培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十八章 分式
18.1 分式及其基本性质
分子、分母都是整式，并且分母里含有字母，这样的式子叫“分式”。它什么时候有意义、什么时候等于 0？怎样像分数那样约分、通分？这一节全程拿分数来比。
本节导读 先修：整式、因式分解 · 本节路线
要用到：整式（回看 4.1）；提公因式法、公式法分解因式（回看 17.1、17.2）；小学分数的约分、通分。
- 从“平均分”进入：除数是字母时，商写成什么样？
- 认识分式：分子、分母都是整式，分母含字母。
- 两个条件：有意义（分母 ≠ 0）；值为 0（分子 = 0 且分母 ≠ 0）。
- 基本性质：分子分母同乘（除以）一个不为 0 的整式，值不变。
- 约分与通分：先分解因式，再约公因式、找最简公分母。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
一桶水 \(12\) 升，平均倒进几个杯子。先点下面的按钮，看杯子数变了，每杯的水怎么变：
如果平均倒进 \(n\) 个杯子，每杯有多少升？
B。平均分用除法：\(12\div n\)，写成 \(\dfrac{12}{n}\)。选 A 是把除法当成了乘法；选 C 是把被除数和除数弄反了。
\(\dfrac{12}{n}\) 长得像分数，可分母是字母 \(n\)。还有一件事：\(n\) 能不能取 \(0\)？这一节要回答：分母含字母的式子叫什么，什么时候有意义，能不能像分数一样约分、通分？
1. 先认识几个词：分式、有意义、最简分式
前置知识：整式（回看 4.1）；分解因式（回看 17.2）。先看几个都带分数线的式子，哪些是分式：
直觉微图解 ①有分数线不一定是分式：看分母里有没有字母
分式：\(A\)、\(B\) 表示两个整式，并且 \(B\) 中含有字母，式子 \(\dfrac{A}{B}\) 叫做分式，\(A\) 叫分子，\(B\) 叫分母。分子可以不含字母（如 \(\dfrac{12}{n}\)）。和分数一样，\(\dfrac{A}{B}\) 既表示除法 \(A\div B\)，也表示这个商。
有意义：分母相当于除数，除数不能为 \(0\)。分母 \(B\ne 0\) 时，分式才有意义。以后没有特别说明时，出现的分式都默认有意义。
核心概念 ②分式 vs 整式：看原来的样子
\(\dfrac{x}{3}\) 的分母是数 \(3\)，它就是 \(\tfrac13x\)，是整式；\(\pi\) 是一个确定的数，\(\dfrac{x}{\pi}\) 也是整式。\(\dfrac{x^2}{x}\) 是分式：判断时不先约分。
核心概念 ③有意义 vs 值为 0
有意义只看分母：分母 \(\ne 0\)。值为 \(0\) 要两条同时满足：分子 \(=0\)，并且分母 \(\ne 0\)。分母等于 \(0\) 时分式根本没有值，谈不上等于 \(0\)。
2. 核心点：什么时候有意义、什么时候值为 0
\(\dfrac{A}{B}\) 有意义：\(\color{#B5452F}{B\ne 0}\)
除数不能为 \(0\)。
\(\dfrac{A}{B}=0\)：\(\color{#2F7A56}{A=0}\) 且 \(\color{#B5452F}{B\ne 0}\)
分子为 \(0\)，同时分母不为 \(0\)。
直觉微图解 ②在数轴上标出：哪些 \(x\) 让分母为 0（✕），哪些让分式的值为 0（○）
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
(1) \(x\) 取什么值时，分式 \(\dfrac{x+5}{4x-8}\) 有意义？(2) \(x\) 取什么值时，分式 \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) 的值为 \(0\)？
① 读懂题意：(1) 问“有意义”，(2) 问“值为 0”。两问要看的地方一样吗？
提示 1：各盯哪里
(1) 只看分母，分子是什么都不用管。(2) 先让分子为 \(0\)，再回头查分母。
看完整示范
④ 回头看：“值为 0”比“有意义”多一个条件。分母含两个字母时，条件是字母之间的关系：\(\dfrac{a}{a-2b}\) 有意义要 \(a\ne 2b\)，不是“\(a\ne 0\) 且 \(b\ne 0\)”。
自己试试：\(x\) 取什么值时，分式 \(\dfrac{2x-1}{x^2+9}\) 有意义？
C。\(x^2\) 不会是负数，\(x^2+9\ge 9\)，分母永远不为 \(0\)。A、B 是把 \(x^2+9\) 当成了 \(x^2-9\)；D 是去看分子了，分子为 \(0\) 不影响有没有意义。
再试一个：\(x\) 取什么值时，分式 \(\dfrac{x+3}{x^2-9}\) 的值为 \(0\)？
D。分子 \(x+3=0\) 只能 \(x=-3\)，可这时分母 \(9-9=0\)，分式没有意义。唯一的候选被排除，所以值不可能为 \(0\)。选 A 是只看了分子；选 B、C 是去解分母了。
3. 核心点：基本性质——上下同乘（除以）不为 0 的整式
分数 \(\dfrac23=\dfrac{2\times 5}{3\times 5}\)，靠的是“分子分母同乘一个不为 0 的数，值不变”。分式也一样，只是把“数”换成“整式”：
\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot \color{#2F7A56}{C}}{B\cdot \color{#2F7A56}{C}}\)
\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\div \color{#2F7A56}{C}}{B\div \color{#2F7A56}{C}}\)
不能漏掉条件：\(\color{#B5452F}{C\ne 0}\)。
\(A\)、\(B\)、\(C\) 都是整式。只对乘、除成立；同加、同减不行。
直觉微图解 ③取 \(x=3\) 验一验：对 \(\dfrac{x}{x+1}\) 做四种变形，值还是 \(\dfrac34\) 吗？
相反因式约分别丢负号：\(n-m=-(m-n)\)。当 \(m\ne n\) 时，\(\dfrac{m-n}{n-m}=\dfrac{m-n}{-(m-n)}=-1\)，不是 \(1\)。例如 \(m=2,n=1\) 时，\(\dfrac{2-1}{1-2}=-1\)。
例 2（示范：看分母怎么变，想分子怎么变）
填空：(1) \(\dfrac{3a}{2b}=\dfrac{(\quad)}{8ab^2}\)；(2) \(\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}=\dfrac{x}{(\quad)}\)。
提示：先比较已知的那一半
(1) 分母从 \(2b\) 变成 \(8ab^2\)，乘了什么？(2) 分子从 \(x^2+2x\) 变成 \(x\)，除以了什么？先把分子分母分解因式。
看完整示范
回头看：上下做的必须是同一件事：同乘同一个整式，或同除以同一个整式。
自己试试：下面哪个变形一定正确？
C。\(x^2+1\ge 1\)，永远不为 \(0\)，可以同乘。A 是同加，取 \(a=1,b=2\)：\(\tfrac12\ne\tfrac23\)；B 是同减，取 \(a=1,b=3\)：\(\tfrac13\ne\tfrac02=0\)。如果同乘的是可能为 \(0\) 的式子（比如 \(c\)），还得先说明它不为 \(0\)。D 是分子乘 \(a\)、分母乘 \(b\)，乘的不是同一个式子。
4. 核心点：约分和通分，第一步都是分解因式
约分：根据基本性质，约去分子和分母的公因式。分子分母没有公因式的分式叫最简分式；约分要约到底，结果是最简分式或整式。通分：把几个异分母分式化成同分母分式，值不变。一般取各分母所有因式的最高次幂的积（系数取最小公倍数）作公分母，叫最简公分母。
先把分子、分母分解因式（用第十七章的两种方法）。
再约去公因式或定最简公分母（依据：分式的基本性质）。
直觉微图解 ④把分子分母拆成一块块因式，上下都有的才能划掉
例 3（示范）
(1) 约分：\(\dfrac{m^2-4m}{m^2-8m+16}\)；(2) 通分：\(\dfrac{1}{3x^2y}\) 与 \(\dfrac{5}{6xz}\)。
提示 1：先分解
(1) 分子提公因式，分母用完全平方公式。(2) 分母是单项式：系数 \(3\)、\(6\) 和字母 \(x,y,z\) 分开看。
看完整示范
回头看：约分找“上下都有的”，通分找“每个分母都能整除的最小的”。
自己试试：约分 \(\dfrac{4x^2-1}{2x^2+x}\) 的结果是？
A。\(4x^2-1=(2x+1)(2x-1)\)，\(2x^2+x=x(2x+1)\)，约去 \(2x+1\)。B 是把 \(4x^2\)、\(2x^2\) 里的 \(x^2\) 当成公因式“约”掉了（在项之间约分）；C 约错了因式；D 把分母里的 \(x\) 也约没了。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：负号放在哪里都行，但要成对改
分子、分母、分式本身前面的符号，同时改其中两个，值不变：\(\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\)，\(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\)。这就是基本性质：分子分母同乘 \(-1\)。
① 拖动 x：分式有没有意义、值是多少
先选一个分式，再拖数轴上的圆点（或点一下圆点用方向键）。红色 ✕ 是让分母为 0 的值，绿色圈是让分式值为 0 的值。
② 约分前后：值总一样吗？
\(\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\) 约分得 \(\dfrac{x-2}{x}\)。拖动 \(x\)，比一比两个式子的值，特别留意 \(x=-2\) 和 \(x=0\)。
③ 进阶：最简公分母为什么取“最高次”
两个分母：① \(4a^{p}(x+1)^{q}\)，② \(6a^{r}(x+1)^{s}\)。上下拖动前四根柱子的顶端（或点一下用方向键）改次数，看每组第三根柱（③，红色）——最简公分母里这个因式的次数——怎么跟着变。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下列式子中，是分式的是哪一个？
C。只有它的分母 \(2+y\) 含字母。A、D 的分母是数；B 的 \(\pi\) 是圆周率，一个确定的数，不是字母变量。它们都是整式。
2. 约分 \(\dfrac{15x^2y}{20xy^3}\) 的结果是？
B。公因式是 \(5xy\)：\(15\div5=3\)，\(20\div5=4\)；\(x^2\div x=x\)；\(y\div y=1\)，\(y^3\div y=y^2\)。A 漏约了 \(x\)；C 分母的 \(y\) 没约；D 系数约错了。
易错
3. 分式 \(\dfrac{x^2-16}{x^2+4x}\) 的值为 \(0\)，则 \(x\) 等于？
提示
先让分子为 \(0\)，再把每个候选值代进分母 \(x^2+4x\) 查一查。
B。分子 \(x^2-16=0\) 得 \(x=\pm4\)；分母 \(x^2+4x=x(x+4)\)，\(x=-4\) 时为 \(0\)，排除。选 A 是只看分子（翻车现场 ②）；\(x=0\) 时分母也为 \(0\)，D 错。
4. 下列变形中，正确的是哪一个？
提示
每个选项问自己：分子分母是不是乘（除以）了同一个式子？约掉的是不是因式？
C。\(x^2-2x=x(x-2)\)，\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，约去 \(x-2\)。A 是在项之间约分（\(x=1\) 时左边 \(\tfrac74\)）；B 的 \(a^2+b^2\) 不能分解，没有因式 \(a+b\)；D 应等于 \(-1\)。
5. \(\dfrac{1}{2x^2-2x}\) 与 \(\dfrac{3}{x^2-2x+1}\) 的最简公分母是？
提示
先分解：\(2x^2-2x=2x(\ \ )\)，\(x^2-2x+1=(\ \ )^2\)。每个因式取最高次。
A。\(2x^2-2x=2x(x-1)\)，\(x^2-2x+1=(x-1)^2\)。系数 \(2\)、\(x\)、\((x-1)\) 取最高次 \((x-1)^2\)。B 没取最高次；C 直接相乘，多了一个 \(x-1\)；D 的 \(x\) 次数取高了。
挑战
6. 不改变分式的值，把 \(\dfrac{\frac12x-0.4}{0.3x+2}\) 的分子、分母中各项的系数都化成整数，结果是？
提示 1：乘几
要让 \(\tfrac12\)、\(0.4\)、\(0.3\) 都变成整数，分子分母同乘的最小正整数是几？
提示 2：每一项都乘
分母里的常数项 \(2\) 也要乘，不能只乘带 \(x\) 的项。
A。\(\tfrac12=0.5\)，分子分母同乘 \(10\)：分子 \(5x-4\)，分母 \(3x+20\)。B 是常数项 \(2\) 忘了乘；C 只乘了 \(2\)，系数还不全是整数。
本节中考真题
共 10 道，含 2 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习分式有意义、值为 0 的条件，以及约分和整体代入。选择题选完看解析，填空题和解答题做完再核对。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 五下第4单元 · 分数的意义和性质分式的分子分母同乘或同除以非零整式保持值不变，以及分式的约分与通分，完全类比自小学分数的基本性质。