培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
解一元一次不等式，步骤和解一元一次方程几乎一模一样：去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1。不同只有两处：乘除负数要掉头；答案是一片数，用到实际问题里还要按意义挑整数。
本节导读 先修：5.2 解一元一次方程 · 11.1 不等式 · 本节路线
要用到：解一元一次方程的五个步骤（回看 5.2）；不等式的三条性质、解集的数轴表示（回看 11.1）；列方程解应用题的经验（回看 5.3）。
- 从买文具进入：钱够不够，答案是“最多几支”。
- 认识一元一次不等式；比较方程的“一个解”和不等式的“一片解”。
- 类比解方程的五步，弄清每一步的依据，找出要掉头的地方。
- 去分母：每一项都乘，分子加括号。
- 实际问题：找不等关系 → 列式 → 解 → 按实际意义取整。
- 练习与中考真题，回看“负系数”和“取整方向”。
小林带了 60 元去文具店，先买一本 15 元的笔记本，剩下的钱买签字笔，每支 7 元。点下面的按钮，看买几支时钱够不够：
小林最多能买几支签字笔？
A。设买 \(x\) 支，花的钱不能超过 60 元：\(15+7x\le 60\)。像解方程那样移项：\(7x\le 45\)，\(x\le \tfrac{45}{7}\approx 6.43\)。笔只能整支买，不超过 \(6.43\) 的最大整数是 \(6\)。选 C 是把解集的端点直接当答案；选 B 是钱不够了。
这道题用到了这一节的全部内容：列不等式 → 解不等式 → 回到实际意义取整。
1. 先认识几个词：一元一次不等式、移项
前置知识：解一元一次方程（回看 5.2）；不等式的性质、解集的画法（回看 11.1）。先比一比方程和不等式的“解”：
直觉微图解 ①方程只有一个解，一元一次不等式有无数个解
一元一次不等式：只含一个未知数，含未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1（化简后未知数的系数不为 \(0\)）。\(4x-1<0\)、\(\tfrac{x+1}{3}\le x\) 是；\(x^2>1\)（次数是 2）、\(\tfrac{2}{x}<1\)（未知数在分母里）、\(x+y>3\)（两个未知数）都不是。
解它的目标：用不等式的性质一步步变形，化成 \(x>m\)、\(x\ge m\)、\(x<m\) 或 \(x\le m\) 的样子。
核心概念 ②移项：项变号，不等号不变向
\(3x-2>4\) 两边同时加 \(2\)，得 \(3x>4+2\)，看上去就是把 \(-2\) 变号挪到右边。依据是性质 1（两边加同一个数），所以不等号不变。
核心概念 ③两边乘除负数，必须掉头
与解方程相比，凡是两边乘或除以同一个负数，都要改变不等号方向。最常见的是“系数化为 1”时系数为负；去分母通常乘的是正数，不用变，但也要看一眼。
2. 核心点：照着解方程的五步走，每一步说出依据
直觉微图解 ②\(-3x\ge 6\)：掉头和不掉头，代一个数就分出对错
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
解不等式 \(2(x-3)-5x\le 3\)，并在数轴上表示解集。
① 读懂题意：有括号，没有分母。和解方程 \(2(x-3)-5x=3\) 比，哪一步可能不一样？
提示 1：先去括号、再移项
去括号得 \(2x-6-5x\le 3\)。把含 \(x\) 的项留在左边，常数移到右边，合并后看 \(x\) 的系数是正是负。
基础示范（可收起）
④ 回头看：前四步和解方程完全一样，只有“除以 \(-3\)”这一步不等号掉了头。
自己试试：不等式 \(5-2x>11\) 的解集是哪一个？
B。移项：\(-2x>11-5\)，即 \(-2x>6\)；两边除以 \(-2\)（方向改变）：\(x<-3\)。代 \(x=-4\)：\(5+8=13>11\) ✓。A 是没掉头；C 是掉了头却把 \(6\div(-2)\) 算成了 \(3\)；D 是移项时 \(5\) 没变号（\(-2x>16\)）又没掉头。
3. 核心点：去分母，每一项都要乘
去分母时两边乘各分母的最小公倍数（正数，方向不变）。两件事最容易漏：不含分母的项也要乘；分子是多项式时先加括号。
例 2（示范）
解不等式 \(\tfrac{x+1}{3}-\tfrac{x-2}{2}>1\)。
① 读懂题意：分母是 \(3\) 和 \(2\)，右边的 \(1\) 没有分母。两边乘几？
提示 1：乘 6，三项都乘
\(6\times\tfrac{x+1}{3}=2(x+1)\)，\(6\times\tfrac{x-2}{2}=3(x-2)\)，右边 \(6\times 1=6\)。注意第二个分数前面是减号，分子要整体加括号。
看完整示范
④ 回头看：“\(-3(x-2)\)”去括号后是 \(-3x+6\)；不加括号就会错成 \(-3x-2\)。
自己试试：不等式 \(\tfrac{2x-1}{3}\le\tfrac{x+2}{2}\) 的正整数解有几个？
提示
两边乘 \(6\) 去分母，解出解集；再数一数里面的正整数，端点要不要算？
B。\(2(2x-1)\le 3(x+2)\)，\(4x-2\le 3x+6\)，\(x\le 8\)。正整数解是 \(1,2,\dots,8\)，共 \(8\) 个；带等号，\(8\) 要算上。选 A 漏了端点；选 D 忘了“正整数”的限制。
4. 核心点：实际问题，最后按意义取整
步骤：找出表示不等关系的语句 → 设未知数、列不等式 → 解出解集 → 回到实际意义（人数、辆数是整数；“至少”取解集里最小的整数，“最多”取最大的整数）→ 检验、作答。
直觉微图解 ③取整：看解集朝哪边，端点算不算
例 3（示范）
学校组织 230 名师生春游，已经订好 2 辆 45 座的大客车，其余的人坐 30 座的中巴。至少还要租几辆中巴？
① 读懂题意：不等关系藏在哪里？座位数和人数谁大？
提示 1：隐含的不等关系
所有车的座位数要不少于总人数：大客车座位 + 中巴座位 \(\ge 230\)。
基础示范（可收起）
④ 回头看：答案“至少 5 辆”是从解集 \(x\ge \tfrac{14}{3}\) 中挑出来的整数（端点约为 4.67）。四舍五入成 \(5\) 是碰巧对了，正确的想法是“解集里最小的整数”。
再试一个：游泳馆办年卡 200 元，之后每次 10 元；不办卡每次 30 元。一年至少游几次，办卡比不办卡更省钱？
B。设游 \(x\) 次，“更省”是严格小于：\(200+10x<30x\)，\(-20x<-200\)，\(x>10\)。正好 10 次两边都是 300 元，一样多，不算更省，所以至少 11 次。选 A 是把 \(>\) 当成了 \(\ge\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：两种解法在哪一步改方向？
解 \(-3x\ge6\)：一种直接除以负数，另一种先移项避开除负数。分别写出过程，指出不等号在哪一步改变方向。
想好后看解释
解 \(-3x\ge 6\) 时，也可以两边同时加 \(3x\)、减 \(6\)：\(-6\ge 3x\)；两边除以正数 \(3\)：\(-2\ge x\)；最后交换两边（方向改变）写成 \(x\le -2\)。这样避开了除以负数，但最后一步的“交换两边”同样要掉头，躲不掉。
① 检验解集：拖一个数，代进原不等式
点按钮选一道讲过的不等式。拖金色圆点 \(x\)（或点一下再用方向键），读数里会把它代进原不等式算一遍。红线是解出的解集。
② 取整：带的钱变了，最多能买几支？
拖下面刻度上的金色圆点改带的钱 \(M\)（15 到 100 元）。笔记本 15 元，签字笔每支 7 元。
③ 进阶：办卡还是不办卡？
点按钮换年卡价格；拖金色圆点改一年游泳的次数 \(x\)。上面一条是办卡的花费，下面一条是不办卡的花费。
自己写过程、画解集、比较优惠
这里是本课新增的自编练习，不替代前面的讲解和旧题。不预填答案；作答只在当前页面保留，刷新不保存，也不写入学习记录。修改任一作答会清除旧反馈，可修改后重试。
输入约定与核对范围
只接收数字系数、未知数小写x、+ − * × / ÷、圆括号和 < > <= >= ≤ ≥ =。乘法可写2*x、2x、2(x+1)。数用整数、小数（最多6位）或精确分数；每栏最多300字，单个整数最多9位。用普通数字，不能用上标、字母参数、百分号、单位或把“1 0”当成10。不支持的输入只提示改写，不判数学错误。
本练习不解分式不等式、二次不等式或含参数不等式。解题各栏按指定阶段书写；同一步的项可以调换次序。系数为0时不能除以0，必须回到常数不等式判断：如0x<1对所有实数成立，0x≥1对所有实数都不成立；它们化简后不属于一元一次不等式。数轴区只画本练习两道一次不等式的解集。
金额范围用x在中间的连写不等式、x在一边的不等式或等式；没有金额写“无”。“无”不能用矛盾的两端范围代替。不能填单位、区间或集合符号。金额模型按精确比例计算，不作分币四舍五入；x是非负实数，单位元。
一、每一步由你写
解不等式：。五步都亲写完整不等式和依据；本练习先把未知数项移到左边，常数项移到右边。
依据栏这样填写：乘除时写“两边乘”或“两边除”，后面接你算出的运算数；其余步骤写“分配律”“性质1”或“合并同类项”。网页只核对这些写法。每一步用哪条依据，还要自己判断，并结合前面的性质说明不等号的方向。
数轴也由你定端点、空实与方向
点击或触摸数轴可定端点（刻度范围−6到6、吸附间隔0.05）；也可键盘在下栏输入精确端点，再用按钮选端点样式和方向。图形只显示你的选择，不自动替你画答案。
遇到困难时看核对准则
去分母：右边的整项也要乘，分子保留括号。去括号：分数前的负号作用于整个分子。移项：只变项的符号。合并后再看系数正负；除负数时反向。数轴端点是否属于解集，要和带不带等号一致。代入某些数可发现错误，却不能证明两个解集相同。
二、乘除的数由你选，方向由你判断
从−3x≥6开始。选一种运算和一个数，自己写出运算后的完整不等式（不必再解到x）。可以试正数、负数和0，比较能否保持原解集。
三、跨两个门槛，完整比较两种优惠
虚构数学案例，不是商家推荐。同一批商品，优惠前总价都是x元（x≥0）。甲方案：满100元，全单打九折，否则原价。乙方案：满200元，全单一次减30元，否则原价。两方案不能叠加，没有其他费用。优惠后按精确金额比较，不进行分币舍入。问题：哪些金额甲更省、乙更省、一样？
先按两个门槛由小到大划成三段，等号只能归属一段，不能有遗漏。每段亲写两种实付款，再写“乙减甲”，并填三种比较结果。没有金额的栏写“无”。优惠发生跳变，不能把某一段的规则延用到别段。
第三段再分别列甲省、乙省、一样的比较式：左边写甲实付款，右边写乙实付款。交点即使算出，也要检查它属于哪一段。
单独算两个门槛处的金额，用来核对等号归属；这四次试算只能检查边界，不能代替一般比较。
文字解释自检要点
检查：是否说明两个门槛处适用哪条规则；三段是否恰好涵盖全部允许金额且不重叠；是否用每段的式子作一般比较，并把所得范围限制在本段；交点是否属于对应段；实付款是否非负；是否知道个别代值只可检错。请据此修改解释，或请老师/同伴核对。页面不会认证文字正确，也不声称同伴活动已经发生。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下面哪一个是一元一次不等式？
D。一个未知数、整式、次数为 1。A 次数是 2；B 未知数在分母里；C 有两个未知数。D 虽然有分母，但分母是数，\(\tfrac{x-1}{3}\) 仍是整式。
2. 不等式 \(3x-2\le 7\) 的解集是哪一个？
A。移项：\(3x\le 9\)；除以正数 \(3\)：\(x\le 3\)。C 是移项时 \(-2\) 没变号；D 把 \(\le\) 抄成了 \(<\)。
易错
3. 不等式 \(-4x<12\) 的解集是哪一个？
提示
两边除以 \(-4\)，方向？做完代 \(x=0\) 检验。
B。除以负数 \(-4\)，方向改变：\(x>-3\)。检验 \(x=0\)：\(0<12\) 成立，\(0\) 在 \(x>-3\) 里 ✓。A 是没掉头。
4. 解不等式 \(\tfrac{x-3}{2}-1\ge x\)，去分母这一步正确的是哪一个？
提示
两边乘 \(2\)：左边两项、右边一项，三项都要乘。
C。三项都乘 \(2\)：\(x-3-2\ge 2x\)。接着 \(-x\ge 5\)，\(x\le -5\)。A 漏乘 \(1\)；B 漏乘右边的 \(x\)；D 把分子 \(x-3\) 拆开只乘了一半。
5. 不等式 \(2x-1\le 5\) 的正整数解有几个？
提示
先求解集；端点是整数时，看带不带等号。
B。\(2x\le 6\)，\(x\le 3\)，正整数解是 \(1,2,3\)。A 漏了端点 \(3\)；C 把 \(0\) 也算成了正整数。
挑战
6. 手机流量套餐甲：每月 30 元含 20 G，超出部分每 G 3 元；套餐乙：每月 50 元不限量。某人每月用 \(x\) G（\(x>20\)，\(x\) 取整数）。至少用多少 G 时，选乙比选甲更省钱？
提示 1：甲的费用怎么写
超出的部分是 \(x-20\) G，甲的费用是 \(30+3(x-20)\) 元。
提示 2：“乙更省”是什么不等式
甲的费用 \(>\) 乙的 50 元。解出后取解集里最小的整数。
B。\(30+3(x-20)>50\)，\(3x-30>50\)，\(x>\tfrac{80}{3}\approx 26.67\)，最小整数是 \(27\)。检验：26 G 时甲 \(=30+18=48\) 元，比 50 元便宜；27 G 时甲 \(=30+21=51\) 元，比 50 元贵 ✓。A 是取整方向错了；D 是把“超出部分”当成了 \(x\)，算出 \(x>\tfrac{20}{3}\)。
本节中考真题
共 24 道，含 13 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习解一元一次不等式。选完看解析，逐步核对运算和不等号方向。