七年级下册 · 第七章相交线与平行线

7.3 定义、命题、定理

一句数学的话，怎么知道它对不对？先拆成“如果……那么……”；想说明它对，要步步有据地证明；想说明它错，只要举出一个反例。

本节导读　先修：7.1、7.2 · 本节路线

要用到：对顶角、垂直（回看 7.1）；平行线的判定与性质（回看 7.2）；有理数的乘方、绝对值（七上）。

从“一个数的平方一定比它大”进入：举几个例子够不够？
定义、命题：什么话能判断真假。
把命题改写成“如果……那么……”，分出题设和结论。
真命题、假命题；反例怎么举。
基本事实、定理、证明：每一步都要有根据。
练习：找题设、举反例、给证明填依据。

小林说：“一个数的平方，一定比这个数大。”他举例：$3^2=9$，$5^2=25$，都比原来的数大。点下面的按钮换几个数，比一比两根条的长短：

小林这句话对吗？

B。$0.5$ 是一个数，它的平方 $0.25$ 比它小。一个这样的例子就足以说明这句话错了；反过来，例子举得再多（A、C），也保证不了它对。

像“一个数的平方比它大”这样能判断对错的话，叫命题；$0.5$ 这样的例子叫反例。这一节就讲这些词，以及怎样说明一个命题是对的。

1. 先认识几个词：定义、命题、题设与结论

前置知识：对顶角、垂直（回看 7.1），平行线的判定与性质（回看 7.2）。点一点，看一句话怎样拆成两半：

直觉微图解 ①“如果”后面是题设，“那么”后面是结论

定义：把一个数学对象清楚、明确地说出来。比如“两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直”。定义可以直接拿来作判断。
命题：可以判断正确或错误的陈述句。问句（“两点之间线段最短吗？”）和让人做事的句子（“延长线段 $AB$”）不是命题。
数学命题常能写成“如果……那么……”：“如果”后面是题设（已知的事），“那么”后面是结论（由已知推出的事）。
真命题：题设成立时，结论一定成立，没有例外。假命题：题设成立时，不能保证结论成立。

核心概念 ②假命题也是命题

命题不等于“正确的话”。“$0$ 是最小的有理数”能判断——它是错的（$-1\lt 0$），所以它是一个假命题，仍然是命题。

核心概念 ③基本事实 vs 定理

基本事实是公认、不加证明、当推理起点的真命题，如“两点确定一条直线”。定理是经过推理证实的真命题，如“对顶角相等”。两者都能当后面推理的依据。

2. 核心点：改写成“如果……那么……”

如果 $\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{两个角是对顶角}}_{\text{题设：说的是谁}}}$，那么 $\color{#966524}{\underbrace{\text{这两个角相等}}_{\text{结论：它们怎样}}}$

先找这句话“在说谁”，连同条件放进题设；再把“它们怎样”放进结论。改完读一遍，意思不能变。

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论。

① 读懂题意：句子很短，题设藏在主语里。这句话说的是哪两个角？

提示 1：说的是谁

说的是“同一个角的两个余角”，也就是两个角都是同一个角的余角。

看完整示范

② 想办法：对象和条件放“如果”后，性质放“那么”后。

③ 执行：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。题设：两个角是同一个角的余角；结论：这两个角相等。

执行中检查：读一遍，和原句意思一样 ✓。题设不能只写“余角”两个字——要写清“谁是谁的余角”。

④ 回头看：找不出题设时，先问“这句话在说谁”。有的命题要多读几遍才分得清，这一节不要求一下子全掌握，以后会反复练。

自己试试：命题“两直线平行，内错角相等”的题设是什么？

A。改写：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。B 是结论；C 只摘了一个词，不完整。

有的命题题设藏得深。比如“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，改写成：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。“在同一平面内”也是题设的一部分，丢了它，命题就不成立了。

3. 核心点：真假怎么判断——反例与证明

$\color{#B5452F}{\underbrace{\text{反例}}_{\text{说明命题为假}}}\;=\;\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{满足题设}}_{\text{条件都对上}}}\;+\;\color{#966524}{\underbrace{\text{不满足结论}}_{\text{结论被打破}}}$

一个反例就能说明命题是假的；正例再多也说明不了它是真的，真要靠证明。

直觉微图解 ②检验命题“若 $a\gt b$，则 $a^2\gt b^2$”：哪组是反例？

例 2（示范：举反例）

判断命题“相等的角是对顶角”是真是假。如果是假的，举一个反例。

提示：先改写

如果两个角相等，那么它们是对顶角。题设只要求“相等”，没管位置。能不能找两个相等、但位置不是对顶角的角？

看完整示范

想办法：找一个“满足题设、打破结论”的例子：两个角相等，却不是对顶角。

执行：长方形相邻的两个角都是 $90^\circ$，相等（题设成立）；它们的顶点都不同，更谈不上对顶（结论不成立）。所以这是一个反例，命题是假命题。

检查：反例必须先满足题设：随便画两个不相等的角，不算反例。

回头看：它的“反方向”——对顶角相等——是真命题。一句话对，把题设和结论换过来不一定还对。

自己试试：要说明命题“若 $\lvert a\rvert=\lvert b\rvert$，则 $a=b$”是假命题，可以举哪一组反例？

C。$\lvert4\rvert=\lvert-4\rvert=4$，题设成立；但 $4\ne-4$，结论不成立。A 的结论成立，是正例；B 的题设就不成立（$4\ne5$），不能当反例。

4. 核心点：定理和证明——每一步都要有根据

证明是用推理判断命题正确的过程。每一步的根据只能是：已知条件、定义、基本事实、定理（以及等式的性质）。看图、量角只能帮你猜，不能当根据。可以用文字或 ∵、∴ 表述推理，在关键步骤后注明依据；例 3 示范了“已知、求证、证明”三段的完整写法。

直觉微图解 ③一步一步走：每一步用了哪两个角、什么依据

例 3（示范：看一个完整的证明）

已知：如微图解 ③，$AB\parallel CD$，$AD\parallel BC$。
求证：$\angle A=\angle C$。

提示：找一个“中间人”

$\angle A$、$\angle C$ 隔得远。有没有一个角，和它们两个都有关系？试试 $\angle D$。

看完整示范

证明：∵ $AB\parallel CD$，
∴ $\angle A+\angle D=180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $AD\parallel BC$，
∴ $\angle C+\angle D=180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $\angle A=\angle C$（同角的补角相等）。

检查：第一步：$\angle A$、$\angle D$ 是 $AB$、$CD$ 被 $AD$ 所截的同旁内角；第二步：$\angle D$、$\angle C$ 是 $AD$、$BC$ 被 $CD$ 所截的同旁内角。每一行都说得出凭什么 ✓。

回头看：“已知”那一步可以不标依据。这一节你不用独立写完整证明，会填依据、补关键一步就行。

自己试试：下面哪一个是定理（经过推理证实的），而不是基本事实？

C。“对顶角相等”是 7.1 里由“同角的补角相等”推出来的，是定理。A、B、D 都是基本事实：不证明，直接当推理的起点。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①题设只摘一个词

❌ 典型错解：“‘两直线平行，同位角相等’的题设是‘同位角’。”

✅ 一眼看清：先改写：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等。题设是“两条平行直线被第三条直线所截”。

翻车现场 ②（最高频！）举几个例子都对，就说是真命题

❌ 典型错解：“若 $a\gt b$，则 $a^2\gt b^2$。试了 $3$ 和 $2$、$6$ 和 $1$ 都对，所以是真命题。”

✅ 看图秒懂：$a=1$，$b=-4$ 时 $1\gt-4$，可 $1^2=1$，$(-4)^2=16$，$1\lt16$。一个反例，命题就是假的。

翻车现场 ③把“看图、量出来”写进证明

❌ 典型错解：“图上 $a$、$b$ 看着平行，所以 $a\parallel b$”“量得 $\angle1=52^\circ$，$\angle2=52^\circ$，所以 $\angle1=\angle2$”。

✅ 一眼看清：看和量能帮你猜，但眼睛会骗人，量角器也有误差。写进证明的每一步，都要有已知、定义、基本事实或定理撑腰。

再深一点（可以先跳过）：如果每一条依据都还要再证明呢？

证明时要说明依据。如果每条依据又必须从别的结论证明，能一直追下去吗？你觉得推理应从哪里开始？

想好后看解释

为什么一定要有基本事实？证明要找依据，依据又要有依据……这样追下去没有尽头。所以先挑出几条公认的事实当起点，其余的定理都从它们一步步推出来。

① 拖出反例：转动直线 b

直线 $a$、截线 $c$ 固定。拖动 $b$ 上的圆点（或按方向键 ↑ ↓）转动 $b$，选一个命题，试着为它找反例。

② 进阶：在数轴上找数的反例

拖动数轴上的 $a$、$b$（或点圆点后按方向键 ← →，每次 $0.5$），选一个命题，看这组数是反例、正例，还是根本不满足题设。

从易到难排好了。

直接用

1. 下面哪一句是命题？

C。它是陈述句，能判断真假——是假的（$-1\lt0$），是假命题，但仍然是命题。A、D 是让人去做事，B 是问句，都没法说真还是假。

2. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设是什么？

A。改写：如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。B 是结论；C 只摘了一个词。

易错

3. “同位角相等”是不是命题？

提示

命题的要求是“能判断真假”，不是“正确”。这句话能判断吗？

B。能判断真假就是命题，错的也算。两直线不平行时，同位角就不相等（在“动手”① 里转一转直线 $b$ 就能看到），所以它是假命题。

4. 要说明命题“如果 $a$ 是有理数，那么 $\lvert a\rvert\gt0$”是假命题，可以举的反例是哪一个？

提示

反例要同时做到：$a$ 是有理数；$\lvert a\rvert\gt0$ 不成立。

B。$0$ 是有理数（满足题设），$\lvert0\rvert=0$，不大于 $0$（打破结论）。A、C 的绝对值都是 $2$，大于 $0$，结论成立，不是反例——很多同学以为负数就是反例，错在没检查结论到底破没破。

5. 小华说：“两个负数的差一定是负数。”能说明这是假命题的反例是哪一个？

提示

每个选项先看两个数是不是都是负数（题设），再算差是不是负数（结论）。

B。$-2$、$-5$ 都是负数（题设成立），$(-2)-(-5)=3$，是正数（结论不成立）。A 得 $-3$、C 得 $-5$，结论成立，是正例；D 中 $3$ 不是负数，题设不成立。

挑战

6. 在形状和微图解 ③ 一样的四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB\parallel CD$，$\angle B=\angle D$，求证 $AD\parallel BC$。补全最后一步的依据：

证明：∵ $AB\parallel CD$，∴ $\angle B+\angle C=180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $\angle B=\angle D$，∴ $\angle D+\angle C=180^\circ$（等量代换）。
∴ $AD\parallel BC$（　？　）。

提示 1：最后一步推出的是什么

推出的是两条线平行。由角推线，用的是判定还是性质？

提示 2：哪一类角

$\angle D$、$\angle C$ 是直线 $AD$、$BC$ 被直线 $CD$ 所截的哪一类角？

A。$\angle D$、$\angle C$ 是直线 $AD$、$BC$ 被直线 $CD$ 所截的同旁内角，它们互补，推出 $AD\parallel BC$——由角推线，用判定。B 方向反了；C 是推出两个角相等用的，这里要推的是平行。