$ 的半径 $r$ 为（）

提示

连接 $OA$ 构造 $\text{Rt}\triangle OAP$，设半径 $OA = OC = r$，则斜边 $OP = r + 2$，列勾股定理方程求解！

C。连接 $OA$，由切线的性质定理得 $\angle OAP = 90^\circ$。设 $\odot O$ 的半径 $OA = OC = r$，则 $\text{Rt}\triangle OAP$ 的斜边 $OP = OC + PC = r + 2$。由勾股定理得 $r^2 + 4^2 = (r + 2)^2$，展开得 $r^2 + 16 = r^2 + 4r + 4$，解得 $4r = 12 \implies r = 3$。

易错辨析：切线与割线的公共点表述细节

“直线与圆有公共点”包含了两种可能：相交（2个公共点）或相切（1个公共点），因此此时满足 $d \le r$。只有题目强调“有且仅有一个公共点”或“有唯一点接触”时，才是相切（$d = r$）。审题切忌漏掉临界相切的情况！

巩固练习 1：$\odot O$ 的半径为 $3$，直线 $PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，点 $P$ 在直线 $PA$ 上且 $PA = 4$，连接 $PO$，则线段 $PO$ 的长为（　）

C。连接切点与圆心得到半径 $OA$．因为直线 $PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，所以 $OA \perp PA$，即 $\angle OAP = 90^\circ$．在 $\text{Rt}\triangle OAP$ 中，$OA = 3$，$PA = 4$，由勾股定理得斜边 $PO = \sqrt{OA^2 + PA^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，故选 C．

巩固练习 2：直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，点 $C$ 在 $\odot O$ 上（不与点 $A$ 重合），线段 $BC$ 经过圆心 $O$ 且与射线 $AB$ 相交于点 $B$．若 $\angle B = 40^\circ$，连接 $AC$，则 $\angle ACB$ 的度数为（　）

B。连接 $OA$．因为 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，所以 $OA \perp AB$，即 $\angle OAB = 90^\circ$．在 $\text{Rt}\triangle OAB$ 中，$\angle B = 40^\circ$，故 $\angle AOB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$．因为线段 $BC$ 经过圆心 $O$，且 $OA = OC$，由圆周角定理（或三角形外角性质 $\angle AOB = \angle OAC + \angle ACB = 2\angle ACB$）得 $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 25^\circ$，故选 B．

巩固练习 3：在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$．以点 $C$ 为圆心，$4.8$ 为半径作 $\odot C$，则斜边 $AB$ 所在的直线与 $\odot C$ 的位置关系是______（填“相交”“相切”或“相离”）．

查看答案与解析，自行核对

答案：$\text{相切}$

在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$，由勾股定理得斜边 $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$．设圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离（即斜边上的高）为 $d$，由等面积法 $\frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot d$ 得 $d = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$．因为圆心到直线的距离 $d = 4.8$ 恰好等于 $\odot C$ 的半径 $r = 4.8$，所以直线 $AB$ 与 $\odot C$ 相切．

本节中考真题

共 38 道，含 32 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：

高中 · 直线与圆、圆与圆的位置关系初中用圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较判定相离、相切、相交，在高中结合点到直线距离公式成为解析几何判断直线与圆位置关系的标准方法。

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