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八年级上册 · 第十三章 三角形

13.2 与三角形有关的线段

三根木棒为什么有时搭不成三角形？小学是试出来的，这一节用“两点之间，线段最短”把它证明出来。再认识三角形里的三种重要线段：中线、角平分线、高。

本节导读　先修：6.2 线段、7.1 垂线、11.1 不等式 · 本节路线

要用到：两点之间线段最短、线段的中点（回看 6.2）；角的平分线（回看 6.3）；垂线（回看 7.1）；不等式的性质（回看 11.1）；三角形的边和对边（回看 13.1）。

  1. 从搭木棒进入：有的能搭成，有的不能。
  2. 证明“两边的和大于第三边”，推出“两边的差小于第三边”。
  3. 判断三条线段能否组成三角形，求第三边的范围，等腰三角形分情况讨论。
  4. 三角形的稳定性。
  5. 中线、角平分线、高：会说、会画，钝角三角形的高在外面。
  6. 动手拖一拖，练习与中考真题。

手里有两根小木棒，长 \(3\) cm 和 \(4\) cm。换不同长度的第三根，点下面的按钮看能不能搭成三角形：

下面哪一根能和 \(3\) cm、\(4\) cm 的木棒首尾相接搭成三角形？

B。选 C：\(3+4=7\)，两根短的伸直了正好和长的一样长，只能平躺成一条线段。选 D：\(3+4=7\lt 8\)，两根够不着。选 A：\(1+3=4\)，又是平躺。只有 \(6\) cm：任意两根加起来都比第三根长。

“两根的和要比第三根长”只是试出来的。这一节要回答：为什么一定这样？怎样很快判断？

1. 先认识几个词：三角形的三边关系

前置知识：两点之间，线段最短（回看 6.2）；不等式的性质（回看 11.1）。在 \(\triangle ABC\) 中，从 \(B\) 到 \(C\) 有两条路：直接走线段 \(BC\)，或者绕到 \(A\) 再走到 \(C\)。点一点，比一比：

直觉微图解 ①从 \(B\) 到 \(C\)：绕道 \(A\) 的折线总比线段 \(BC\) 长

三角形两边的和大于第三边。理由：点 \(A\) 不在直线 \(BC\) 上，由“两点之间，线段最短”，线段 \(BC\) 比折线 \(B\to A\to C\) 短，所以 \(AB+AC>BC\)。同理 \(AB+BC>AC\)，\(AC+BC>AB\)。

\(\color{#B5452F}{\underbrace{\lvert b-c\rvert}_{\text{两边之差}}}\;\lt\;\color{#2F7A56}{\underbrace{a}_{\text{第三边}}}\;\lt\;\color{#966524}{\underbrace{b+c}_{\text{两边之和}}}\)

右半边是刚证的；左半边由它移项得到：比如 \(b\ge c\) 时，由 \(a+c>b\)，两边减去 \(c\)（不等式的性质）得 \(a>b-c\)。三角形两边的差小于第三边。两端都取不到等号。

核心概念 ②怎样判断能否组成三角形

任意两条的和都大于第三条，就能组成。省事的查法：只查较短两条的和是否大于最长的一条。另外两组里含最长的那条，自然成立。

核心概念 ③“等于”也不行

较短两条的和小于或等于最长的一条，就不能组成。等于时，三个端点落在同一条直线上，不满足三角形的定义（13.1）。

直觉微图解 ④较短两根的和，跟最长的一根比

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

(1) 下列每组线段能否组成三角形：① \(4\) cm、\(6\) cm、\(9\) cm；② \(3\) cm、\(5\) cm、\(8\) cm；③ \(2.5\) cm、\(3\) cm、\(6\) cm。
(2) 三角形的两边长为 \(5\) 和 \(9\)，第三边长 \(x\) 的取值范围是什么？如果 \(x\) 是整数，有几种可能？

① 读懂题意：(1) 是判断，(2) 是求范围再数整数。两问用的都是三边关系。

提示 1：判断时先找最长的

每组只需比较“较短两条的和”与“最长的一条”。

基础示范（可收起）
② 想办法：(1) 用省事的查法；(2) 第三边夹在“两边之差”和“两边之和”之间。
③ 执行：(1) ① \(4+6=10>9\)，能；② \(3+5=8\)，等于 \(8\)，不能；③ \(2.5+3=5.5\lt 6\)，不能。(2) \(9-5\lt x\lt 9+5\)，即 \(4\lt x\lt 14\)；整数 \(x\) 可以是 \(5,6,\dots,13\)，共 \(9\) 种。
执行中检查：\(x=4\) 时 \(4+5=9\)，三点共线，确实不行；\(x=13\) 时 \(5+9=14>13\)，行。端点处单独验一下，最不容易数错。

④ 回头看：判断用“较短两条之和 > 最长”；求范围用“差 \(\lt\) 第三边 \(\lt\) 和”，两个不等号都不带等号。

自己试试：三角形两边长为 \(7\) 和 \(3\)，第三边的长可能是多少？

C。第三边在 \(7-3=4\) 和 \(7+3=10\) 之间，两端取不到：\(4\lt x\lt 10\)，只有 \(9\) 符合。B、D 正好是端点，三点会共线；A 比 \(4\) 还小，\(3+3\lt 7\)。

例 2（示范：没说是腰还是底，就分情况）

等腰三角形的两边长分别是 \(5\) cm 和 \(11\) cm，求它的周长。

① 读懂题意：等腰三角形只有两种边长，一种出现两次。题目没说 \(5\) 是腰还是底边。

提示：两种情况都要写出来，再检验

腰是 \(5\) 时三边是多少？腰是 \(11\) 时呢？每种都用三边关系检验。

看完整示范
② 想办法：分“腰长 \(5\)”和“腰长 \(11\)”两种情况。
③ 执行：腰长 \(5\)：三边 \(5,5,11\)，\(5+5=10\lt 11\)，组不成，舍去。腰长 \(11\)：三边 \(11,11,5\)，\(5+11>11\)，能组成，周长 \(11+11+5=27\) cm。
执行中检查：舍去的情况要写出理由“不满足三角形两边的和大于第三边”，不能只写结果。

④ 回头看：答案是 \(27\) cm，不是“\(21\) 或 \(27\)”。分情况和检验，两步缺一不可。

自己试试：等腰三角形两边长为 \(3\) cm 和 \(7\) cm，它的周长是多少？

B。腰长 \(3\)：\(3+3=6\lt 7\)，组不成；腰长 \(7\)：\(7,7,3\) 能组成，周长 \(17\) cm。选 C 是分了情况却没检验；选 A 是只算了腰长 \(3\) 那种。

三角形的稳定性：三根木条钉成的三角形木架，怎么扭，形状和大小都不变，这叫三角形的稳定性（实验得出）。屋顶钢架、自行车车架、起重机的吊臂都用了大量三角形。为什么三边定了形状就定了，要等 14.2 学了全等才能说明。

2. 核心点：中线、角平分线、高

从三角形的一个顶点出发，向对边画线段，有三种特别重要：

直觉微图解 ⑤同一个顶点，三条线落在对边的三个不同位置

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{BD=DC=\tfrac12 BC}_{AD\text{ 是中线}}}\qquad \color{#966524}{\underbrace{\angle BAD=\angle CAD=\tfrac12\angle BAC}_{AD\text{ 是角平分线}}}\qquad \color{#B5452F}{\underbrace{\angle ADB=90^\circ}_{AD\text{ 是高}}}\)

三句话分别对应三个定义。说“\(AD\) 是中线”时要说清是哪条边上的中线。

直觉微图解 ⑥三角形的高：不一定都在里面

三角形的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心；三条角平分线也相交于一点。这两件事现在先直接承认，后面会用到（角平分线的情形在 14.3 证明）。

例 3（示范：中线和面积）

\(AD\) 是 \(\triangle ABC\) 的边 \(BC\) 上的中线，\(BC=10\) cm，\(BC\) 边上的高为 \(6\) cm。求 \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle ADC\) 的面积。

① 读懂题意：两个小三角形的底在 \(BC\) 上，要知道底和高。

提示：两个小三角形的高是谁

从 \(A\) 到直线 \(BC\) 的那条高，同时是 \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle ADC\) 的高。

看完整示范
② 想办法：中线给出底：\(BD=DC=\tfrac12 BC\)；高共用。
③ 执行：\(BD=DC=5\) cm。\(S_{\triangle ABD}=5\times6\div2=15\) cm²，\(S_{\triangle ADC}=5\times6\div2=15\) cm²。
执行中检查：\(S_{\triangle ABC}=10\times6\div2=30\) cm²，正好是 \(15+15\) ✓。

④ 回头看：等底同高，面积相等：中线把三角形分成面积相等的两部分（周长一般不相等）。

自己试试：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C\) 是钝角。三条高中，哪些在三角形内部？

B。从 \(A\) 向 \(BC\) 所在直线画垂线，因为 \(\angle C\) 是钝角，垂足落在 \(BC\) 的延长线上（\(C\) 的外侧），这条高在外部；从 \(B\) 出发的高同理。只有钝角顶点 \(C\) 到对边 \(AB\) 的高在内部。看微图解 ⑥ 的“钝角三角形”。

3. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）判断时只看了一组
❌ 典型错解：“\(3+9>5\)，所以 \(3\)、\(5\)、\(9\) 能组成三角形。”
✅ 看图秒懂：较短的两根 \(3+5=8\lt 9\)，平放在最长的一根上，中间还空着 \(1\)，接不上。
翻车现场 ②等腰三角形只算一种，或算了两种不检验
❌ 典型错解：“两边 \(5\) 和 \(12\)，周长是 \(22\) 或 \(29\)。”
✅ 一眼看清：\(5,5,12\) 中 \(5+5\lt 12\)，舍去；只有 \(12,12,5\)，周长 \(29\)。
翻车现场 ③“高都在三角形里面”“高是从顶点到对边的线段”
❌ 典型错解：钝角三角形里，从锐角顶点往对边上硬画一条“高”，不垂直。
✅ 一眼看清：高是向对边所在直线画的垂线段。先延长对边（画虚线），垂足可能在延长线上。
再深一点（可跳过）：三条线会重合吗？

拖动“动手”②的顶点，使 \(AB=AC\)。从顶点A作出的中线、角平分线和高有什么关系？一般三角形也总这样吗？

想好后看解释

三条线不一定重合；当AB=AC时，从A出发的这三条线重合。可以通过拖动观察，这一结论在15.3再证明。

① 三根小棒：能不能搭成三角形

拖动三个滑块上的圆点（或点一下再按方向键）改变三根小棒的长度。最长的一根放在下面当底，另外两根从两端往上搭。

② 拖动顶点：中线、角平分线、高

先选一种线段，再拖动 \(A\)、\(B\)、\(C\)（或点一下顶点用方向键移动）。从 \(A\) 出发的那条画得粗一些。

③ 进阶：两边定了，第三边能有多长

两根木条在 \(C\) 处钉在一起，\(CB\) 不动。拖动 \(A\)（或用方向键）改变夹角，看 \(AB\) 的长 \(c\) 在数轴上怎样移动。上方按钮换两根木条的长度。

④ 自己论证：两个严格界

非退化△ABC中，CA=7 cm、CB=11 cm、AB=x cm。比较A→C→B与A→B、C→A→B与C→B的路线；写出x的上下界，并说明等号为什么不能取。

x

先写两端与依据；开放论证不自动判正确。

⑤ 先自己作图，再检查端点定义

在这张钝角三角形图上，用下方标尺移动D；角读数相当于量角器。选高时须自己延长对边，再移D。点D后用左右键每次移0.1 cm，也可拖动。核对前先操作并用自己的话定义另一端点。

先自己移D作图；本页不认证纸笔操作已经发生。

⑥ 同厚匀质薄板：先算，再设计验证

材料：同一种均匀硬纸板、细线、铅垂线、尺笔、支点。按图裁L/Z板，厚度均匀且可忽略。先用矩形面积求各部分占总面积的分数，再填坐标组合中的系数和整板预测重心坐标；矩形只共边、不重复占面积。这里只从具体面积比探索，不展开物理公式。

同样的系数也用于y坐标。

，

只填整数或分数，斜线两侧可有空格；不带单位、小数或其它算式，不把内部空格拼成数。

先算面积占比与坐标；预测不等于实测。

验证方案：选两个边缘点先后悬挂，每次静止后沿铅垂线在板上画直线，转回同一坐标系延长两线找交点；两条记录线不能重合。若预测点在板内，可试支撑并记是否平衡；若在缺口或板外，不能在空处直接顶住，应改用悬挂核验。模拟展示预测，实测误差须自己记录。

；

选做：背越式与重心（不是本节先修）

输入和操作只在本页保留，刷新或重置会清空。文字说明请对照准则自己检查；实物实验请另行动手完成。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 下列长度（单位：cm）的三条线段，能组成三角形的是哪一组？

C。较短两条之和与最长的比：A \(2+3=5\lt 6\)；B \(3+3=6\)，相等；C \(4+5=9>8\) ✓；D \(1+2=3\)，相等。

2. \(AD\) 是 \(\triangle ABC\) 的中线，\(\triangle ABD\) 的面积是 \(12\) cm²。\(\triangle ABC\) 的面积是多少？

C。中线把 \(\triangle ABC\) 分成面积相等的两部分：\(S_{\triangle ABC}=2\times12=24\) cm²。A 是反过来除以 2；B 把小三角形当成了整个；D 是乘了两次 2。

易错

3. 小东判断 \(4\) cm、\(6\) cm、\(11\) cm 的三根木棒：“因为 \(4+11>6\)，所以能搭成三角形。”他的说法对吗？

提示

他查了哪一组？最该查的是哪两条的和？

B。要任意两条的和都大于第三条。\(4+11>6\)、\(6+11>4\) 都成立，偏偏 \(4+6=10\lt 11\)。C 说的两组都含最长的 \(11\)，本来就一定成立，查了也白查。

4. 等腰三角形的两边长分别是 \(6\) cm 和 \(13\) cm，它的周长是多少？

提示

分“腰长 6”“腰长 13”两种情况，每种都检验。

B。腰长 \(6\)：\(6+6=12\lt 13\)，组不成；腰长 \(13\)：\(13,13,6\)，周长 \(32\) cm。A 是只算了腰长 \(6\)；C 是没有检验。

5. 下列说法正确的是哪一个？

提示

每个说法都想一个钝角三角形或一般的三角形试试。

C。A：钝角三角形就不是；B：三角形的角平分线是线段；D：中线 \(AD\) 分出的两部分周长是 \(AB+BD+AD\) 和 \(AC+DC+AD\)，\(BD=DC\)，只有 \(AB=AC\) 时才相等，一般相等的是面积。

挑战

6. 三角形的三边长都是整数，其中两边长为 \(3\) 和 \(8\)，并且周长是偶数。第三边的长有几种可能？

提示 1：先求范围

第三边 \(x\) 满足 \(8-3\lt x\lt 8+3\)，写出所有整数。

提示 2：再看周长

周长是 \(11+x\)，\(x\) 是奇数还是偶数时，它是偶数？

B。\(5\lt x\lt 11\)，整数 \(x=6,7,8,9,10\)；周长 \(11+x\) 是偶数，\(x\) 要是奇数，只有 \(7\)、\(9\)，2 种。D 是忘了周长的条件；C 是取了偶数 \(6,8,10\)，这时周长反而是奇数。

本节中考真题

共 5 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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这组题练习判断三角形能否组成、求第三边范围和等腰三角形周长。选择题选完看解析；填空题对照答案自己检查。

先修回顾 · 小学数学

学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：

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