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七年级下册 · 第九章 平面直角坐标系

9.1 用坐标描述平面内点的位置

数轴上，一个数就能定住一个点。到了平面上，一个数只能把点缩到一条线上：要两条互相垂直的数轴、一对有先后顺序的数。

本节导读　先修：数轴、实数、点到直线的距离 · 本节路线

要用到：数轴上的点和实数一一对应（回看 8.3，回看 1.2 数轴）；绝对值；点到直线的距离（回看 7.1）。小学用过的数对（第几列、第几行）只用自然数，这里要升级。

  1. 从“找位置”进入：一个数为什么不够。
  2. 两条数轴垂直相交：认识平面直角坐标系、横坐标、纵坐标。
  3. 由点写坐标、由坐标描点：先竖着看、再横着看。
  4. 四个象限和坐标轴上的点：先查有没有 0，再看符号。
  5. 坐标和到坐标轴的距离：距离不带符号，轴和坐标“交叉”对应。
  6. 用坐标描述长方形：坐标系换了，坐标就换了。

小区的路是横平竖直的方格。外卖员打电话问收件人在哪个路口，对方只说了一句“在从西数第 5 条南北向的路上”。点下面的按钮，看看每多一句话，可能的路口还剩几个：

只凭“在从西数第 5 条南北向的路上”这一句，外卖员能确定是哪个路口吗？

B。一个数只能把范围缩到一整条线上；再说“从南数第 4 条东西向的路”，两条线一交，就剩一个路口。选 A 是把“一条线”当成了“一个点”；选 C 太悲观了，两个数就够。

这一节要回答：怎样用两条数轴给平面上的每个点配上一对数，而且负数、分数、无理数都能用？

1. 先认识几个词：平面直角坐标系、坐标、象限

前置知识：数轴上的点与实数一一对应，点对应的数叫它在数轴上的坐标（回看 8.3）。点下面三档，看一条数轴怎样长成两条：

直觉微图解 ①一条数轴定不住平面上的点，两条就够了

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴。水平的叫 \(x\) 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的叫 \(y\) 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴的交点 \(O\) 叫原点。本章两条轴的单位长度取得一样长。

点的坐标：过点 \(A\) 分别向 \(x\) 轴、\(y\) 轴作垂线。垂足在 \(x\) 轴上对应的数 \(a\) 叫 \(A\) 的横坐标，垂足在 \(y\) 轴上对应的数 \(b\) 叫 \(A\) 的纵坐标，有序数对 \((a,\,b)\) 叫点 \(A\) 的坐标，记作 \(A(a,\,b)\)。横坐标在前，纵坐标在后。

象限：两条坐标轴把平面分成四部分，从右上那块起，逆时针依次叫第一、二、三、四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。

核心概念 ②有序：先横后纵

\((1,\,4)\) 是右 \(1\)、上 \(4\)；\((4,\,1)\) 是右 \(4\)、上 \(1\)，两个点不在一处。只有 \(a=b\) 时，\((a,\,b)\) 和 \((b,\,a)\) 才是同一个点。

核心概念 ③一一对应

建好坐标系后，平面上每个点都有唯一一对有序实数；反过来，每对有序实数都对应唯一一个点。\(\left(-\sqrt3,\ \tfrac12\right)\) 也有它自己的位置。

2. 核心点：由点写坐标，由坐标描点

\(A\big(\color{#2F7A56}{\underbrace{a}_{\text{竖着落到 x 轴}}}\,,\;\color{#966524}{\underbrace{b}_{\text{横着落到 y 轴}}}\big)\)

直觉微图解 ②写坐标两步：先竖着看，再横着看

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

在同一个坐标系里描出点 \(E(3,\,-2)\) 和 \(F(-2,\,3)\)，它们是同一个点吗？

① 读懂题意：两个点用的是同样两个数，只是顺序和符号不同。描点要先知道每个数管哪个方向。

x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 E(3,-2) F(-2,3) 0
先找横坐标对应的竖线，再找纵坐标对应的横线，两线交点就是所描的点；沿虚线回读坐标，横、纵顺序不能交换。
提示 1：描点的依据

横坐标为 \(3\) 的点，都在过 \(x\) 轴上“\(3\)”并且垂直于 \(x\) 轴的直线上；纵坐标为 \(-2\) 的点，都在过 \(y\) 轴上“\(-2\)”并且垂直于 \(y\) 轴的直线上。两条线交在哪？

看完整示范
② 想办法：每个点画两条线：一条竖线定横坐标，一条横线定纵坐标，交点就是所求点。
③ 执行：\(E\)：过 \(x\) 轴上的 \(3\) 画竖线，过 \(y\) 轴上的 \(-2\) 画横线，交点在原点右下方。\(F\)：过 \(x\) 轴上的 \(-2\) 画竖线，过 \(y\) 轴上的 \(3\) 画横线，交点在原点左上方。
执行中检查：从描好的 \(E\) 再往回读：竖着落到 \(x\) 轴是 \(3\)，横着落到 \(y\) 轴是 \(-2\) ✓。\(E\) 在右下、\(F\) 在左上，不是同一个点。

④ 回头看：描点和写坐标是同一件事的两个方向。数对是有序的：横、纵坐标不相等时，交换顺序会得到另一个点。

自己试试：点 \(Q\) 在 \(y\) 轴左边 \(2.5\) 个单位、\(x\) 轴上方 \(4\) 个单位。\(Q\) 的坐标是什么？

C。在 \(y\) 轴左边，横坐标是负的：\(-2.5\)；在 \(x\) 轴上方，纵坐标是正的：\(4\)。A、D 把横纵顺序弄反了；B 漏了负号。

和坐标轴平行的直线：\((1,\,3)\)、\((-2,\,3)\)、\((4.5,\,3)\) 的纵坐标都是 \(3\)，它们在同一条和 \(x\) 轴平行的直线上；和 \(y\) 轴平行的直线上，各点横坐标相同。在“动手”① 里按方向键左右走，纵坐标一直不变。

3. 核心点：先查有没有 0，再看符号

\(\color{#966524}{\underbrace{(-,+)}_{\text{第二象限}}}\) \(\color{#2F7A56}{\underbrace{(+,+)}_{\text{第一象限}}}\) \(\color{#B5452F}{\underbrace{(-,-)}_{\text{第三象限}}}\) \(\color{#2F7A56}{\underbrace{(+,-)}_{\text{第四象限}}}\)

不用死背：左负右正、下负上正。纵坐标为 \(0\) 在 \(x\) 轴上，横坐标为 \(0\) 在 \(y\) 轴上，都不属于任何象限。

直觉微图解 ③点落在哪一块？落在轴上就不算象限

例 2（示范）

说出下列各点在哪里：\((-5,\,0.5)\)，\((\sqrt3,\,-2)\)，\((0,\,4)\)，\((-1.2,\,-\sqrt2)\)。

提示：第一眼先找什么

先扫一遍：哪个点有一个坐标是 \(0\)？它在轴上，不用再看符号。

看完整示范
② 想办法：先查 \(0\)，再看“横的正负管左右，纵的正负管上下”。
③ 执行：\((0,\,4)\) 横坐标为 \(0\)，在 \(y\) 轴上（原点上方）。\((-5,\,0.5)\)：左、上，第二象限。\((\sqrt3,\,-2)\)：右、下，第四象限。\((-1.2,\,-\sqrt2)\)：左、下，第三象限。
执行中检查：\(\sqrt3\) 是正数，\(-\sqrt2\) 是负数，无理数也照样看符号 ✓；\(0.5\) 虽然小，也是正的 ✓。

④ 回头看：判断位置只看符号和 \(0\)，不看数的大小。

自己试试：下列各点中，在第四象限的是哪一个？

B。第四象限是右下：横正、纵负。A 在第二象限；C 横坐标为 \(0\)，在 \(y\) 轴上，不属于任何象限；D 在第三象限。

4. 核心点：坐标和到坐标轴的距离

\(\color{#B5452F}{\underbrace{\text{到 x 轴的距离}}_{\text{竖直量}}}=\lvert b\rvert\) ， \(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{到 y 轴的距离}}_{\text{水平量}}}=\lvert a\rvert\)

点 \((a,\,b)\) 到 \(x\) 轴的垂线段是竖直的，长度看纵坐标；到 \(y\) 轴的垂线段是水平的，长度看横坐标。名字里的轴和用到的坐标是“交叉”的。坐标带符号，距离不带符号。

直觉微图解 ④两条垂线段：竖的量到 x 轴，横的量到 y 轴

例 3（示范）

点 \(M\) 在 \(x\) 轴下方，到 \(x\) 轴的距离是 \(3\)，到 \(y\) 轴的距离是 \(2\)。写出 \(M\) 的坐标。

① 读懂题意：给了两个距离和一个方位。哪个距离决定横坐标、哪个决定纵坐标？

提示 1：把距离翻成坐标

到 \(x\) 轴的距离是 \(3\)，说的是 \(\lvert 纵坐标\rvert =3\)；到 \(y\) 轴的距离是 \(2\)，说的是 \(\lvert 横坐标\rvert =2\)。

提示 2：符号够不够定

“在 \(x\) 轴下方”定了纵坐标的符号。横坐标的符号题目说了吗？

看完整示范
② 想办法：先由距离得绝对值，再由方位定符号；方位没说的，正负两种都要写。
③ 执行：纵坐标：\(\lvert b\rvert =3\)，在 \(x\) 轴下方，\(b=-3\)。横坐标：\(\lvert a\rvert =2\)，没说在 \(y\) 轴哪边，\(a=2\) 或 \(a=-2\)。所以 \(M(2,\,-3)\) 或 \(M(-2,\,-3)\)。
执行中检查：\((2,\,-3)\) 到 \(x\) 轴的竖直距离是 \(3\)，到 \(y\) 轴的水平距离是 \(2\) ✓；在 \(x\) 轴下方 ✓。

④ 回头看：一个距离只给绝对值，符号要另找条件。条件不够时，答案不止一个。

自己试试：点 \((-6,\,2.5)\) 到 \(x\) 轴的距离是多少？

A。到 \(x\) 轴的垂线段是竖直的，长 \(\lvert 2.5\rvert =2.5\)。B 是到 \(y\) 轴的距离；C 错在距离不会是负的；D 把两个数加起来了。

5. 核心点：用坐标描述图形，先说清怎么建系

一个图形由几个关键点（比如顶点）确定。写顶点坐标前，先说清原点在哪、哪条线是 \(x\) 轴、正方向朝哪、一个单位多长。同一个图形，坐标系建得不同，坐标就不同。

例 4（示范）

长方形 \(ABCD\) 的边 \(AB\) 水平、长 \(6\)，边 \(BC\) 竖直、长 \(4\)；\(A\) 在左下，\(B\) 在右下，\(C\) 在右上，\(D\) 在左上。建立两种坐标系，写出四个顶点的坐标。

提示：让坐标好算

让顶点落在轴上（坐标出现 \(0\)），或者让原点在中心（四个顶点的横坐标绝对值相同，纵坐标绝对值也相同）。

看完整示范
建法一：以 \(A\) 为原点，\(AB\) 所在直线为 \(x\) 轴、向右为正方向，\(AD\) 所在直线为 \(y\) 轴、向上为正方向，\(1\) 个单位长度代表 \(1\)。得 \(A(0,\,0)\)、\(B(6,\,0)\)、\(C(6,\,4)\)、\(D(0,\,4)\)。
建法二：以长方形的中心为原点，\(x\) 轴平行于 \(AB\)、向右为正，\(y\) 轴平行于 \(BC\)、向上为正，单位不变。中心到左右两边各 \(3\)、到上下两边各 \(2\)：\(A(-3,\,-2)\)、\(B(3,\,-2)\)、\(C(3,\,2)\)、\(D(-3,\,2)\)。
检查：两种建法里 \(B\) 和 \(A\) 的纵坐标都相同（同在一条水平边上），横坐标都差 \(6\)，正好是 \(AB\) 的长 ✓。

回头看：图形一点没动，换了坐标系，坐标全变了。所以答案不唯一时，一定先写建系说明。（“动手”③ 可以拖原点亲眼看。）

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）到 x 轴的距离当成横坐标
❌ 典型错解：“\(P(-3,\,2)\) 到 \(x\) 轴的距离是 \(3\)。”
✅ 看图秒懂：从 \(P\) 向 \(x\) 轴作垂线，是一条竖直的线段，长 \(2\)。到 \(x\) 轴的距离 \(=\lvert 纵坐标\rvert =2\)。
翻车现场 ②看到 0 就说“在 x 轴上”
❌ 典型错解：“\((0,\,3)\) 有个 \(0\)，在 \(x\) 轴上”；“\((-5,\,0)\) 在第二或第三象限”。
✅ 一眼看清：在 \(x\) 轴上就是“高度为 \(0\)”，纵坐标为 \(0\)。\((0,\,3)\) 横坐标为 \(0\)，在 \(y\) 轴上；\((-5,\,0)\) 在 \(x\) 轴上，都不属于任何象限。
翻车现场 ③坐标顺序写反、以为坐标是固定的
❌ 典型错解：“\((2,\,5)\) 和 \((5,\,2)\) 是同一个点”；“这个长方形的顶点坐标就是 \((0,\,0)\)、\((6,\,0)\)……”。
✅ 一眼看清：横在前、纵在后，横纵坐标不相等时，换了顺序就换了点；坐标依赖坐标系，换个原点，坐标就变。
再深一点：经纬度像坐标吗？

经纬度像坐标吗？球面与平面一样吗？

想好后看解释

都按约定的顺序与基准，用两个数描述位置；但经纬度是球面上的角度，平面直角坐标用垂直数轴定位，球面距离不能直接当作坐标差。

① 拖动点 P：坐标、位置、到两轴的距离

拖动点 \(P\)（或点一下它再用方向键）。红色竖线段是 \(P\) 到 \(x\) 轴的距离，绿色横线段是 \(P\) 到 \(y\) 轴的距离。把 \(P\) 拖到轴上、原点上试试。刻度数字标在图的下边和左边。

② 按坐标找点

把点 \(Q\) 拖到题目给的坐标上，读数会告诉你横、纵各差多少。做对了点“换一题”。

③ 进阶：图形不动，换原点

长方形 \(ABCD\)（长 \(6\)、宽 \(4\)）钉在纸上不动。拖动原点 \(O\)，坐标轴跟着走，看四个顶点的坐标怎么变。

④ 自主描点：从空网格开始

按题目给出的有序数对自己落点。点网格可描点；也可先用方向键移动十字光标（每次半格），按 Enter 落点。输入两坐标再点“按输入描点”也可以。描完再核对，不会自动替你描出目标点。

范围 −5 到 5；网格每格 1 个单位，可描半格。输入支持整数、小数、分数（如 −3/2），不是任意算式。

⑤ 进阶：给校园正方形自己建坐标系

校园里有一块边长 4 米的正方形活动区 ABCD，A 在左下、B 在右下、C 在右上、D 在左上。先选原点、轴的正方向和单位，说明理由，再填写四个顶点坐标。图中细网格每格 1 米，两轴使用相同单位。

请先完成三项选择。

A
B
C
D

完成一组后，保持单位不变，换原点或换轴的方向，再填写并比较。正方形不动，坐标会怎样变化？也可以在方格纸上画两种建系；核对时检查两轴垂直、原点重合、单位相同和四个顶点的位置。网页上的结果不代表纸笔任务已经完成。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 点 \((2,\,-\sqrt5)\) 在第几象限？

D。横坐标 \(2\) 为正（右），纵坐标 \(-\sqrt5\) 为负（下），右下是第四象限。

2. 在 \(y\) 轴上、位于原点上方 \(3.5\) 个单位长度的点，坐标是什么？

C。在 \(y\) 轴上，横坐标为 \(0\)；在原点上方，纵坐标为正。A 是 \(x\) 轴上的点；B 在原点下方。

易错

3. 点 \((-8,\,0)\) 在哪里？

提示

先查哪个坐标是 \(0\)。纵坐标为 \(0\)，“高度”是多少？

C。纵坐标为 \(0\)，就躺在 \(x\) 轴上（原点左边 \(8\) 个单位），不属于任何象限。选 D 是把“有 \(0\)”和“在 \(y\) 轴”搞混了（翻车现场 ②）。

4. 点 \((5,\,-3)\) 到 \(y\) 轴的距离是多少？

提示

到 \(y\) 轴的垂线段是竖的还是横的？它的长度由哪个坐标决定？

A。到 \(y\) 轴的垂线段是水平的，长 \(\lvert 5\rvert =5\)。B 是到 \(x\) 轴的距离；C 把坐标当成了距离；D 把两个数加起来了。

5. 点 \(N\) 在第二象限，到 \(x\) 轴的距离是 \(4\)，到 \(y\) 轴的距离是 \(1\)。\(N\) 的坐标是什么？

提示 1

到 \(x\) 轴的距离管纵坐标，到 \(y\) 轴的距离管横坐标。

提示 2

第二象限是左上：横坐标什么号？纵坐标什么号？

B。\(\lvert 纵坐标\rvert =4\)，\(\lvert 横坐标\rvert =1\)；第二象限横负纵正，得 \((-1,\,4)\)。A 把两个距离对应反了（翻车现场 ①）；C、D 在第四象限。

挑战

6. 点 \(A(2,\,3)\)、\(B(-4,\,3)\)、\(C(-4,\,-1)\) 是长方形 \(ABCD\) 的三个顶点。第四个顶点 \(D\) 的坐标是什么？这个长方形的面积是多少？

提示 1：哪些边和坐标轴平行

\(A\)、\(B\) 纵坐标相同，\(AB\) 是水平的；\(B\)、\(C\) 横坐标相同，\(BC\) 是竖直的。

提示 2：边长怎么读

水平边的长 \(=\) 两端横坐标的差（大减小）；竖直边同理用纵坐标。

A。\(D\) 和 \(A\) 在同一条竖直边上，横坐标是 \(2\)；和 \(C\) 在同一条水平边上，纵坐标是 \(-1\)，所以 \(D(2,\,-1)\)。\(AB=2-(-4)=6\)，\(BC=3-(-1)=4\)，面积 \(6\times4=24\)。B 把 \(D\) 的横纵坐标写反了；C 的 \(20\) 是周长 \(2\times(6+4)\)，不是面积；D 只用了 \(A\) 的横坐标 \(2\) 当边长，忘了 \(AB\) 跨过 \(y\) 轴，要算 \(2-(-4)\)。

本节中考真题

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