培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
一个数要同时满足两个条件时，就有了不等式组。办法很朴素：两个不等式各解各的，画在同一条数轴上，两条线共同覆盖的部分就是解集；连一个公共点也没有，才是无解。
本节导读 先修：11.2 一元一次不等式 · 10.1 方程组 · 本节路线
要用到：解一元一次不等式、在数轴上表示解集（回看 11.2）；方程组“同时满足”的意思（回看 10.1）。
- 从“同时满足两个条件的整数”进入。
- 认识不等式组和它的解集：各解集的公共部分。
- 解法：各自解 → 画在同一数轴的不同高度 → 找两条线都盖住的部分。
- 端点：公共部分的每个端点，看它原来属于哪个不等式。
- 没有公共部分就无解；求整数解时逐个检查端点。
- 练习与中考真题。
一个整数 \(n\)：它的 \(3\) 倍大于 \(10\)，同时它的 \(2\) 倍小于 \(15\)。点按钮，先分别看每个条件允许哪些数，再看两个都要满足时剩下哪些：
同时满足两个条件的整数 \(n\) 有几个？
A。条件①：\(3n>10\)，\(n>\tfrac{10}{3}\approx 3.33\)；条件②：\(2n<15\)，\(n<7.5\)。两个都满足的是 \(3.33\) 和 \(7.5\) 之间的数，整数有 \(4,5,6,7\)。选 D 是只看了一个条件；选 C 是把 1 到 7 都算上了，漏看了条件①。
这种“同时满足几个不等式”的问题，就是这一节的不等式组。
1. 先认识几个词：不等式组、解集、无解
前置知识：解一元一次不等式、画解集（回看 11.2）。把几个含同一个未知数的一元一次不等式用大括号合在一起，就是一元一次不等式组，例如 \(\begin{cases}x>1\\ x\le 4\end{cases}\)。它的解集是各个不等式解集的公共部分；求解集叫解不等式组；没有公共部分时，不等式组无解。点下面四种情况：
直觉微图解 ①两条线画在不同高度，两条都盖住的地方才算
核心概念 ②和方程组比一比
都要求同时满足。二元一次方程组靠消元，把两个方程合成一个；一元一次不等式组是各解各的，再取公共部分。
核心概念 ③公共部分，不是“合起来”
\(x>1\) 与 \(x>3\)：\(2\) 满足第一个、不满足第二个，不算。公共部分是 \(x>3\)，比任何一个解集都“窄”或一样。
2. 核心点：解不等式组的三步
公共部分的每个端点，看它原来属于哪个不等式：那个不等式带等号就实心，不带就空心。两个端点重合时，两个都带等号才算包含它。
直觉微图解 ②端点是实心还是空心
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
解不等式组 \(\begin{cases}3x-1\ge x-5 & ①\\ 4-x>1 & ②\end{cases}\)，并在数轴上表示解集。
① 读懂题意：两个不等式要同时成立。先做什么？
提示 1：先各解各的
解 ①：移项、合并、系数化为 1；解 ②：注意 \(x\) 的系数是 \(-1\)。
基础示范（可收起）
④ 回头看：两个端点一实一空，分别来自 ① 和 ②，各看各的。
自己试试：不等式组 \(\begin{cases}x+2>0\\ 2x-6\le 0\end{cases}\) 的解集是哪一个？
C。第一个得 \(x>-2\)，第二个得 \(x\le 3\)，公共部分在两点之间：\(-2\) 来自“\(>\)”，空心；\(3\) 来自“\(\le\)”，实心。B 把两个端点的实心空心弄反了；A 只写了一个。
例 2（示范：会不会没有解？）
解不等式组 \(\begin{cases}2x-1>5 & ①\\ 3-x\ge 2 & ②\end{cases}\)。
提示：画出来再说
两个解集一个朝右、一个朝左。它们有没有重叠？
看完整示范
自己试试：不等式组 \(\begin{cases}-2x<6\\ x-1\ge 1\end{cases}\) 的解集是哪一个？
提示
第一个要除以负数；两个解集都朝右时，公共部分从哪里开始？
B。\(-2x<6\) 得 \(x>-3\)（除以负数掉头）；\(x-1\ge 1\) 得 \(x\ge 2\)。都朝右，两条线都盖住的部分从 \(2\) 开始：\(x\ge 2\)。A 是取成了“合起来”；C 是把第二个不等式的解误写成了 \(x\le 2\)。
3. 核心点：整数解，逐个检查端点
“\(x\) 取哪些整数时两个不等式都成立”，就是先解不等式组，再从解集里挑整数。端点是整数时：实心的算，空心的不算。
直觉微图解 ③解集里有哪几个整数
例 3（示范）
\(x\) 取哪些整数时，不等式 \(2(x+1)>x-1\) 与 \(\tfrac{x+5}{3}\ge x-1\) 都成立？
① 读懂题意：“都成立”就是把两个不等式组成不等式组。
提示 1：各自解
第一个去括号移项；第二个两边乘 \(3\)，右边的 \(x-1\) 也要乘。
看完整示范
④ 回头看：数整数时最容易错的就是两头：先判断端点算不算，再数中间。
自己试试：不等式组 \(\begin{cases}1-x<3\\ 3x\le 8\end{cases}\) 的整数解有几个？
B。\(1-x<3\) 得 \(x>-2\)；\(3x\le 8\) 得 \(x\le\tfrac83\approx 2.67\)。解集 \(-2<x\le\tfrac83\)，整数是 \(-1,0,1,2\)。C 是把空心端点 \(-2\) 也算了进去。
4. 用之前必查：三大翻车现场
① 两个不等式，找公共部分
用两排按钮分别选 ①、② 的不等号；拖两个圆圈改端点（或点一下再用方向键）。① 画在最上面，② 在中间，最下面的数轴上红色的是公共部分，它的端点按原来的不等式定实心空心。
② 解集里有几个整数？
拖两个端点改范围，点按钮选端点含不含。绿色圆点是解集里的整数。
\(-1\le 2x+1<5\) 的意思是 \(2x+1\ge -1\) 并且 \(2x+1<5\)，可以看成不等式组 \(\begin{cases}2x+1\ge -1\\ 2x+1<5\end{cases}\)，解得 \(-1\le x<2\)。如果 \(x\) 的系数是负数，两边各自要掉头，见“动手”③。
③ 进阶：连写不等式 \(-3\le kx+1<5\)
点按钮换 \(k\)；它拆成两个不等式，各自解出后取公共部分。拖金色圆点 \(x\) 试一个数，看它是不是同时满足两边。
自主完成：分别解，再亲画，再归纳
先在纸上或下框写两式各自的变形依据，再输入合并行及解集。程序核对这两行的数学结果；文字过程请自己或老师逐步核看。
输入约定：字母用 x。合并行只写“数字系数x > 数”等关系；最终写“x ≥ 数”等关系。支持 >、<、≥、≤、>=、<=。数值支持整数、至多三位小数、整数/正整数；不支持括号、指数或内部拼接空格。不要用有限几个代入值代替一般推导。
在同一数轴上亲画三个范围
依次设置①、②、公共部分的端点、空实心与方向。可以选中要设置的端点后点数轴（半单位刻度），也可用输入框键入精确分数或小数；全部控件支持键盘。三行初始空白，按“画出我的输入”查看自己的作品，程序不会替你填答案。没有公共点选对应形状，单点自动实心。
解题过程自核准则（不代替自主推导）
①②是否分别写出等价变形？两边同加减后方向是否保留？除数是否非零、正负是否已判断，负数乘除是否反向？是否画在同一数轴？端点是否满足两个原式？公共部分之外的数为何至少不满足一式？最后是否回到题目所问的实数或整数？代入端点能帮助排错，但几个代入值不能证明全体解集。
回头自己归纳
分同一批书：比较两种设元方法（原创）
把一批书分给若干名同学。每人分 3 本，还剩 5 本；若每人分 4 本，所缺的书至少 1 本、至多 3 本。求所有可能的人数和书本数。人数、书本数都是正整数。
分别设人数、设书本数各做一次：写出未知数的单位、同一批书的关系、剩余和不足条件、定义域、推导与全部答案；再比较两法。设书本数时，用剩余关系表示人数，先检查人数表达式为正再去分母，并保留人数必须是整数的约束。这里不要求解未知数在分母里的不等式。
两法比较的自核准则
设人数时，是否用“每人本数×人数+剩余”表示同一批书？不足是否用“需要的总本数−已有本数”表示并保留上下界？设书本数时，是否由剩余关系还原人数，说明除法域为正、人数为整数？是否逐组还原两个问量并代回原题？两法的范围为何必须连同整数约束一起比较？本区只核对填入的范围及组合，不自动认证开放文字或线下活动已经发生。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 不等式组 \(\begin{cases}x-1>0\\ x<5\end{cases}\) 的解集是哪一个？
A。\(x>1\) 与 \(x<5\) 的公共部分在两点之间，两端都空心。B、C 只取了一个不等式。
2. 不等式组 \(\begin{cases}2x+6\ge 0\\ x-1<0\end{cases}\) 的解集是哪一个？
D。\(2x\ge -6\)，\(x\ge -3\)；\(x<1\)。\(-3\) 来自“\(\ge\)”实心，\(1\) 来自“\(<\)”空心。B 把端点弄反了。
易错
3. 不等式组 \(\begin{cases}x+3<1\\ 2x\ge -2\end{cases}\) 的解集是哪一个？
提示
各自解出来，在数轴上画一画：一个朝左一个朝右，重不重叠？
C。\(x<-2\) 与 \(x\ge -1\)：一个在 \(-2\) 左边，一个在 \(-1\) 右边，没有公共部分，无解。A 是硬写出来的空式子；B 是把方向弄反了。
4. 不等式组 \(\begin{cases}x>-1\\ x>2\end{cases}\) 的解集是哪一个？
提示
代 \(x=0\) 试试，它满足第二个吗？
A。都朝右，两条线都盖住的从 \(2\) 开始。B 是“合起来”：\(x=0\) 满足 \(x>-1\) 却不满足 \(x>2\)。
5. 不等式组 \(\begin{cases}x+1>-1\\ \tfrac{x}{2}\le 1\end{cases}\) 的所有整数解的和是多少？
提示
解集两端：一个空心、一个实心。把整数列出来再加。
C。\(x>-2\)，\(x\le 2\)，整数 \(-1,0,1,2\)，和为 \(2\)。A 是多算了空心端点 \(-2\)（和变成 \(0\)），或漏了实心端点 \(2\)（和也是 \(0\)）；B 是多算 \(-2\) 又漏了 \(2\)；D 是漏掉了整数解 \(1\)。
挑战
6. 点 \(P(2m-4,\ m+3)\) 在第二象限，\(m\) 的取值范围是什么？
提示 1：第二象限的点
横坐标是负数，纵坐标是正数（回看 9.1）。
提示 2：列不等式组
\(\begin{cases}2m-4<0\\ m+3>0\end{cases}\)，各自解，再取公共部分。
B。\(2m-4<0\) 得 \(m<2\)；\(m+3>0\) 得 \(m>-3\)。公共部分 \(-3<m<2\)。检验 \(m=0\)：\(P(-4,3)\) 在第二象限 ✓。A、C 只用了一个条件。
本节中考真题
共 29 道，含 19 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习解不等式组。选择题选完看解析，解答题写完再对照解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 集合的基本运算初中在数轴上找不等式组的公共解集，本质上就是高中连续区间集合求交集（$A\cap B$）与并集（$A\cup B$）的几何原型。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 解不等式（F1–F2）含参一次不等式组的解集边界讨论与绝对值零点分段，是进入竞赛分式不等式与含绝对值不等式（F1–F2）的必备基础。