培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十二章 函数
22.2 函数的表示
同一个函数，可以写成式子，可以列成表格，也可以画成图。这一节学会用描点法画函数的图象，并从图象里读出信息。
本节导读 先修：22.1 函数的概念、平面直角坐标系 · 本节路线
要用到：函数、自变量的取值范围、函数值（回看 22.1）；在坐标系中描点、由点写坐标（回看 9.1）。
- 从烧蜡烛进入：同一个函数的三种样子。
- 函数的图象：每一对对应值都是图上的一个点。
- 描点法三步：列表、描点、连线；点越密越像。
- 什么时候能连线：自变量只取整数时是孤立的点。
- 从图象读信息：横坐标读自变量，纵坐标读函数值。
- 解析法、列表法、图象法各有长处，可以互相转化。
一支蜡烛长 \(18\) cm，点燃后每分钟烧短 \(0.5\) cm。点下面的按钮，看点燃几分钟后蜡烛还剩多长，右边的图上对应哪个点：
照这样烧下去，点燃 \(30\) 分钟后，蜡烛还剩多长？
A。\(30\) 分钟烧掉 \(0.5\times30=15\) cm，还剩 \(18-15=3\) cm。B 是烧掉的部分；C 是把烧掉的加了上去；D 是以为每分钟烧 \(1\) cm。
这件事可以写成式子 \(y=18-0.5x\ (0\le x\le36)\)，可以列成表（\(x=0,10,20\) 时 \(y=18,13,8\)），也可以画成右边的图。这一节就讲函数的这三种表示方法，重点是图象怎么画、怎么读。
1. 先认识几个词：函数的图象
前置知识：函数和自变量的取值范围（回看 22.1）、在坐标系中描点（回看 9.1）。把自变量的每一个值和它对应的函数值，分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这些点组成的图形就是这个函数的图象。点下面三档，看 \(y=\dfrac4x\ (x>0)\) 的图象是怎样画出来的：
直觉微图解 ①描点法：列表 → 描点 → 连线
核心概念 ②图上的点 ⇔ 一对对应值
点 \((a,b)\) 在图象上，就是说：\(a\) 在自变量的取值范围内，并且 \(x=a\) 时函数值正好是 \(b\)。判断时要代入算，不能靠眼睛看。
核心概念 ③三种表示法
用解析式表示函数叫解析法，用表格表示叫列表法，用图象表示叫图象法。蜡烛的例子三种都用上了。
2. 核心点：描点法画图象
图象上有无数个点，我们只描了有限个，其余靠“想象”连起来，所以描点法画出的图象是近似的。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
画出函数 \(y=x^2+1\) 的图象，并说说 \(y\) 随 \(x\) 怎样变化。
① 读懂题意：自变量的取值范围是什么？能把所有 \(x\) 都列进表里吗？
提示 1：怎样取 x
\(x\) 可以取全体实数，只能取一部分。在 \(0\) 的左右对称地取几个、算起来简单的值，比如 \(-3,-2,\dots,3\)。
看完整示范
| \(x\) | … | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | … | \(10\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | … |
④ 回头看：描述变化要分两段说：当 \(x<0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小；当 \(x>0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。这是从图上看出来的。
直觉微图解 ②点越密，折线越像曲线
自己试试：下列各点中，在函数 \(y=x^2-2\) 的图象上的是：
A。当 \(x=-2\) 时，\(y=(-2)^2-2=2\)。B 是把 \((-2)^2\) 算成了 \(-4\)；C：\(x=0\) 时 \(y=-2\)，不是 \(2\)；D：\(x=3\) 时 \(y=9-2=7\)，\(1\) 是忘了平方算成 \(3-2\)。
3. 核心点：什么时候能连线，端点怎么画
连线的前提是自变量在一段范围内连续取值。如果自变量只能取整数（本数、人数、边数），图象就是一些孤立的点，不能连。端点取得到画实心点，取不到画空心圈；实际问题的图象常常只是一段，不能画成两头无限延伸。
直觉微图解 ③点、线段、空心圈
自己试试：\(n\) 边形的内角和 \(y=(n-2)\times180^\circ\)。这个函数的图象是：
C。边数 \(n\) 只能取 \(3,4,5,\dots\) 这些整数，没有“\(3.5\) 边形”，所以图象是 \((3,180)\)、\((4,360)\)、\((5,540)\)……一些孤立的点。A、B、D 都把点连成了线。
4. 核心点：从图象读信息
一段用了多长时间：右端点横坐标 \(-\) 左端点横坐标。
例 2（示范）
另一次行程：小晴沿另一条直路骑车，先到书店，再到公园，最后原路回家，途中不绕路。离家距离图依次经过 \((0,0)\)、\((8,1.5)\)、\((20,1.5)\)、\((32,4.5)\)、\((50,0)\)（横轴单位分，纵轴单位km），相邻点用线段连接。她在书店停留多久？回家的平均速度和全程路程各是多少？
① 读懂题意：纵坐标是“离家的距离”，不是“骑过的路程”；因为她在一条直路上骑、不绕路，离家距离的变化量才等于这段骑的路程。哪一段是停留？哪一段是回家？
提示 1：先找出哪一段纵坐标不变
\((8,1.5)\)、\((20,1.5)\) 的纵坐标相同，两个时刻之间离家距离没有变化。
看完整示范
④ 回头看：图象的“下降”表示离家越来越近，不是在下坡；折线的形状也不是她骑行的路线。
家、书店、图书馆依次在同一条笔直的路上。小雨沿这条路骑车从家出发，途中经过书店，再去图书馆，最后沿原路回家，途中不绕路。下图是她离家的距离 \(y\)（km）随时间 \(x\)（分）变化的图象。点每一段看看：
直觉微图解 ④一段一段读：上升、水平、下降各是什么意思
自己试试：上图中第 \(10\) 分到第 \(25\) 分那条水平线段表示：
B。这段时间里离家距离一直是 \(2\) km，没有变，说明她停在书店。A 把“水平”当成了“平路”；C 是上升段的意思；D 读的是纵坐标，但那是离家距离。
5. 核心点：三种表示法，各有长处，可以互相转化
解析法：比较精确
任给一个 \(x\) 都能算出准确的 \(y\)，便于计算和推理。但有些函数（一天的气温）写不出式子。
列表法：比较直接
不用计算就能查到对应值，如车票价目表；但只能列出一部分。
图象法：比较直观
一眼看出升降、最高最低处，读出的数一般是近似的。
例 3（示范：由表到式，再预测）
在弹簧下挂物体，测得弹簧长度 \(y\)（cm）与所挂物体质量 \(x\)（kg）的数据如下表。写出一个符合表中数据的解析式；如果规律不变，挂 \(6\) kg 时弹簧多长？
| \(x\)/kg | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\)/cm | \(12\) | \(12.5\) | \(13\) | \(13.5\) | \(14\) |
提示：每多挂 1 kg，长度怎么变
相邻两列的 \(y\) 都差 \(0.5\)；不挂东西时长 \(12\) cm。
看完整示范
回头看：这个式子只是“符合表中数据的一个函数”。预测 \(6\) kg 的前提是规律不变；挂得太重，弹簧会被拉坏，规律就不成立了。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：竖线与曲线交两次呢？
一条与y轴平行的直线，在同一条曲线上交于两个不同点。这条曲线能表示y是x的函数吗？用对应值的定义解释。
想好后看解释
由函数的定义，每个 \(x\) 只对应一个 \(y\)，所以在函数的图象上，横坐标相同的点最多只有一个。换句话说：任何一条与 \(y\) 轴平行的直线，和函数图象最多只有一个交点。如果一条曲线会“绕回来”，某条竖线和它交了两次，它就不表示 \(y\) 是 \(x\) 的函数。这是由定义推出来的检验方法。
① 描点连线：点越密越像曲线
选一个函数，拖动下方滑块上的圆点（或点一下再用方向键）改变描点的个数。虚线是真实的图象，实线是把描出的点依次连起来的折线。
② 这个点在不在图象上？
拖动红点 \(P\)（或点一下再用方向键：左右改横坐标，上下改纵坐标）。读数把横坐标代入 \(y=x^2-2\)，和纵坐标比一比。
③ 进阶：跟着时间读图
还是小雨的离家距离图。拖动横轴上的圆点选一个时刻，读出她离家多远、在做什么、到这时一共骑了多少。
④ 你的表、点、连线与故事
原图用于观察；下面由你取值、算值、落点、留连线痕迹。先声明横纵轴的量、单位、增大方向及取值范围。有限表只能核算这些对应值，不能证明点间真实规律；本任务只有题意给定的连续关系才允许连线。
1. 自主列表，再独立描点
连续关系的表中x按1/4单位取样以便计算，不限制实际量只能这样取值；至少3个不同x，须含能取到的边界。整数件数和有限观测要列全给定值。重复同一点可，同x异y不符合函数定义。
数值只收ASCII有符号整数、至多3位小数、p/q（整数分子绝对值≤10000、分母1至1000）；不收表达式、内部空格、科学记数或其它数字字形。
2. 由你连线和标端点
核描点后，可按住图格连续划线；也可改图上x/y后逐次加入连线点。方向键每步x=1/4、y=1/4，回车在手描时加入路径点，其余时候只取游标坐标。按x从小到大连，重复同一点可。竖段同x异y不表示函数；沿原痕回描只说明顺序不符，不能仅据折返断言不是函数。手描痕迹是近似，不自动替你画标准曲线。屏幕用短折段记录手描；平滑模式要求相邻路径点横向间隔≤1/2单位。连线须经过已描点并接到边界位置；可先标端点再手描吸附。点间屏幕近似核验允许纵向1/4单位误差；它不是精确图象证明。指针靠近你已落下的点或已标端点8像素内会吸附，不预造新点。
3. 给每段图编一个过程
给定横轴t为已经过的时间（分），向右增大，0≤t≤12连续取值，各段端点都取得到。纵轴q向上增大：由你说明是什么量、用什么单位。图形不是实际行走路线。
记录只在本页内存，换题重置作图，离开前可主动保存。故事文字不自动判真；不写原答题账本，也不认证纸笔或合作活动已经发生。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 用描点法画函数 \(y=2x+1\) 的图象，列表时 \(x=-1.5\) 下面应填的 \(y\) 值是：
A。\(2\times(-1.5)+1=-3+1=-2\)。B 是把 \(+1\) 算成了 \(-1\)；C 是丢了 \(-1.5\) 的负号；D 是忘了乘 \(2\)。
2. 点 \((3,m)\) 在函数 \(y=\dfrac{12}{x}\ (x>0)\) 的图象上，则 \(m\) 等于：
A。点在图象上，\(m\) 就是 \(x=3\) 时的函数值：\(\dfrac{12}{3}=4\)。B、C、D 分别是把除法做成了乘法、减法、加法。
易错
3. 小林从家出发，沿一条直路散步，走到某处停留一会儿后沿原路返回。他的离家距离 \(y\)（km）与时间 \(x\)（分）的图象由三段组成：从 \((0,0)\) 到 \((20,1.2)\) 的线段，从 \((20,1.2)\) 到 \((30,1.2)\) 的水平线段，从 \((30,1.2)\) 到 \((50,0)\) 的线段。下列说法正确的是：
提示
纵坐标是离家的距离。水平段、下降段各表示什么？回家那段从第几分到第几分？
C。回家那段从第 \(30\) 分到第 \(50\) 分，用了 \(50-30=20\) 分钟。A：水平段是停留（题中说了停留）；B：沿直路去 \(1.2\) km、回 \(1.2\) km，一共 \(2.4\) km；D：下降表示离家越来越近（翻车现场 ①）。
4. 电影票每张 \(40\) 元，买 \(x\) 张（\(x\) 取 \(1\) 到 \(5\) 的整数）共付 \(y\) 元。\(y\) 关于 \(x\) 的函数图象是：
提示
能买 \(2.5\) 张票吗？
B。\(x\) 只能取 \(1,2,3,4,5\)，图象是 \((1,40)\)、\((2,80)\)、\((3,120)\)、\((4,160)\)、\((5,200)\) 五个点，不能连线。A 把点连了起来；C、D 还忽略了“最多 \(5\) 张”。
5. 下列各点中，不在函数 \(y=\dfrac6x\ (x>0)\) 的图象上的是：
提示
不光要代入算，还要看横坐标在不在取值范围内。
C。虽然 \(\dfrac{6}{-2}=-3\)，但 \(-2\) 不满足 \(x>0\)，不在取值范围内，图象只在 \(y\) 轴右侧。A、B、D 代入都对：\(\dfrac62=3\)，\(\dfrac{6}{1.5}=4\)，\(\dfrac{6}{12}=0.5\)。
挑战
6. 一盆植物种下后，每周末量一次高度，记录如下表（第 \(x\) 周末高 \(y\) cm）。如果一直按这个规律长，第 \(8\) 周末高多少？
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(6\) | \(7.5\) | \(9\) | \(10.5\) |
提示 1：每周长多少
相邻两周的高度差都是 \(1.5\) cm，种下时（第 \(0\) 周）高 \(6\) cm。
提示 2：写成解析式
\(y=6+1.5x\)，再代 \(x=8\)。
A。\(y=6+1.5\times8=18\)。B 是在第 \(3\) 周的 \(10.5\) 上又加了 \(8\) 周的 \(12\)；C 漏了起始高度 \(6\)；D 是只算了 \(7\) 周。注意：这个预测要以“规律不变”为前提。
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