培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
两个三角形“一模一样”，到底是什么意思？能叠在一起完全重合，就叫全等。这一节学会读“≌”这个记号，从记号里直接读出谁和谁相等。
本节导读 先修：13.1、13.3、7.4 · 本节路线
要用到：三角形的边、角和记法（回看 13.1）；三角形内角和是 \(180^\circ\)（回看 13.3）；平移不改变图形的形状和大小（回看 7.4）。
- 从剪小旗进入：什么样的两个图形能完全重合。
- 认识全等形、全等三角形；平移、翻折、旋转前后的图形全等。
- 读懂记号“≌”：字母的位置就是对应关系。
- 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
- 用性质求边、求角，学会“整体看”：减去公共部分。
- 练习与中考真题，回看最容易看走眼的地方。
美术课要剪一批三角形小旗。老师先剪好一面样旗（下图涂色的），同学们剪了甲、乙、丙三面。点按钮，把每一面拿过来往样旗上叠：
哪一面小旗能和样旗完全重合？
C。丙翻个面就能和样旗叠得严丝合缝：翻面只改变了位置，形状、大小都没变。甲形状一样但大了一圈；乙面积一样，可形状不同。两者都叠不严。
像样旗和丙这样能够完全重合的两个图形，就是这一节的主角。要回答的是：怎么用符号写“完全重合”？重合之后，能得出哪些边、哪些角相等？
1. 先认识几个词：全等形、全等三角形、对应元素
前置知识：三角形的顶点、边、角（回看 13.1），平移（回看 7.4）。
全等形：能够完全重合的两个图形。全等三角形：能够完全重合的两个三角形。叠在一起的顶点叫对应顶点，叠在一起的边叫对应边，叠在一起的角叫对应角。
一个三角形经过平移、翻折、旋转，位置变了，形状、大小都不变，所以前后两个三角形全等。下面用同一种颜色标出对应顶点：
直觉微图解 ①动一动，位置变了，形状大小不变
记号：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 全等，A 和 D、B 和 E、C 和 F 是对应顶点，就写成 \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)。对应顶点的字母要写在对应的位置上，本站一律这样写。
核心概念 ②字母的位置就是“对号入座”
\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)：左边第 1 个字母对右边第 1 个，第 2 个对第 2 个，第 3 个对第 3 个。对应边就是 AB 与 DE、BC 与 EF、CA 与 FD，对应角是 ∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F。不看图也能读出来。
核心概念 ③“对应边”不是“对边”
对应边、对应角说的是两个三角形之间谁和谁叠在一起；对边、对角说的是同一个三角形里边和角的位置，比如 \(\triangle ABC\) 中 ∠A 的对边是 BC。
2. 核心点：从记号读出对应
写全等式，就是把“谁和谁重合”一次说清。右边的三角形是左边的绕图中心转半圈得到的，两个三角形全等，图上同色的是对应顶点。三种写法，哪一种说对了？
直觉微图解 ②按字母位置连线：同色才算连对
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
已知 \(\triangle PQR\cong\triangle XYZ\)，\(PQ=QR=7\)，\(\angle P=52^\circ\)，\(\angle Y=76^\circ\)。求 XY、YZ 的长和 ∠Z 的度数。
① 读懂题意：没有图，只有一个全等式。第一件事做什么？
提示 1：先配对
按字母位置写出三对对应顶点：P 和 X，Q 和 Y，R 和 Z。
看完整示范
④ 回头看：写理由的格式：∵ \(\triangle PQR\cong\triangle XYZ\)，∴ \(XY=PQ=7\)，\(\angle X=\angle P\)（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。
自己试试：\(\triangle MNK\cong\triangle STU\)。下面哪一对是对应边？
B。N 是左边第 2 个、K 是第 3 个，右边第 2、3 个是 T、U，所以 NK 对 TU。A：MN 对的是 ST；C、D：MK 对的是 SU。
3. 核心点：全等三角形的性质
完全重合，叠在一起的边当然一样长，叠在一起的角当然一样大。这就是全等三角形的性质，由定义直接得到：
方向别弄反：这是先知道全等，再得出边、角相等。怎样判断两个三角形全等，是下一节的事。
用性质求线段时，常常要“整体看”：两个全等三角形有一段重叠，对应边相等，去掉公共部分，剩下的也相等。
直觉微图解 ③沿直线平移：两条 BC、EF 一样长，去掉公共的 EC
例 2（示范：整体看线段）
把 \(\triangle ABC\) 沿直线 \(l\) 平移得到 \(\triangle DEF\)，点 B、E、C、F 依次在 \(l\) 上（像微图解 ③ 那样）。量得 \(BF=11\)，\(EC=3\)。求平移的距离 BE 和 BC 的长。
① 读懂题意：平移前后的两个三角形是什么关系？BF 由哪几段组成？
提示 1：先写全等
平移不改变形状和大小，\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)，所以 \(BC=EF\)。
提示 2：去掉公共部分
BC 和 EF 都包含 EC。\(BE=BC-EC\)，\(CF=EF-EC\)，所以 \(BE=CF\)。
看完整示范
④ 回头看：“对应边相等，减去公共部分，剩下的也相等”是全等题里很常用的一步，角也一样可以这样减。
自己试试：\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)，\(\angle A=48^\circ\)，\(\angle E=75^\circ\)。∠F 是多少度？
B。\(\angle D=\angle A=48^\circ\)，在 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle F=180^\circ-48^\circ-75^\circ=57^\circ\)。A 是把 ∠F 当成了 ∠A 的对应角（∠A 对的是 ∠D）；D 是只减了 ∠E，忘了 ∠D。
例 3（示范：整体看角）
如图，\(\triangle ABC\cong\triangle ADE\)，射线 AB、AD、AC、AE 依次排列。已知 \(\angle BAE=110^\circ\)，\(\angle DAC=40^\circ\)，求 ∠BAD。
提示：哪两个大角相等？
∠BAC 和 ∠DAE 是对应角。它们都包含 ∠DAC。
看完整示范
再试一个：例 3 中，如果改成 \(\angle BAE=140^\circ\)，\(\angle DAC=30^\circ\)，∠BAD 是多少度？
A。\(2\angle BAD+30^\circ=140^\circ\)，\(\angle BAD=55^\circ\)。B 是 \(140^\circ-30^\circ\) 后忘了除以 2；C 是 \(140^\circ\div2\)，没减中间的 ∠DAC；D 是先把 \(140^\circ\) 平分成 \(70^\circ\)，再减去 \(30^\circ\)：中间的 ∠DAC 不该从一半里扣。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：对应顶点的走向改变了吗？
约定A、B、C分别对应D、E、F。沿A→B→C走一圈是顺时针时，平移、旋转或翻折后，沿D→E→F走的方向各怎样？用动手②验证。
想好后看解释
按A↔D、B↔E、C↔F的对应顺序，平移或旋转保持走向；翻折会把顺时针变成逆时针。对应顶点要按记号确定，不能只凭左右位置。
① 改变形状，对应边、对应角始终相等
拖动 \(\triangle ABC\) 的三个顶点（或点一下顶点再用方向键）。右边的 \(\triangle DEF\) 是它绕图中心转半圈得到的，会跟着变。看读数。
② 进阶：把它叠上去
绿色的 \(\triangle ABC\) 不动。拖中间的圆点平移 \(\triangle DEF\)（选中后方向键每次 10 格）；拖外侧的小圆点旋转（方向键每次 15°）；需要时点“翻折”。叠严了，读数会告诉你谁落在谁上。图形靠到框边、或旋转、翻折后会超出框时，会自动移回框内。
③ 自己设计：用全等形组成图案
选基本图形，再安排副本的位置、转向和正反面，留下至少两幅。三角形可改顶点，副本同步改变，不单独拉伸或缩放。
拖顶点或用方向键改三角形；扁小摆法本台暂不采用，可在纸上设计。正方形固定。拖下图圆点或用方向键移动，Home/End到边界。
自检：各幅能否不拉伸地移回原形并完全重合？翻面后也可全等。请指出一组对应顶点，并说明组合想法；说明文字不自动判分。
作品只留本页；刷新前保存图案或抄下说明。图案含你的名称与说明，不上传。
到生活里找一找
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)，\(AB=5\)，\(BC=7\)，\(CA=6\)。\(\triangle DEF\) 的周长和 EF 的长分别是多少？
A。三条对应边分别相等，周长也是 \(5+7+6=18\)。E、F 是第 2、3 个字母，对应 B、C，所以 \(EF=BC=7\)。B 是把 EF 对成了 CA，C 是对成了 AB。
2. \(\triangle GHK\cong\triangle PQR\)，\(\angle G=35^\circ\)，\(\angle Q=100^\circ\)。∠R 是多少度？
B。\(\angle P=\angle G=35^\circ\)，在 \(\triangle PQR\) 中，\(\angle R=180^\circ-35^\circ-100^\circ=45^\circ\)。D 是只减了 \(35^\circ\)；A、C 是把 ∠R 错对成了 ∠G 或 ∠Q。
易错
3. 两个全等三角形中，A 和 F、B 和 D、C 和 E 是对应顶点。下面写法正确的是哪一个？
提示
左边写 \(\triangle ABC\)，右边第 1 个位置放 A 的对应点，第 2 个放 B 的，第 3 个放 C 的。
B。A 对 F、B 对 D、C 对 E，依次写成 \(\triangle ABC\cong\triangle FDE\)。A 是按字母表顺序写的（翻车现场 ①）；C 把 B、C 的对应点写反了；D 三个都错了位。
4. 下面说法正确的是哪一个？
D。全等就能完全重合，周长、面积当然相等。反过来不行：边长 3、4、5 和边长 4、4、4 的三角形周长都是 12，却不能重合；形状相同的还可能一大一小；面积见翻车现场 ③。
5. \(\triangle PQR\cong\triangle RSP\)（PR 是公共边）。下面哪个结论不一定成立？
提示
逐个字母配对：P 对 R，Q 对 S，R 对 P。公共边 PR 自己对自己（位置换了）。
D。对应关系 P↔R、Q↔S、R↔P：PQ 对 RS，QR 对 SP，∠QPR（顶点 P）对 ∠SRP（顶点 R）。PQ 和 PS 不是一对对应边，不能说相等。这种“公共边自己换位”的写法最容易看走眼，要一个字母一个字母地对。
挑战
6. 把 \(\triangle ABC\) 沿 BC 方向平移得到 \(\triangle DEF\)，B、E、C、F 依次在同一直线上。已知 \(BC=8\)，\(CF=3\)，\(\angle A=70^\circ\)，\(\angle B=45^\circ\)。EC 的长和 ∠F 的度数分别是多少？
提示 1：EC 怎么算
\(EF=BC=8\)，EF 由 EC 和 CF 两段组成。
提示 2：∠F 对应谁
F 是 \(\triangle DEF\) 的第 3 个字母，对应 \(\triangle ABC\) 的 C。先在 \(\triangle ABC\) 里求 ∠ACB。
A。\(EC=EF-CF=8-3=5\)；\(\angle F=\angle ACB=180^\circ-70^\circ-45^\circ=65^\circ\)。B 把 ∠F 对成了 ∠B；C 把 EC 当成和 CF 一样长；D 是把 BC、CF 加起来，又把 ∠F 对成了 ∠A。
本节中考真题
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这组题练习已知全等求边、求角。选完看解析，核对对应关系。