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七年级上册 · 第三章 代数式

3.2 代数式的值

代数式说清了“怎么算”。给字母一个具体的数，照着式子算出来，就得到一个结果。这一节学会怎样代入、怎样写、怎样不算错，再用公式解决实际问题。

本节导读　先修：3.1 列代数式、2.3 有理数的乘方 · 本节路线

要用到：代数式与书写规范（回看 3.1）；有理数的混合运算、乘方，特别是 \(-3^2\) 与 \((-3)^2\) 的区别（回看 2.3）。

  1. 从游泳卡的费用进入：先有式子，再把次数代进去。
  2. 认识“代数式的值”，学会“当……时，原式 = ……”的书写格式。
  3. 代入三步：补回乘号、负数加括号、按运算顺序算。
  4. 字母的值变了，式子的值一般也变——但不是一定变。
  5. 借助公式求值：先列式（一般），再代入（特殊），带单位作答。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易代错”。

某游泳馆办一张卡要 \(50\) 元，之后每游一次再付 \(8\) 元。游 \(n\) 次一共要花 \((50+8n)\) 元。点下面的按钮，看看游几次各花多少：

游 \(12\) 次，一共要花多少元？

A。把 \(n\) 换成 \(12\)：\(50+8\times12=50+96=146\)。B 是先算了 \(50+8\)，再乘 \(12\)，运算顺序错了；C 没把 \(12\) 代进去；D 把 \(8n\) 当成了 \(n\)。

像这样用具体的数代替字母、算出结果，就是这一节的主角：求代数式的值。要回答：怎样代入才不出错？算出来的值有什么意义？

1. 先认识几个词：代数式的值、代入

前置知识：代数式与书写规范（回看 3.1）；有理数的乘方（回看 2.3）。用数值代替代数式里的字母，叫代入；按代数式里的运算算出的结果，叫代数式的值。把代数式 \(4x-3\) 想成一台机器：输入 \(x\) 的值，先乘 \(4\)，再减 \(3\)：

直觉微图解 ①输入字母的值，按式子的运算一步步算出值

书写格式（初学一定照写，先写条件，再写代入后的完整算式，最后算出结果）：

当 \(x=-1\) 时，\(4x-3=4\times(-1)-3=-4-3=-7\)。

核心概念 ②值跟着字母变

同一个式子 \(4x-3\)，\(x=2\) 时值是 \(5\)，\(x=-1\) 时值是 \(-7\)。字母取不同的值，代数式的值一般也不同；但不是一定不同（后面的微图解 ③ 会看到反例）。

核心概念 ③代入是“换数再算”，不是拼接

\(2a\) 是“\(2\) 乘 \(a\)”。\(a=3\) 时是 \(2\times3=6\)，不是 \(23\)；\(a=-3\) 时是 \(2\times(-3)=-6\)，不是 \(2-3\)。

2. 核心点：代入三步走

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{当……时}}_{\text{写清取值}}}\) → \(\color{#966524}{\underbrace{\text{代入后的算式}}_{\text{补回乘号，负数、分数加括号}}}\) → \(\color{#B5452F}{\underbrace{\text{算出结果}}_{\text{先乘方，再乘除，后加减}}}\)

直觉微图解 ②字母整个换成一个带括号的数

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

当 \(x=-2\)，\(y=3\) 时，求 \(3x^2-xy+y\) 的值。

① 读懂题意：有两个字母要换。哪里藏着省略的乘号？哪里要特别小心负数？

提示 1：先把乘号补回来

\(3x^2=3\times x^2\)，\(xy=x\times y\)。\(x\) 是负数，代入时要带括号。

看完整示范
② 想办法：先写“当……时”，把 \(x\)、\(y\) 整个换成 \((-2)\)、\(3\)，再按“先乘方、再乘、后加减”算。
③ 执行：当 \(x=-2\)，\(y=3\) 时，
\(3x^2-xy+y=3\times(-2)^2-(-2)\times3+3=3\times4-(-6)+3=12+6+3=21\)。
执行中检查：\((-2)^2=4\)，不是 \(-4\)；“减去 \(-6\)”等于加 \(6\)。每一项单独核一遍：\(3x^2=12\)，\(xy=-6\)，\(y=3\)，\(12-(-6)+3=21\) ✓。

④ 回头看：算式写全了，括号、乘号、符号有没有漏，一眼就能查出来。只写一个 \(21\)，错了就找不到原因。

自己试试：当 \(x=-4\) 时，\(\tfrac{x^2}{2}-x\) 的值是多少？

A。\(\tfrac{(-4)^2}{2}-(-4)=\tfrac{16}{2}+4=8+4=12\)。B 是把“减去 \(-4\)”算成了减 \(4\)；D 是把 \((-4)^2\) 算成了 \(-16\)（忘了括号）；C 是这两处都错了。

再试一个：当 \(a=-1\)，\(b=3\) 时，\((a-b)^2\) 和 \(a^2-b^2\) 的值分别是多少？

提示

\((a-b)^2\) 先算括号里的差，再平方；\(a^2-b^2\) 先分别平方，再相减。

A。\((a-b)^2=(-1-3)^2=(-4)^2=16\)；\(a^2-b^2=(-1)^2-3^2=1-9=-8\)。两个值不相等，\((a-b)^2\) 和 \(a^2-b^2\) 不是一回事。C 是把 \(-1-3\) 算成了 \(-1+3\)；D 是把 \((-4)^2\) 算成了负数。

3. 核心点：字母的值不同，代数式的值一般不同

把字母从 \(-3\) 取到 \(3\)，把每个值都算出来画成柱子，看看会不会出现“字母不同、值却相同”的情况：

直觉微图解 ③值“一般”不同，但不是“一定”不同

4. 核心点：借助公式求值

公式是用等式写出的一类事物的数量规律，比如路程 \(s=vt\)、圆的周长 \(C=\pi d\)、圆的面积 \(S=\pi r^2\)、梯形面积 \(S=\tfrac12(a+b)h\)。知道右边各字母的值，求左边，就是求代数式的值。实际问题分两步：先列代数式（一般），再代入求值（特殊），最后带上单位作答，并说出这个值表示什么。

直觉微图解 ④组合图形：整体减去挖掉的部分

例 2（示范）

一块长方形草坪长 \(a\) m、宽 \(b\) m，中间修一个半径为 \(r\) m 的圆形花坛。(1) 用代数式表示剩下的草坪面积；(2) 当 \(a=20\)，\(b=12\)，\(r=3\) 时，剩下的草坪面积是多少（\(\pi\) 取 \(3.14\)）？

① 读懂题意：剩下的草坪是什么形状？能不能用学过的面积公式直接算？

提示 1：整体减部分

剩下的面积 ＝ 长方形面积 － 圆的面积。

看完整示范
② 想办法：长方形面积 \(ab\)，圆的面积 \(\pi r^2\)，相减就是剩下的部分。先列式，再代入。
③ 执行：(1) 剩下的面积是 \((ab-\pi r^2)\) m²。
(2) 当 \(a=20\)，\(b=12\)，\(r=3\) 时，\(ab-\pi r^2=20\times12-3.14\times3^2=240-3.14\times9=240-28.26=211.74\)。
执行中检查：\(\pi r^2\) 只有 \(r\) 平方：先算 \(3^2=9\)，再乘 \(3.14\)，不是 \((3.14\times3)^2\)。花坛 \(28.26\) m² 比草坪 \(240\) m² 小得多，合理 ✓。

④ 回头看：答：剩下的草坪面积是 \(211.74\) m²。(1) 的式子对任何尺寸都成立，(2) 只是其中一种情况——这就是“一般”和“特殊”。

自己试试：一个梯形上底 \(5\) cm、下底 \(9\) cm、高 \(4\) cm。用 \(S=\tfrac12(a+b)h\) 求它的面积。

A。当 \(a=5\)，\(b=9\)，\(h=4\) 时，\(S=\tfrac12\times(5+9)\times4=\tfrac12\times14\times4=28\)。B 忘了乘 \(\tfrac12\)；C 是丢了括号，算成了 \(5+\tfrac12\times9\times4\)。

\(\pi\) 按题目给的值（如 \(3.14\)）参与计算。题目要求“结果取整数”或“保留一位小数”时，全部算完再四舍五入，结果写“\(\approx\)”或“约”。例：半径 \(2.5\) m 的圆，面积 \(3.14\times2.5^2=3.14\times6.25=19.625\approx20\)（m²，取整数）。如果中间先把 \(6.25\) 约成 \(6\)，就会得到 \(18.84\approx19\)，差了一截。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）负数代入不加括号
❌ 典型错解：\(a=-4\) 时，\(a^2=-4^2=-16\)。
✅ 看图秒懂：\(a\) 整个换成 \(-4\)，要连负号一起平方：\((-4)^2=(-4)\times(-4)=16\)。\(-4^2\) 只平方了 \(4\)，是 \(-16\)（回看 2.3）。先写括号，再往里填数。
翻车现场 ②省略的乘号没补回来
❌ 典型错解：\(a=4\) 时，\(5a\) 写成 \(54\)；\(a=-4\) 时，\(5a\) 写成 \(5-4\)。
✅ 一眼看清：\(5a\) 是“\(5\) 乘 \(a\)”。代入时先把乘号写回来：\(5\times4=20\)，\(5\times(-4)=-20\)。
翻车现场 ③分母为 0 也照样代入
❌ 典型错解：“\(x=2\) 时，\(\tfrac{6}{x-2}\) 的值是 \(0\)。”
✅ 一眼看清：\(x=2\) 时分母 \(2-2=0\)，除以 \(0\) 没有意义，这个式子不能求值。代入前先看一眼分母。实际问题里，字母还要取合乎实际的值：人数是正整数，速度是正数。

① 求值机：拖动 \(x\)，看代入过程

先选一个代数式，再拖动数轴上的圆点（或点一下圆点再用方向键）改变 \(x\)。图上显示 \(x\) 和值，代入后的完整算式写在图下面。

② \((a+b)^2\) 和 \(a^2+b^2\) 一样吗？

拖动上面一条数轴上的 \(a\) 和下面一条上的 \(b\)。图上的“左式”是 \((a+b)^2\) 的值，“右式”是 \(a^2+b^2\) 的值；完整的代入过程写在图下面。多换几组数算一算。

③ 进阶：用梯形面积公式求值

拖动三个圆点：右上角改上底 \(a\)，右下角改下底 \(b\)，左上角改高 \(h\)（每格 1 cm）。公式不变，代入的数一变，面积跟着变。

自主工作台：先自己写，再核对

草稿只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。式子可用 + − * × / ÷ ^、小数和括号，乘号可省略，平方可写 ²；不要填等号或单位。网页会合并同次幂来核对，试几个数不能证明式子等价。遇到无法识别的写法，会给出核对建议；文字理由请对照提交后给出的准则自己检查。

④ 完整写一次代入

某次测量用18−3t表示温度（℃），t是相对正午的小时数，负数表示正午前。请计算上午10时的温度。

⑤ 查到公式，再说明变量

查自己的书、笔记，或下方本页公式资料，找长方形周长公式。记录资料名称/位置，说明每个字母表示什么和单位。再求长7厘米、宽4厘米的长方形周长，写代入、计算和答语。

本页公式资料：展开查阅

《本页几何公式小卡》·周长条：长方形 C=2(a+b)，a、b为相邻两边长，C为周长，三者用同一种长度单位。面积条：S=ab，S用相应的平方单位。这是查阅资料，不是自动完成你的记录。

温标查阅任务正在加载；需启用 JavaScript。

⑥ 新情境：关系由你来列

下面两题都分两问：先根据情境写出一般关系，再打开具体数据，代入自己的关系计算。可以自选字母，也可以用清楚的文字表示关系，不要只填最后的数。草稿只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。

这里分别核对两道固定任务的数值和所选单位。两题第二问依次用千克、秒作答，不换算单位。一般式、理由、代入过程和意义请按核对后的准则自检；步骤能继续不表示式子正确。数值栏仅接受非负整数或有限小数（整数部分1至6位，小数最多3位），不填算式、分数、单位或近似符号；本题结果均可精确写出。

任务一：给花箱分培养土

园艺小组有一批培养土，先留出一部分备用，把余下的土全部平均分给若干个花箱，不损耗。总质量不少于留出质量，质量统一用千克，花箱个数为正整数。求每个花箱分到多少土。

第一问：还不知道具体数，先写一般关系

迁移任务：重复播放录音

一段录音每遍的播放时长相同，相邻两遍之间都停相同的一段时间。从第一遍开始播放时计时，最后一遍结束就停止计时，不再等待。已知每遍播放秒数、每次间隔秒数和播放遍数，求总用时。播放时长为正，间隔可为0，遍数为正整数。

第一问：这次仍由你列关系

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 当 \(x=5\) 时，\(3x-8\) 的值是多少？

A。\(3\times5-8=15-8=7\)。B 是把 \(3x\) 拼成了 \(35\)；C 符号算反了；D 是把减 \(8\) 看成了加 \(8\)。

2. 一个圆形花池的直径是 \(6\) m。用 \(C=\pi d\)（\(\pi\) 取 \(3.14\)）求它的周长。

A。当 \(d=6\) 时，\(C=3.14\times6=18.84\)。B 算的是半径 \(3\) m 的圆的面积；C 是把 \(d\) 平方了；D 只乘了半径。

易错

3. 当 \(x=-3\) 时，\(-x^2\) 的值是多少？

提示

\(-x^2\) 是“\(x^2\) 的相反数”。先把 \(x\) 换成带括号的 \((-3)\)，平方，再取相反数。

B。\(-x^2=-(-3)^2=-9\)。选 A 是把 \(-x^2\) 当成了 \((-x)^2\)；C、D 是把平方当成了乘 \(2\)。

4. 对代数式 \(\tfrac{5}{x+1}\)，\(x\) 取下面哪个值时不能求值？

提示

什么情况下除法没有意义？看分母，不看分子。

C。\(x=-1\) 时分母 \(-1+1=0\)，除以 \(0\) 没有意义。\(x=0\) 时值是 \(5\)，\(x=1\) 时是 \(2.5\)，\(x=-5\) 时是 \(\tfrac{5}{-4}=-1.25\)，都能求值。

5. 下面说法正确的是哪一个？

提示

每个说法都代一组数算一算，能举出一个反例，说法就错了。

A。\(2^2-4=0\)，\((-2)^2-4=0\)，相同，这也正好推翻了 B。C 丢了乘号：\(3a=3\times4=12\)；D 漏了括号：\((-1)^2=1\)。

挑战

6. 某地出租车收费：行驶 \(3\) km 以内收起步价 \(10\) 元；超过 \(3\) km 的部分，每千米收 \(2.4\) 元。小王坐车行驶了 \(x\) km（\(x>3\)）。先用代数式表示车费，再求 \(x=8\) 时的车费。

提示 1：先用文字写关系

车费 ＝ 起步价 ＋ 超出的千米数 × \(2.4\)。超出了多少千米？

提示 2：代入

车费是 \([10+2.4(x-3)]\) 元，把 \(x=8\) 代进去，先算括号。

A。超出的部分是 \((x-3)\) km，车费 \([10+2.4(x-3)]\) 元。当 \(x=8\) 时，\(10+2.4\times(8-3)=10+2.4\times5=10+12=22\)（元）。B 是把 \(8\) km 全按 \(2.4\) 元算又加了起步价；C 只算了 \(2.4\times8\)；D 只加了一个 \(2.4\)。

本节中考真题

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