培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十八章 分式
18.4 整数指数幂
指数能不能是负数？\(2^{-3}\) 是什么意思？顺着“指数减 1，值就除以底数”往下走，越过 \(0\) 次幂，就会碰到负整数指数幂。它把幂的运算性质推广到全体整数指数，也能用来写出很小的数的科学记数法。
本节导读 先修：16.1 幂的运算、16.2 中的零指数幂 · 本节路线
要用到：幂的五条运算性质（回看 16.1）；同底数幂相除和 \(a^0=1\)（回看 16.2）；约分（回看 18.1）；用科学记数法表示大数（回看 2.3）。
- 从“每往下一级就除以 2”进入：指数减到 0 以下会怎样。
- 约分和“指数相减”两种算法比一比，得出规定：\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)（\(a\ne0\)）。
- 负指数表示倒数，不表示负数；分清底数是谁。
- 五条运算性质推广到整数指数，归结为三条。
- 用 \(a\times10^{-n}\) 表示小于 \(1\) 的正数。
- 练习与中考真题，回看最容易错的三处。
把 \(2^3,2^2,2^1,2^0\) 排成一列：指数每减 \(1\)，值就除以 \(2\)。点下面的按钮换个底数，看看这条规律，再想想越过 \(0\) 次幂以后会怎样：
照这个规律继续往下走，\(2^{-2}\) 应该等于多少？
B。从 \(2^0=1\) 往下走一级是 \(1\div2=\tfrac12\)，再走一级是 \(\tfrac12\div2=\tfrac14\)。选 A 是把“负指数”当成了“负号”，算成 \(-2^2\)；选 C 是除对了又多加了负号；选 D 是以为指数小于 \(0\) 幂就“没了”。一直除以正数 \(2\)，结果始终是正数。
这一节要把这条规律定下来：\(2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}\)，负整数指数幂表示倒数。再看它为什么合理、怎么算、有什么用。
1. 先认识几个词：负整数指数幂
前置知识：同底数幂相除 \(a^m\div a^n=a^{m-n}\)（第十六章要求 \(m>n\)），\(a^0=1\)（回看 16.2）。现在让被除式的指数小于除式的指数，用两种办法算同一个式子，点下面几组比一比：
直觉微图解 ①\(a^m\div a^n\)：约分和“指数相减”得到的应该一样
规定：\(n\) 是正整数时，
负整数指数幂 \(a^{-n}\) 是 \(a^n\) 的倒数；底数不能为 \(0\)。
这样规定，\(a^m\div a^n=a^{m-n}\) 在 \(m<n\) 时也成立。连同 \(a^0=1\)，指数就从正整数扩充到了全体整数。
核心概念 ②负指数是“倒数”，不是“负数”
\(3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac19\)，是正数；它和 \(3^2=9\) 互为倒数，乘积为 \(1\)。指数前的负号管的是“上下颠倒”，不管结果的正负。
核心概念 ③底数不能是 0
\(0^{-1}\) 要写成 \(\dfrac{1}{0^1}=\dfrac10\)，分母为 \(0\)，没有意义；\(0^0\) 也没有意义。所以 \(a^{-n}\) 和 \(a^0\) 都要求 \(a\ne0\)。含字母时，例如 \((x+5)^{-1}\) 要求 \(x\ne-5\)。
2. 核心点：先认清底数，再取倒数
负指数只作用在紧挨着它的底数上：\((-3)^{-2}\) 的底数是 \(-3\)，\(-3^{-2}\) 的底数是 \(3\)；\((3a)^{-2}\) 的底数是 \(3a\)，\(3a^{-2}\) 的底数只是 \(a\)。认清了底数，就把“\(a^{-n}\)”翻成“\(a^n\) 的倒数”。
直觉微图解 ②以 1 为中心，左右两边成对互为倒数
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \(4^{-2}\)；(2) \((-5)^{-3}\)；(3) \(\left(\tfrac25\right)^{-2}\)；(4) \(6^0-6^{-1}\)。
① 读懂题意：四个式子都有 \(0\) 次或负整数次幂。动笔前先做哪件事？
提示 1：先圈出底数
(2) 的底数是 \(-5\)（有括号）；(3) 的底数是整个 \(\tfrac25\)。然后按规定把负指数幂写成倒数。
看完整示范
④ 回头看：每一题都是“认底数 → 算正整数次幂 → 取倒数”。(3) 说明：分数的负整数次幂，等于把它颠倒后的正整数次幂。
自己试试：\(-2^{-2}\) 等于多少？
A。底数是 \(2\)，前面的负号在幂的外面：\(-2^{-2}=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac14\)。选 B 是把底数看成了 \(-2\)，算的是 \((-2)^{-2}\)；选 C 是漏看了指数的负号，算成 \(-2^2\)；选 D 是把 \(2^{-2}\) 当成 \(-2^2=-4\)，再和外面的负号相乘。
3. 核心点：运算性质推广到整数指数
正整数指数时学过五条性质。现在指数可以是 \(0\) 和负整数，它们还成立吗？拿 \(a^5\cdot a^{-2}\) 试试：按规定 \(a^5\cdot\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{a^5}{a^2}=a^3\)；按“指数相加”\(a^{5+(-2)}=a^3\)，一样。换多组数验证都对（“动手”① 可以随便拖），于是承认：这些性质对任意整数指数都成立。
直觉微图解 ③同底数幂相乘：在“指数轴”上走两步
又因为 \(a^m\div a^n=a^m\cdot a^{-n}\)，\(\dfrac ab=a\cdot b^{-1}\)，除法和商的乘方都能化成乘法，五条性质归结为三条（\(m,n\) 是整数，底数不为 \(0\)）：
\(\color{#2F7A56}{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}\)
同底相乘，指数相加。
\(\color{#966524}{(a^m)^n=a^{mn}}\)
幂的乘方，指数相乘。
\(\color{#B5452F}{(ab)^n=a^nb^n}\)
积的乘方：每个因式都乘方。
例 2（示范：直接用性质，最后再化成正指数）
计算，结果不含负整数指数：(1) \(x^{-4}\cdot x^{7}\)；(2) \((m^{-3})^{2}\)；(3) \((3a^{2}b^{-1})^{-2}\)；(4) \(a^{3}b^{-2}\div(a^{-1}b^{2})\)。
提示：不要急着先写成分式
先用三条性质把同底数的指数合并，整理成 \(a^{\square}b^{\square}\) 的样子，最后一步才把负指数写成分母。
看完整示范
回头看：指数运算里出现“减负数”“负数乘负数”，按有理数运算法则算：\(3-(-1)=4\)，\((-1)\times(-2)=2\)。
自己试试：\((a^{-2})^{-3}\cdot a^{-4}\) 等于多少？
A。\((a^{-2})^{-3}=a^{(-2)\times(-3)}=a^{6}\)，再 \(a^6\cdot a^{-4}=a^{2}\)。选 B 是把幂的乘方也做成了指数相加：\(a^{-5}\cdot a^{-4}\)；选 C 是乘积的符号弄错，得 \(a^{-6}\cdot a^{-4}\)；选 D 是最后一步也用了指数相乘：\(6\times(-4)=-24\)。
4. 核心点：用科学记数法表示小于 1 的正数
七年级用 \(a\times10^{n}\)（\(1\le a<10\)）表示大数。现在有了 \(10^{-1}=0.1\)，\(10^{-2}=0.01\)，\(10^{-3}=0.001\)……小于 \(1\) 的正数也能这样写：
小数点右移 \(4\) 位，所以指数取 \(-4\)。
小数点向右移 \(n\) 位得到 \(1\le a<10\)，就乘 \(10^{-n}\) 补回来。也可以数：第一个非 \(0\) 数字前面一共有几个 \(0\)（包括小数点前的那个 \(0\)），指数就是负几。
直觉微图解 ④小数点跳几步，指数就是负几
例 3（示范：单位换算与计算）
(1) 一种花粉的直径约为 \(0.000\,045\) m，用科学记数法表示；(2) \(1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}\)，某种病毒直径约 \(140\ \mathrm{nm}\)，合多少米？(3) 计算 \((5\times10^{-4})\times(6\times10^{-3})\)。
提示：系数最后要调到 1 和 10 之间
(2) 先照抄单位换算：\(140\ \mathrm{nm}=140\times10^{-9}\ \mathrm{m}\)，再把 \(140\) 写成 \(1.4\times10^{2}\)。(3) 系数乘系数，\(10\) 的幂乘 \(10\) 的幂。
看完整示范
回头看：系数缩小 \(10^k\) 倍，指数加 \(k\)；系数扩大 \(10^k\) 倍，指数减 \(k\)，积不变。
再试一个：\(0.000\,052\) 用科学记数法表示为？
A。小数点向右移 \(5\) 位得 \(5.2\)；第一个非 \(0\) 数字 \(5\) 前面有 \(5\) 个 \(0\)（含小数点前的 \(0\)）。选 B 是只数了小数点后的 \(4\) 个 \(0\)；C 的值没错，但 \(52\) 不在 \(1\) 到 \(10\) 之间，不是科学记数法；D 的指数符号错了，那是一个很大的数。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：负指数能规定为负数吗？
设 \(a\ne0\)。若把 \(a^{-n}\) 规定为 \(-a^n\)，用约分和指数相减分别算 \(a^3/a^5\)，会相容吗？先用a=2检验。
想好后看解释
约分得 \(1/a^2\)，a=2时是1/4。错误规定却给 \(a^{-2}=-a^2=-4\)，矛盾。保持指数相减性质，必须规定 \(a^{-n}=1/a^n\)（a≠0，n为正整数）。
① 同底数幂相乘：指数为负也成立吗
选一个底数，再拖动两个圆点（或点一下圆点再用方向键）改变指数 \(m\)、\(n\)。金色箭头走 \(m\)，绿色箭头接着走 \(n\)，红点是 \(m+n\)。下面用具体的数验算。
② 移动小数点：写成科学记数法
选一个数，拖动红色小数点（或点一下再用方向键）。小数点每向右移一位，前面的数扩大 \(10\) 倍，\(10\) 的指数就减 \(1\)，整个数不变。移到系数在 \(1\) 和 \(10\) 之间为止。
③ 进阶：幂的乘方，指数相乘
拖动横轴上的 \(m\) 和纵轴上的 \(n\)。长方形里的格子数表示乘积 \(mn\) 的绝对值，颜色表示正负（绿为正、红为负）：如 \(m=-2\)、\(n=3\) 时有 \(6\) 格，乘积为 \(-6\)。下面取 \(a=2\) 算出 \((2^m)^n\)，和 \(2^{mn}\) 比一比。
④ 数学活动：一个数与它倒数的平方和
自选非零有理数 \(x\)，计算 \(x^2+(1/x)^2\)。换成 \(-x\)、\(1/x\) 再填表，观察哪些数值改变、哪些不变。表里的分数是精确值；有限样本提供猜想线索，一般结论还要用字母说明。
输入整数、小数或整数分数，不输入算式、指数或单位。首尾、分数线两侧可空格，数字内部不能空格；支持全角数字和负号“−”。每个整数块最多120位，小数最多100位；x约分后的分子、分母最多24位，且 \(1/10^6\le |x|\le10^6\)。分母不能为0，结果填写精确值。
| x | 1/x | x² | (1/x)² | 和 |
|---|
为比较正、负和分数，请记录一组不是±1的 \(x,-x,1/x\)，再试1与−1，共至少五个不同参数。当前参数记入表后，可用上面按钮切换新参数，倒数与和仍由你填写。
展开一般说明，逐项自查
当 \(x\ne0\) 时，\(x\cdot(1/x)=1\)。展开完全平方公式：\((x-1/x)^2=x^2-2+(1/x)^2\)，因此 \(x^2+(1/x)^2=(x-1/x)^2+2\ge2\)，理由是任意数的平方不小于0。
等号成立恰在 \(x-1/x=0\)，也就是 \(x=1/x\)。因 \(x\ne0\)，两边乘x得 \(x^2=1\)，已学的平方根告诉我们恰为 \(x=1\) 或 \(x=-1\)。其余非零x的平方项严格大于0，所以和严格大于2。这段理由适用于所有非零x，不受表格取样范围限制。
换相反数：\((-x)^2+(1/(-x))^2=x^2+(1/x)^2\)；换倒数只是交换两个平方，所以和也不变。
逐项自查：① 说明x不能为0了吗？② 中间项确为−2吗？③ 用平方非负说明了所有非零x，而非只列样本吗？④ 等号的必要与充分条件都写了吗？⑤ 解释了相反数、倒数两种对照吗？文字只是保存在本页，系统未判你的论证正确；对照后请自行修改或与同伴讨论。
这次活动中填的数和文字只在本页保留，刷新会清空。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \(\left(\tfrac13\right)^{-2}\)。
A。\(\left(\tfrac13\right)^{-2}=\dfrac{1}{\left(\frac13\right)^2}=\dfrac{1}{\frac19}=9\)，也就是颠倒成 \(3^2\)。B 是漏了指数的负号，只算了 \(\left(\tfrac13\right)^{2}\)；C 是把负指数当成负号，算成 \(-\left(\tfrac13\right)^{2}\)；D 是倒数取对了，又多加了负号。
2. 某芯片的线宽是 \(28\ \mathrm{nm}\)（\(1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}\)）。用科学记数法表示，合多少米？
B。\(28\times10^{-9}=2.8\times10^{1}\times10^{-9}=2.8\times10^{-8}\)。A 是系数缩小了 \(10\) 倍，指数却也减了 \(1\)（应该加 \(1\)）；C 的值对，但 \(28\) 不在 \(1\) 到 \(10\) 之间，不是科学记数法；D 是指数的负号丢了。
易错
3. 下列计算正确的是哪一个？
提示
逐个对照三条性质：相乘指数相加，乘方指数相乘；负指数只管紧挨着的底数。
A。\(a^{-2+3}=a^{1}=a\)。B 应是 \(a^{(-2)\times3}=a^{-6}\)，写成 \(a\) 是把乘方做成了指数相加；C 应是 \(a^{6-(-2)}=a^{8}\)，写成 \(a^4\) 是把“减 \(-2\)”算成了“减 \(2\)”；D 应是 \(\dfrac{3}{a^2}\)，系数 \(3\) 不受负指数影响。
4. 关于 \((-3)^{-2}\) 和 \(-3^{-2}\)，下面说法正确的是哪一个？
提示
先分别圈出两个式子的底数：一个有括号，一个没有。
C。\((-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac19\)；\(-3^{-2}\) 的底数是 \(3\)，\(-3^{-2}=-\dfrac{1}{3^2}=-\dfrac19\)。A 把后者的底数也当成了 \(-3\)；B 把两个都当成“负指数得负数”；D 把两者弄反了。
5. 要使 \((x-2)^{-1}\) 有意义，\(x\) 应满足什么条件？
提示
把它写成分式：\((x-2)^{-1}=\dfrac{1}{x-2}\)。分式什么时候有意义？
A。负整数指数幂的底数不能为 \(0\)，这里底数是 \(x-2\)，所以 \(x-2\ne0\)，即 \(x\ne2\)。B 看错了底数；C 以为底数还得是正数，其实 \(x=1\) 时 \((-1)^{-1}=-1\) 也有意义；D 忘了 \(0\) 的负整数次幂没有意义。
挑战
6. 已知 \(x-x^{-1}=2\)，求 \(x^{2}+x^{-2}\) 的值。
提示 1：不用求出 x
把已知式两边平方，用完全平方公式（回看 16.3）。
提示 2：中间那一项是多少
\((x-x^{-1})^2=x^2-2\cdot x\cdot x^{-1}+x^{-2}\)，而 \(x\cdot x^{-1}=x^{0}=1\)。
B。两边平方：\(x^2-2+x^{-2}=4\)，所以 \(x^2+x^{-2}=6\)。A 是直接把 \(2\) 平方、漏了中间项 \(-2x\cdot x^{-1}=-2\)；C 是中间项的符号弄反了，算成 \(4-2\)。
本节中考真题
共 19 道，含 16 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
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中考里这一节常和零指数幂、绝对值一起出计算题，或者考科学记数法表示很小的数。做完看解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 指数初中引入零指数幂 $a^0=1$ 与负整数指数幂 $a^{-n}=1/a^n$，打通了指数从正整数向全体实数连续扩充的第一步。