培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第六章 几何图形初步
6.3 角
上一节研究线段：怎么表示、怎么比、怎么加减、中点。这一节照同样的路子研究角，还要认识比“度”更小的单位：分和秒。
本节导读 先修：6.2 直线、射线、线段 · 本节路线
要用到：射线、线段的比较与中点（回看 6.2）；小学用量角器量角，直角、锐角、钝角、平角、周角；列一元一次方程（回看 5.2）。
- 从“边长的角大不大”进入：角的大小看什么。
- 角的定义、记法；平角和周角；度、分、秒。
- 度分秒的换算和加减（六十进制）。
- 类比线段：角的比较、和差、角的平分线。
- 余角和补角；同角（等角）的余角、补角相等。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
下面画了两个角：甲的两条边画得很长，乙的两条边画得很短。先猜，再点按钮验证：
甲、乙两个角，哪个大？
B。角的大小只看两条边张开的程度，和边画多长无关：角的边是射线，本来就无限延伸，画长画短只是停笔早晚。把乙的顶点和一条边叠到甲上，乙的另一条边落在甲的外面，所以乙大。这就是比较角的叠合法，和比较线段的叠合法是一个思路。
这一节要回答：角怎样定义、怎样表示？度以下的单位怎么换算？角怎样比较、加减、平分？两个角在什么时候“互余”“互补”？
1. 先认识几个词：角、平角、周角、度分秒
前置知识：射线（回看 6.2）；小学会用量角器量角。角有两种看法，点下面看看：
直觉微图解 ①角 = 两条射线；也可以看成一条射线转出来的
角：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角也可以看成一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；转到两边成一条直线，是平角；转回起始位置，是周角。今后说“角”，如果没有特别说明，都指小于平角的角。
记法：\(\angle AOB\)（顶点字母写在中间）；顶点处只有一个角时也可以写 \(\angle O\)；还可以写 \(\angle\alpha\)、\(\angle 1\)。单位：\(1\) 周角 \(=360^\circ\)，\(1\) 平角 \(=180^\circ\)；\(1^\circ=60'\)（分），\(1'=60''\)（秒）。
核心概念 ②度分秒和钟表一样“满 60 进 1”
1 小时 = 60 分，1 分 = 60 秒；角也是 \(1^\circ=60'\)，\(1'=60''\)。所以半度是 \(30'\)，不是 \(50'\)。这叫六十进制。
核心概念 ③平角不是直线
平角的两条边在一条直线上，看着像直线，但它有顶点、有两条边，是一个 \(180^\circ\) 的角。直线没有顶点，也谈不上大小。
2. 核心点：度、分、秒的换算和加减
大单位化小单位 × 60，小单位化大单位 ÷ 60。加减时度、分、秒分别算，满 60 进 1，不够减借 1 当 60。
直觉微图解 ②把 \(1^\circ\) 放大，分成 60 小格
用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时再展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
(1) 把 \(48.35^\circ\) 化成度、分；(2) 把 \(26^\circ45'\) 化成度；(3) 计算 \(58^\circ47'+34^\circ36'\)。
① 读懂题意：(1)(2) 是换单位，(3) 是加法。哪一部分要换算，整数部分动不动？
提示 1：只换小数（或“分”）那一部分
度的小数部分 × 60 变成分；分 ÷ 60 变成度。整数部分的度不动。
看完整示范
④ 回头看：六十进制和时间一样：要用小时和分表示时，83 分整理成 1 小时 23 分；角用度、分表示时，满 60′ 的部分也要进位成度。
自己试试：\(63.4^\circ\) 等于多少？
B。\(0.4^\circ=0.4\times60'=24'\)。选 A 是把小数点后的 4 当成了 40 分，那是十进制的想法。
再试一个：\(90^\circ-41^\circ38'\) 等于多少？
B。\(90^\circ\) 没有“分”，借 \(1^\circ\) 当 \(60'\)：\(90^\circ=89^\circ60'\)，\(89^\circ60'-41^\circ38'=48^\circ22'\)。A 是借了却没从度里减掉；C 是按 100 借的。
3. 核心点：比较、和差、角的平分线（照着线段学）
比较两个角：可以量（量角器：中心对准顶点，零刻度线对准一条边，再读另一条边的刻度），也可以叠：让两个角的顶点重合、一条边重合，另一条边落在重合边的同一旁，看谁在外面。两个角的和、差还是角，度数等于度数的和、差。
直觉微图解 ③叠合法：顶点、一边对齐，看另一边
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫这个角的平分线：
对照线段的中点：\(AM=MB=\tfrac12 AB\)。中点是一个点，平分线是一条射线。现在画平分线，用量角器量出度数取一半，或把角对折。
例 2（示范）
射线 \(OC\) 平分 \(\angle AOB\)，\(\angle AOB=81^\circ24'\)。求 \(\angle AOC\)。
提示 1：先写出平分线给的关系
\(\angle AOC=\tfrac12\angle AOB\)。度数 \(81\) 是奇数，除以 2 除不尽，怎么办？
看完整示范
④ 回头看：\(40.5^\circ12'\) 数值正确，但混用了小数度和分，应整理为 \(40^\circ42'\)；写成 \(40^\circ12'\) 才是漏算了半度对应的 \(30'\)。度除不尽时，先把余下的度化成分再除。
自己试试：\(\angle AOB=70^\circ\)，\(\angle BOC=30^\circ\)（题目没有给图）。\(\angle AOC\) 等于多少？
C。射线 \(OC\) 可能在 \(\angle AOB\) 的外面：\(70^\circ+30^\circ=100^\circ\)；也可能在里面：\(70^\circ-30^\circ=40^\circ\)。和线段一样，没给图就把两种位置都画出来。
4. 核心点：余角和补角
只看度数的和，两个角挨不挨着都行。同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
直觉微图解 ④一个角，它的余角和补角（分开画，也算）
为什么同角的余角相等？若 \(\angle1+\angle2=90^\circ\)，\(\angle1+\angle4=90^\circ\)，那么 \(\angle2=90^\circ-\angle1\)，\(\angle4=90^\circ-\angle1\)，等号右边一模一样，所以 \(\angle2=\angle4\)。补角同理。这是用等式说理，不用写成证明的格式。
例 3（示范）
一个角的补角比它的余角的 3 倍少 \(20^\circ\)。求这个角。
提示 1：设未知数
设这个角是 \(x^\circ\)，它的余角、补角怎样用 \(x\) 表示？
看完整示范
④ 回头看：余角、补角题，设这个角为 \(x^\circ\)，把文字一句一句翻译成等式。
自己试试：\(\angle1\) 与 \(\angle2\) 互余，\(\angle1\) 与 \(\angle3\) 也互余，\(\angle2=37^\circ\)。\(\angle3\) 等于多少？
A。\(\angle2\)、\(\angle3\) 都是 \(\angle1\) 的余角，同角的余角相等。也可以算：\(\angle1=90^\circ-37^\circ=53^\circ\)，\(\angle3=90^\circ-53^\circ=37^\circ\)。选 B 算出的是 \(\angle1\)。
方向角：以正北、正南为基准，先说北或南，再说偏东或偏西。“北偏东 \(40^\circ\)”：从正北方向往东转 \(40^\circ\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：两把三角尺能拼出哪些角？
一副三角尺有 \(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)、\(90^\circ\) 的角。用两个角相加或相减，试着拼出新的角，并写出算式。
试拼后看一些例子
一副三角尺上有 \(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)、\(90^\circ\) 的角，拼一拼（和、差）能画出 \(15^\circ\)、\(75^\circ\)、\(105^\circ\)、\(120^\circ\)、\(135^\circ\)、\(150^\circ\) 等角，都是 \(15^\circ\) 的整数倍。
自己量角，再画平分线
原量角器演示会自动画半角；这里由你操作。① 对中：把量角器中心移到 O。② 重合：让零线沿 OA。③ 从 OA 所在的0刻度起读 OB。④ 取读数的一半，从 O 标出 C、画射线 OC（绿色）。量角器有一部分未覆盖到 OB 时，先查摆放，不能猜数。
待你对中、对零线并读数。尚未核对平分线。
纸笔或折纸：留下自己完成的图
纸笔：任画一个小于平角且非零的角，对中、对零线量角；除以2，再对中并从同一个0刻度量出半角，标点 C，用直尺连接 O、C 并向前延长成射线。分别量 ∠AOC 与 ∠COB，允许相差一个最小刻度；若不接近，检查读数方向和顶点。这里只是度量核对，不是严格证明。
折纸：在透明薄纸上画角，折叠使 OA 与 OB 重合，折痕必须经过 O。展开后描出角内的折痕射线 OC，再叠一次确认两边确实重合。若只让边的局部相交而未重合，折痕不能作为平分线。网页核对仅表示数字操作符合条件，纸笔、折纸须自己或同伴另验；本章不要求尺规作角平分线。
分、秒怎样进位和借位？自己填竖式
1′=60″，1°=60′。把分化秒要 ×60，秒化分要 ÷60。例如 3′20″ 要先算 3×60，再加20；200″ 要先算 200÷60，商是分，余数是秒。
先分列计算，满60进1；最后分、秒应都小于60。
借位也用三列，动笔算后展开核对
试算 20°4′10″ − 7°8′25″。先向分借1，秒列变成70；分只剩3，不够减8，再向度借1，分变63。
| 度 ° | 分 ′ | 秒 ″ | |
|---|---|---|---|
| 借位后 | 19 | 63 | 70 |
| 减数 | 7 | 8 | 25 |
| 差 | 12 | 55 | 45 |
检查：12°55′45″ + 7°8′25″，秒70进1分，分64进1度，得20°4′10″。借1°添60′、借1′添60″，不能当成100进制。
两组分离的角：先记录，再猜性质
改变 α，分别计算 α、β 的余角或补角。它们画在不同位置，比较只看数量关系。先试“等角”，再切“不同角”找反例。
请先计算并提交两组结果。
补充操作卡：类比、数角、方向和拼角
① 回看线段的“概念—表示—比较—运算—特殊点”，先在纸上写你想研究角的两个问题，再对照本节导读。可提出“怎么表示角”“怎样比较”“能否分成相等的两份”等，不只有一种合法提问。
② 从 O 向同一侧依次画 OA、OB、OC、OD 四条射线，相邻张角依次20°、30°、40°。先不计算，按起始边顺序列出所有小于平角的角，不重复。再核对角名能否倒写，顶点是否在中间。
③ 纸上画北、南、东、西方向线，以 O 为观察点，画北偏东35°的 OP、南偏东25°的 OQ；先找基准方向再量角。标出较小的 ∠POQ，写出所用和差算式。
④ 实物三角尺：把45°和30°的角顶点重合、一条边对齐，分别让另两边在公共边同旁、异旁。先描出两条外边再量夹角，记录一张差角图、一张和角图。
描画后展开核对拼角
可得15°、75°。换60°再试：15°、105°。
所有可用的30°、45°、60°、90°都是15°整数倍，做和、差仍是15°整数倍；不能只凭“看起来像”画出20°。实物摆放由同伴核对，原钟面活动保留在下方。
① 量角器：角的度数与平分线
拖动 \(B\) 点（或点一下用方向键，每次 \(1^\circ\)；PageUp、PageDown 每次 \(10^\circ\)）。虚线 \(OC\) 是 \(\angle AOB\) 的平分线，由代码算出。
② 余角和补角
拖动下面的滑块（或用方向键）改变 \(\angle\alpha\)。中间是它的余角，右边是它的补角，都和它分开画。
钟面：分针每分钟转 \(6^\circ\)，时针每分钟转 \(0.5^\circ\)。“动手”③ 可以拨钟算夹角。
③ 进阶：钟面上的角
拖动下面的滑块拨时间（或用方向键，每次 5 分钟；PageUp、PageDown 每次 1 小时），看时针和分针的夹角。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下面换算正确的是哪一个？
B。\(0.25\times60'=15'\)。A 应为 \(1^\circ12'\)；C 应为 \(45\div60=0.75^\circ\)；D 应为 \(60'\)。
2. \(54^\circ\) 角的余角和补角分别是多少？
C。余角 \(90^\circ-54^\circ=36^\circ\)，补角 \(180^\circ-54^\circ=126^\circ\)。A 把余、补记反了：余对直角 \(90^\circ\)，补对平角 \(180^\circ\)。
易错
3. \(37.7^\circ\) 等于多少？
提示
小数部分 \(0.7^\circ\) 乘 60 是多少分？
B。\(0.7\times60'=42'\)。A 是十进制的想法，而且 \(70'\) 本身就超过 60 了，不能留在分里。
4. 下面说法正确的是哪一个？
提示
每个说法都找一个具体的角试一试：直角、钝角、\(50^\circ\) 和 \(120^\circ\)……
C。钝角大于 \(90^\circ\) 小于 \(180^\circ\)，\(180^\circ\) 减去它，得到小于 \(90^\circ\) 的锐角。A：平角是角，有顶点和两条边；B：平分线是从顶点出发的射线；D：互余只看度数和，可以分开。
5. 从点 \(O\) 引出三条射线 \(OA\)、\(OB\)、\(OC\)。要表示以 \(OA\)、\(OC\) 为边的那个角，正确的写法是哪一个？
提示
顶点处有几个角？顶点字母应该写在什么位置？
B。\(O\) 处有好几个角，\(\angle O\) 分不清（翻车现场 ②）；三个字母时顶点写在中间，C、D 的顶点分别成了 \(A\)、\(C\)。
挑战
6. 一个角的余角，比它的补角的 \(\tfrac14\) 少 \(6^\circ\)。这个角是多少度？
提示 1：设未知数
设这个角为 \(x^\circ\)，余角 \((90-x)^\circ\)，补角 \((180-x)^\circ\)。
提示 2：列方程
\(90-x=\tfrac14(180-x)-6\)，两边同乘 4 去分母。
A。\(90-x=\tfrac14(180-x)-6\)，两边乘 4：\(360-4x=180-x-24\)，即 \(360-4x=156-x\)，得 \(3x=204\)，\(x=68\)。检验：余角 \(22^\circ\)，补角 \(112^\circ\)，\(112\div4-6=22\) ✓。
本节中考真题
共 7 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
正在加载精选题…
中考里这一节常考余角补角、角平分线、方向角和钟面角。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四上第2单元 · 角的度量小学用量角器度量角、认识平角与周角，在初中发展为度分秒六十进制换算、余角补角性质及角平分线的几何证明。