培玉 · 初中数学← 返回主页

七年级下册 · 第七章 相交线与平行线

7.1 相交线

两条直线一交叉，就出现四个角。哪些角一定相等、哪些角一定凑成 180°？直线外一点到直线，哪条路最近？一条直线再截两条直线，八个角又怎么分？

本节导读　先修：6.3 角 · 本节路线

要用到：角的度量、补角和余角、“同角（等角）的补角相等”（回看 6.3）；两点之间线段最短（回看 6.2）；小学认识过的垂直。

  1. 从路口的两条马路进入：相交得到的四个角里，有什么不变的关系？
  2. 按位置认识邻补角、对顶角，说出“对顶角相等”的道理。
  3. 相交的特例：垂直；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  4. 垂线段最短；点到直线的距离是一个长度。
  5. 一条直线截两条直线：认出同位角、内错角、同旁内角。
  6. 练习与中考真题：每一步写出依据。

两条笔直的马路在路口斜着交叉，路口被分成四块。先点下面的按钮，换几种交叉的斜度，看看“隔着路口面对面”的两块，角的大小有什么关系：

另一个路口，量得其中一块的角是 \(65^\circ\)。和它隔着路口面对面的那一块，角是多少度？

A。面对面的两个角，边正好是互相反向延长的两条线，它们总是一样大，跟马路宽窄无关。选 B 是算了挨着的那一块（\(180^\circ-65^\circ\)）；选 C 是把“互补”记成了“互余”。

这样“面对面”的两个角叫对顶角。这一节要回答：两直线相交得到的角，按位置怎么分类？哪些一定相等、为什么？

1. 先认识几个词：邻补角、对顶角、垂直

前置知识：补角、“同角的补角相等”（回看 6.3）。直线 \(AB\)、\(CD\) 相交于点 \(O\)，四个角编号 \(\angle1\)–\(\angle4\)。点下面几组，看两个角的位置：

直觉微图解 ①两条直线相交：四个角两两成对

定义（用自己的话说）：

核心概念 ②先看位置，再说大小

邻补角、对顶角是按位置起的名字。邻补角一定互补；可互补的两个角不一定是邻补角：一个 \(70^\circ\) 的角画在本子左边、一个 \(110^\circ\) 的角画在右边，它们互补，却没有公共边。

核心概念 ③垂线、垂线段、距离：三样东西

垂线是一条直线；从直线外一点 \(P\) 到垂足 \(O\) 的那一段 \(PO\) 是垂线段（一个图形）；\(PO\) 的长度才叫点 \(P\) 到直线的距离，它是一个数。

2. 核心点：对顶角相等（要说出道理）

量几次都相等还不够，要说出为什么。\(\angle1\) 和 \(\angle2\) 是邻补角，\(\angle3\) 和 \(\angle2\) 也是邻补角，所以 \(\angle1\)、\(\angle3\) 都是同一个角 \(\angle2\) 的补角：

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\angle1=180^\circ-\angle2}_{\text{邻补角互补}}}\)，
\(\color{#966524}{\underbrace{\angle3=180^\circ-\angle2}_{\text{邻补角互补}}}\)
\(\Rightarrow\;\color{#B5452F}{\underbrace{\angle1=\angle3}_{\text{同角的补角相等}}}\)

写成一句话：因为 \(\angle1\) 与 \(\angle2\) 互补，\(\angle3\) 与 \(\angle2\) 互补，所以 \(\angle1=\angle3\)（同角的补角相等）。这就是对顶角相等。

直觉微图解 ②转动一条直线：四个角都在变，“对顶相等、相邻互补”不变

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。基础示范直接可见，卡住时也可按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

直线 \(AB\)、\(CD\) 相交于点 \(O\)，\(\angle BOC\) 比 \(\angle AOC\) 大 \(70^\circ\)。求 \(\angle AOC\)、\(\angle BOD\)、\(\angle AOD\) 的度数。

① 读懂题意：\(\angle AOC\) 和 \(\angle BOC\) 是什么位置关系？知道它们的“和”吗？

提示 1：先认位置

\(\angle AOC\) 和 \(\angle BOC\) 有公共边 \(OC\)，另一边 \(OA\)、\(OB\) 互为反向延长线，是邻补角，和是 \(180^\circ\)。知道和、又知道差，就能求出两个角。

基础示范：跟着走一遍

② 想办法：这两个角共用边 \(OC\)，\(OA\)、\(OB\) 互为反向延长线，所以是邻补角。设 \(\angle AOC=x^\circ\)，则 \(\angle BOC=(x+70)^\circ\)；用“邻补角互补”列方程。另外两个角用“对顶角相等”。
③ 执行：\(x+(x+70)=180\)，\(x=55\)。所以 \(\angle AOC=55^\circ\)，\(\angle BOC=125^\circ\)（邻补角互补）；\(\angle BOD=\angle AOC=55^\circ\)（对顶角相等）；\(\angle AOD=\angle BOC=125^\circ\)（对顶角相等）。
执行中检查：四个角 \(55+125+55+125=360\)（度），正好一周 ✓；\(125-55=70\)，差也对 ✓。

④ 回头看：求角度的每一步后面都写了依据（邻补角互补、对顶角相等），计算题也这样写，下一节推理时就用得上。

自己试试：两条直线相交，按微图解 ① 的编号，\(\angle1+\angle3=136^\circ\)。\(\angle2\) 是多少度？

B。\(\angle1\)、\(\angle3\) 是对顶角，相等，所以 \(\angle1=136^\circ\div2=68^\circ\)；\(\angle2\) 是 \(\angle1\) 的邻补角，\(\angle2=180^\circ-68^\circ=112^\circ\)。选 A 是只算到 \(\angle1\) 就停了；选 C 是把“互补”当成了“互余”：\(90^\circ-68^\circ\)。

3. 核心点：垂线只有一条，垂线段最短

垂直是相交的一种特殊情况。在“动手”的三角尺活动中，分别过直线上和直线外的点作垂线，再换个方向试试。作图能帮助理解下面的基本事实，但试过几次还不能说明所有情况。

\(\underbrace{\text{在同一平面内}}_{\text{前提不能省}}，\text{过一点}\)
\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{有}}_{\text{画得出}}}\;\color{#B5452F}{\underbrace{\text{且只有}}_{\text{没有第二条}}}\)
一条直线与已知直线垂直

这是关于垂线的基本事实。垂直的定义可以正着用、反着用：由 \(\angle AOC=90^\circ\) 得 \(AB\perp CD\)；由 \(AB\perp CD\) 得 \(\angle AOC=90^\circ\)，依据都是“垂直的定义”。

作图时怎样理解“只有一条”？

把三角尺的一条直角边贴着已知直线滑动，让另一条直角边经过给定点，再画垂线。反向描画时，两条线仍然重合，并没有得到第二条垂线。这样能直观体会唯一性，但几次作图不能代替证明。

再看直线外一点 \(P\) 和直线 \(l\)：从 \(P\) 连到 \(l\) 上各点，能连出无数条线段，其中只有一条与 \(l\) 垂直，它最短。

直觉微图解 ③点 \(Q\) 在直线上滑动：\(Q\) 越靠近垂足 \(O\)，\(PQ\) 越短

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。

例 2（示范：挖一条最短的水渠）

果园 \(P\) 要从笔直的河岸 \(l\) 引水，在河岸上选一处修抽水站。量得 \(P\) 到岸边三处 \(A\)、\(B\)、\(O\) 的长分别是 \(PA=340\) m、\(PB=275\) m、\(PO=230\) m，并且 \(PO\perp l\)。抽水站修在哪里水渠最短？果园到河岸的距离是多少？

提示：先找哪条线段和直线垂直

“点到直线、哪条最短”：先找垂线段。题目告诉你 \(PO\perp l\)。

基础示范：跟着走一遍

想办法：\(PO\perp l\)，所以 \(PO\) 是垂线段；用“垂线段最短”下结论。
执行：修在 \(O\) 处，水渠最短（垂线段最短）。果园到河岸的距离是 \(PO\) 的长度 \(230\) m。
检查：\(230\lt 275\lt 340\)，和测量对得上。其实不量 \(PA\)、\(PB\) 也能断定它们都比 \(230\) m 长。

回头看：距离要说成“\(230\) m”或“\(PO\) 的长度”，不说“\(PO\) 是距离”。

自己试试：接例 2，下面哪种说法是对的？

C。距离是一个数（长度）。线段 \(PO\) 是垂线段，直线 \(PO\) 是垂线，都不是距离。D 违背基本事实：在同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直。

4. 核心点：一条直线截两条直线，八个角怎么分

直线 \(a\)、\(b\) 被第三条直线 \(c\)（截线）所截，两个交点处一共八个角。不在同一个顶点的两个角，按位置分三类：

直觉微图解 ④先认准截线 \(c\)，再看“哪一旁”“哪一侧”

这三个名字只说位置，不说大小。上图里 \(a\)、\(b\) 不平行，同位角 \(\angle1\) 和 \(\angle5\) 并不相等。

例 3（示范：先找截线）

在微图解 ④ 的图中，\(\angle2\) 和 \(\angle8\) 是不是同位角？\(\angle4\) 的内错角是哪个角？

提示：两个“同”都要满足

同位角要同时满足：在截线的同一旁、在被截直线的同一侧。先说 \(\angle2\) 在 \(c\) 的哪一旁、在 \(a\) 的哪一侧，再说 \(\angle8\)。

基础示范：跟着走一遍

读图：\(\angle2\) 在 \(c\) 的左边、\(a\) 的上方；\(\angle8\) 在 \(c\) 的右边、\(b\) 的下方。
判断：两个“同”一个也不满足，所以 \(\angle2\) 和 \(\angle8\) 不是同位角。\(\angle4\) 在 \(a\) 下方、\(c\) 右边，它的内错角要夹在 \(a\)、\(b\) 之间、在 \(c\) 左边，是 \(\angle6\)。
检查：\(\angle4\)、\(\angle6\) 都在 \(a\)、\(b\) 之间 ✓，分在 \(c\) 两旁 ✓。

回头看：记“F 形、Z 形、U 形”可以帮忙，但图一倾斜就容易看错，最后要用定义里的两句话核对。

自己试试：在微图解 ④ 的图中，\(\angle3\) 和 \(\angle6\) 是什么关系？

C。\(\angle3\) 在 \(a\) 下方、\(\angle6\) 在 \(b\) 上方，都夹在 \(a\)、\(b\) 之间；两个都在截线 \(c\) 的左边，在同一旁。所以是同旁内角。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）相等就说是对顶角，互补就说是邻补角
❌ 典型错解：“\(\angle1=\angle2\)，所以它们是对顶角。”
✅ 看图秒懂：射线 \(OC\) 平分 \(\angle AOB\)，分出的 \(\angle1=\angle2\)，可它们挨在一起、共用边 \(OC\)，边不是反向延长线，不是对顶角。定义看的是位置。
翻车现场 ②把垂线段、垂线当成距离
❌ 典型错解：“画出点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离”“垂线段 \(PO\) 就是距离”。
✅ 一眼看清：能画的是垂线段 \(PO\)；距离是 \(PO\) 的长度，只能量、只能说“\(PO=3\) cm”。
翻车现场 ③以为同位角一定相等
❌ 典型错解：“\(\angle1\) 和 \(\angle5\) 是同位角，\(\angle1=62^\circ\)，所以 \(\angle5=62^\circ\)。”
✅ 一眼看清：同位角只说位置。把直线 \(b\) 转一转，\(\angle5\) 就变了，\(\angle1\) 不变（“动手”③ 试试）。什么时候它们才相等，是下一节平行线要讲的。

① 转一转：对顶角相等、邻补角互补

拖动圆点（或点一下圆点再按方向键 ↑ ↓）让直线 \(CD\) 绕 \(O\) 转，看四个角怎么变、谁始终相等。

② 量一量：哪条线段最短

点 \(P\) 到直线 \(l\) 的垂线段是 \(PO\)，长 \(4\) cm。拖动直线上的点 \(Q\)（或按方向键 ← →），看 \(PQ\) 的长度。

③ 自己作垂线，再量距离

用在线三角尺完成三次作图：先让蓝色直角边贴合直线 l，平移三角尺，使另一条直角边经过指定点 P，再沿这条边画直线。

拖圆心平移，拖空心圆转动；也可用下面滑块（方向键微调，Home / End 到端点）。横纵是画板刻度；转角自向右方向顺时针计。

先摆好三角尺，再画线核对。

纸笔再做一遍：三角尺与量角器步骤
  1. 纸上画直线 l，先在线上标 P，再另画一图在线外标 P。三角尺一条直角边贴 l，沿 l 滑动到另一条直角边过 P；沿该边画线，并向两侧延长。检查“过 P”与“成直角”，在线外图中标垂足 O。
  2. 也可用量角器：线上图以 P 为中心、零刻度线对齐 l，标出 90° 方向后连线；线外图先在 l 上选 H，中心放 H、零刻度线对齐 l，标出 90° 方向。若该方向不过 P，换 H 重做，直到过 P。
  3. 再画一幅短线段 AB 表示直线 l，让垂足落在 AB 外；先用直尺延长 AB，再照上面作图。尝试另一方向、反向描画，写明是否满足两个条件。
  4. 让直尺 0 刻度对齐 P 或 O，沿 PO 读另一端刻度，写“PO 的长度约为……cm”。作图、读数和解释交老师核对；网页不检查纸笔作品。

④ 进阶：转动 b，三类角只说位置

直线 \(a\) 和截线 \(c\) 不动。拖动直线 \(b\) 上的圆点（或按方向键 ↑ ↓）转动 \(b\)，选一类角，看两个角的大小。

从易到难排好了。每一步都想一想依据是什么。

直接用

1. 直线 \(AB\)、\(CD\) 相交于点 \(O\)，\(\angle AOC=43^\circ\)。\(\angle BOD\) 和 \(\angle BOC\) 分别是多少度？

A。\(\angle BOD\) 与 \(\angle AOC\) 是对顶角，相等，为 \(43^\circ\)；\(\angle BOC\) 与 \(\angle AOC\) 有公共边 \(OC\)，另一边互为反向延长线，是邻补角，\(\angle BOC=180^\circ-43^\circ=137^\circ\)。D 是把“互补”错成了“互余”。

2. 直线 \(AB\)、\(CD\) 相交于点 \(O\)，射线 \(OE\perp AB\)，射线 \(OD\) 在 \(\angle EOB\) 的内部，\(\angle EOD=34^\circ\)。\(\angle AOC\) 是多少度？

B。因为 \(OE\perp AB\)，所以 \(\angle EOB=90^\circ\)（垂直的定义）；\(\angle BOD=90^\circ-34^\circ=56^\circ\)；\(\angle AOC=\angle BOD=56^\circ\)（对顶角相等）。

易错

3. 点 \(P\) 在直线 \(l\) 外，\(A\)、\(B\)、\(C\) 是 \(l\) 上三点，\(PB\perp l\)，\(PA=6\) cm，\(PB=4.5\) cm，\(PC=5\) cm。点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离是什么？

提示

距离是哪一条线段的长度？那条线段要满足什么条件？

B。\(PB\) 是垂线段，点到直线的距离是垂线段的长度 \(4.5\) cm。A 把图形当成了数；\(PA\)、\(PC\) 不是垂线段，它们的长度不是距离。

4. 下面的说法，正确的是哪一个？

提示

每个说法都想一个反例：能不能画出满足前半句、却不满足后半句的图？

C。A、B、D 只看了大小或一个条件，没看位置：角平分线分出的两个角相等但不是对顶角；两个互补的角可以离得很远；有公共顶点的两个角也可以挨在一起。

固定参考图：与微图④的编号相同。先认截线 \(c\)，再按两旁、两侧的位置找角；\(a\)、\(b\) 不平行。

5. 在微图解 ④ 的图中（直线 \(a\)、\(b\) 被直线 \(c\) 所截），\(\angle2\) 的同位角是哪个角？

提示

\(\angle2\) 在 \(c\) 的哪一旁、\(a\) 的哪一侧？到 \(b\) 那个交点去找同一旁、同一侧的角。

A。\(\angle2\) 在 \(c\) 左边、\(a\) 上方；在 \(b\) 那个交点，\(c\) 左边、\(b\) 上方的是 \(\angle6\)。\(\angle8\) 两个“同”都不满足；\(\angle5\) 在 \(c\) 右边；\(\angle4\) 是 \(\angle2\) 的对顶角。

挑战

6. 两条直线相交，按微图解 ① 的编号（\(\angle1\)、\(\angle3\) 是对顶角，\(\angle2\) 是 \(\angle1\) 的邻补角），已知 \(\angle1+\angle3=\tfrac12\angle2\)。\(\angle2\) 是多少度？

提示 1：设一个未知数

设 \(\angle1=x^\circ\)，\(\angle3\) 和 \(\angle2\) 都用 \(x\) 表示，各自写出依据。

提示 2：列方程

\(x+x=\tfrac12(180-x)\)。

D。设 \(\angle1=x^\circ\)，则 \(\angle3=x^\circ\)（对顶角相等），\(\angle2=(180-x)^\circ\)（邻补角互补）。\(2x=\tfrac12(180-x)\)，\(4x=180-x\)，\(x=36\)，所以 \(\angle2=144^\circ\)。检查：\(36+36=72\)，正好是 \(144\) 的一半 ✓。A 是 \(\angle1\)；B 是 \(\angle1+\angle3\)。

本节中考真题

共 6 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

开始做本节真题

本节精选

正在加载精选题…

这组题练习相交线。选完看解析，对一对求角和说理的过程。

不确定前面哪里没跟上？做一次摸底 →