培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
知道正方形的面积，怎样表示它的边长？\(\sqrt{x-5}\) 里的 \(x\) 能随便取吗？这一节认识一类新的代数式——二次根式，弄清它什么时候有意义，以及“先开方再平方”“先平方再开方”各得什么。
本节导读 先修：8.1 平方根 · 本节路线
要用到：算术平方根和 \(\sqrt a\) 的记号（回看 8.1）；解一元一次不等式（回看 11.2）；分式有意义要分母不为 \(0\)（回看 18.1）；积的乘方（回看 16.1）。
- 从“面积求边长”进入：结果常常写成带根号的式子。
- 二次根式的定义：被开方数必须是非负数。
- 求字母取什么值时二次根式有意义（有分母时再看分母）。
- 两条性质：\(\sqrt a\ge 0\)，\((\sqrt a)^2=a\)（\(a\ge0\)）。
- \(\sqrt{a^2}=a\)（\(a\ge0\)）；\(a\) 是负数时又等于多少？
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
做一块正方形桌布，要它的面积正好是某个数。先点下面的按钮，看面积变了，边长怎么变：
一块正方形桌布的面积是 \(7\ \text{m}^2\)，它的边长是多少米？
B。边长的平方等于 \(7\)，而且边长是正数，所以边长是 \(7\) 的算术平方根 \(\sqrt7\)（约 \(2.65\)）。选 A 是把“平方”当成了“乘 2”；选 C 是把 \(7\) 又平方了一次；选 D 多写了负的平方根，长度不能是负数。
像 \(\sqrt7\)、\(\sqrt{x-5}\) 这样的式子，这一节叫它二次根式。要回答：根号下面能放什么数？\(\sqrt a\) 平方以后、\(a\) 平方以后再开方，各得什么？
1. 先认识几个词：二次根式
前置知识：一个非负数 \(a\) 的算术平方根记作 \(\sqrt a\)，负数没有平方根（回看 8.1）。形如 \(\sqrt a\)（\(a\ge0\)）的式子叫作二次根式，\(a\) 叫作被开方数。点下面几个数，看被开方数落在数轴哪一边：
直觉微图解 ①被开方数在绿色一侧（\(\ge0\)）才有意义
二次根式的定义里带着一个条件：被开方数 \(a\ge0\)。\(\sqrt{10}\)、\(\sqrt{0.3}\)、\(\sqrt{x^2+4}\) 都是二次根式。它也是一种代数式，和整式、分式一样可以含字母。
核心概念 ②根号里面：被开方数 \(\ge0\)
这是“有没有意义”的条件。\(\sqrt{-4}\) 没有意义，因为没有哪个数的平方是 \(-4\)。被开方数可以是 \(0\)：\(\sqrt0=0\)。
核心概念 ③根号外面：\(\sqrt a\ge0\)
\(\sqrt a\) 是算术平方根，它的值一定不是负数：\(a>0\) 时 \(\sqrt a>0\)，\(a=0\) 时 \(\sqrt a=0\)。被开方数非负、值也非负，常合称“双重非负性”。
2. 核心点：字母取什么值，二次根式有意义？
被开方数含字母时，字母不能乱取。办法只有一条：让被开方的整个式子 \(\ge0\)，再解不等式。如果式子还有分母，分母不能为 \(0\)；根号在分母上，被开方数就要 \(>0\)。
直觉微图解 ②在数轴上看 \(x\) 能取哪些数
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
\(x\) 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？(1) \(\sqrt{9-3x}\)；(2) \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+5}}\)。
① 读懂题意：“有意义”要看什么？两道题的式子结构有什么不同？
提示 1：看根号在哪里
(1) 只有一个根号，看被开方数；(2) 根号在分母上：既要被开方数 \(\ge0\)，又要分母不为 \(0\)。
基础示范（可收起）
④ 回头看：结论写成“当 \(x\le3\) 时，\(\sqrt{9-3x}\) 在实数范围内有意义”。根号在分母上的，不等号里没有“=”。
自己试试：要使 \(\sqrt{2x-8}\) 有意义，\(x\) 的取值范围是？
A。\(2x-8\ge0\)，\(x\ge4\)。选 B 漏了 \(x=4\)（\(\sqrt0=0\) 有意义）；选 C 是解不等式时无故改了不等号方向；选 D 是移项时 \(-8\) 没有变号。
3. 核心点：先开方、再平方——\((\sqrt a)^2=a\)
\(\sqrt a\) 的意思就是“平方等于 \(a\) 的那个非负数”。所以把它再平方，一定回到 \(a\)。\((\sqrt9)^2\) 可以先算 \(\sqrt9=3\) 再平方；\((\sqrt5)^2\) 不必先求 \(\sqrt5\) 的近似值，由算术平方根的意义就知道它的平方是 \(5\)。
直觉微图解 ③正方形：边长是 \(\sqrt a\)，边长的平方就是面积 \(a\)
例 2（示范）
计算：(1) \((\sqrt{1.7})^2\)；(2) \((-\sqrt{11})^2\)；(3) \((4\sqrt3)^2\)。
提示：负号、系数在不在括号里？
(2) 的负号在括号里，跟着一起平方；(3) 的 \(4\sqrt3\) 表示 \(4\times\sqrt3\)，用积的乘方 \((ab)^2=a^2b^2\)。
看完整示范
回头看：反过来用，任何非负数都能写成一个数的平方：\(6=(\sqrt6)^2\)，\(0.5=(\sqrt{0.5})^2\)。
自己试试：\((2\sqrt7)^2\) 等于多少？
B。\((2\sqrt7)^2=2^2\times(\sqrt7)^2=4\times7=28\)。选 A 是系数 \(2\) 没有平方；选 C 是把 \(\sqrt7\) 当成 \(7\)，算成了 \((2\times7)^2\)。
4. 核心点：先平方、再开方——\(\sqrt{a^2}\) 等于什么？
\(a\ge0\) 时，\(a\) 就是“平方等于 \(a^2\) 的非负数”，所以 \(\sqrt{a^2}=a\)。那 \(a\) 是负数呢？\(\sqrt{a^2}\) 照样有意义（\(a^2\ge0\)），但结果还是 \(a\) 吗？点一点：
直觉微图解 ④\(\sqrt{a^2}\) 总落在原点右边（或原点上）
\(a<0\) 时，\(\sqrt{a^2}\) 是正数，\(a\) 是负数，两者不相等：\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=-(-3)\)，即 \(\sqrt{a^2}=-a\)。合起来，对任意 \(a\)，\(\sqrt{a^2}\) 等于 \(a\) 的绝对值。做题时先算被开方数，再开方，不容易错。
例 3（示范）
计算：(1) \(\sqrt{0.6^2}\)；(2) \(\sqrt{(-7)^2}\)；(3) \(-\sqrt{\left(-\tfrac43\right)^2}\)。
提示：先算根号里面
先把被开方数算出来，再取它的算术平方根；根号外的负号最后再加上。
看完整示范
回头看：(2) 若写成 \(-7\)，就是把“\(\sqrt{a^2}=a\)”用到了 \(a<0\) 的情形。
再试一个：\(\sqrt{(-8)^2}\) 等于多少？
B。\((-8)^2=64\)，\(\sqrt{64}=8\)。A 是把 \(\sqrt{a^2}=a\) 用到了负数上；C 把算术平方根和平方根混了，\(\sqrt{\ }\) 只取非负的那个；D 只平方没开方。
| \((\sqrt a)^2\) | \(\sqrt{a^2}\) | |
|---|---|---|
| 运算顺序 | 先开方，再平方 | 先平方，再开方 |
| \(a\) 能取 | 只能 \(a\ge0\) | 任意数 |
| 结果 | \(a\) | \(a\ge0\) 时为 \(a\)；\(a<0\) 时为 \(-a\) |
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：非负的两项能互相抵消吗？
\(\sqrt{x-2}+(y+1)^2=0\) 时，两项能否一正一负？请说明x、y必须取什么值。
想好后看解释
\(\sqrt{x-2}\ge0\)，\((y+1)^2\ge0\)。如果 \(\sqrt{x-2}+(y+1)^2=0\)，两个非负数相加得 \(0\)，只能两个都是 \(0\)：\(x-2=0\)，\(y+1=0\)，所以 \(x=2\)，\(y=-1\)。这类题课本没有，属于拓展。
再深一点（可跳过）：x跨过3会怎样？
分别取x=2、x=4，算 \(\sqrt{(x-3)^2}\)。结果总是x−3吗？请按x与3的大小说明。
想好后看解释
x=2或4时结果都为1。一般地，结果是|x−3|：x≥3时为x−3；x<3时为3−x。
① 有意义吗？拖动 \(x\) 看一看
先选一个式子，再拖动数轴上的圆点（或点一下圆点用方向键）。绿色粗线是使式子有意义的 \(x\)。
② 面积和边长：\((\sqrt a)^2=a\)
拖动下面的滑块改变正方形面积 \(a\)（\(0\) 到 \(25\)）。边长是 \(\sqrt a\)；格子边长为 \(1\)。
③ 进阶：两条路线，\((\sqrt a)^2\) 和 \(\sqrt{a^2}\)
拖动滑块改变 \(a\)（\(-6\) 到 \(6\)）。上面一条先开方再平方，下面一条先平方再开方。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \((\sqrt{3.6})^2\)。
A。\((\sqrt a)^2=a\)（\(a\ge0\)），\(a=3.6\)。B 是把 \(3.6\) 平方了；C 是当成乘 \(2\)；D 多写了负值，\((\sqrt a)^2\) 只有一个结果。
2. \(x\) 取什么值时，\(\sqrt{6-3x}\) 有意义？
A。\(6-3x\ge0\)，\(-3x\ge-6\)，除以 \(-3\) 改方向：\(x\le2\)。B 是除以负数时忘了改方向；C 漏了 \(x=2\)（\(\sqrt0=0\)）；D 是符号算错。
易错
3. 计算 \(\sqrt{(-0.7)^2}\)。
提示
先算根号里面的 \((-0.7)^2\)，再开方。根号的值能是负数吗？
B。\((-0.7)^2=0.49\)，\(\sqrt{0.49}=0.7\)。A 是把 \(\sqrt{a^2}=a\) 用到了负数上（翻车现场 ①）；C 混淆了算术平方根和平方根；D 只平方、没开方。
4. 计算 \((-2\sqrt3)^2\)。
提示
括号里有三个因数：\(-1\)、\(2\)、\(\sqrt3\)，每一个都要平方。
B。\((-2\sqrt3)^2=(-2)^2\times(\sqrt3)^2=4\times3=12\)。A 是负号没跟着平方；C 是系数没平方（\(2\times3\)）；D 两处都错。
5. 要使 \(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\) 有意义，\(x\) 的取值范围是？
提示
根号在分母上：被开方数 \(\ge0\)，分母又不能是 \(0\)。\(x=3\) 时分母是多少？
B。要 \(x-3>0\)，即 \(x>3\)。A 忘了 \(x=3\) 时分母为 \(0\)（翻车现场 ③）；C 只看了分母、忘了被开方数不能为负，例如 \(x=0\) 时 \(\sqrt{-3}\) 没有意义；D 方向反了。
挑战
6. 若 \(\sqrt{x-1}\) 和 \(\sqrt{5-2x}\) 都有意义，满足条件的整数 \(x\) 有几个？
提示 1：两个条件同时成立
列不等式组：\(x-1\ge0\) 且 \(5-2x\ge0\)。
提示 2：数整数
解出 \(1\le x\le2.5\)，在数轴上数一数这段里有几个整数，端点要不要算？
B。由 \(x-1\ge0\) 得 \(x\ge1\)，由 \(5-2x\ge0\) 得 \(x\le2.5\)，所以 \(1\le x\le2.5\)，整数 \(x\) 有 \(1\)、\(2\)，共 \(2\) 个。A 是漏了端点 \(1\)（\(\sqrt0\) 有意义）；C 把 \(2.5\) 当成了 \(3\)；D 只用了一个条件。
本节中考真题
共 16 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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“有意义的条件”几乎每年都考，常和分式、零指数幂放在一起。填空题做完点“看解析”。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 指数初中二次根式 $\sqrt a$ 与七下立方根 $\sqrt[3]{a}$ 的性质，在高中推广为 $n$ 次方根 $\sqrt[n]{a}$ 并统一改写为分数指数幂 $a^{m/n}$。