培玉 · 小学数学← 本单元五年级下册 · 第二单元 因数与倍数 · 第 4 课
质数和合数
有的数只能拼成一种长方形，有的数能拼成好几种。按因数的个数，数能分成哪几类？100 以内的质数怎么找？
本单元按旧版教材编排。
还记得一对一对找因数吗？先比较 8 块和 11 块：都能摆成 1 行，谁还能摆成别的长方形？先想，再看另一种摆法。
用方块拼没有空位的长方形（正方形也算）：7 块和 9 块，哪个能拼出的样子更少？
A。7 只能拼 1 × 7；9 能拼 1 × 9 和 3 × 3。因数个数不同，数就分成了质数和合数。
1. 先查因数，再分类
从 1 开始调数，观察因数个数。先说属于哪一类，再点“核对分类”。特别比较 1、2、8、11、15。
2. 一步一步划去倍数
点“下一步”，依次划去 2、3、5、7 的倍数（它们自己留下）。也可以点任何一个数，看它有几个因数。
下面哪个数是质数？
B。29 只有 1 和 29 两个因数，是质数。
1 是质数吗？
B。1 只有 1 个因数，既不是质数，也不是合数。
先数因数，再给不同的数命名
- 在实验台依次查 1、2、8、11、15：把每个数的因数写下，数一数，试着按个数分组。
- 2 的因数是 1、2，11 的是 1、11，都是两个；8 的是 1、2、4、8，15 的是 1、3、5、15，都多于两个。
- 只有 1 和它本身两个因数的，叫质数；除了 1 和它本身还有别的因数的，叫合数。1 只有一个因数，要单独留一类。
- 筛数时留下 2、3、5、7 本身，划去它们更大的倍数，因为这些数都找到了别的因数。筛数只帮助整理，判断的依据仍是因数的个数。
2 的因数只有 1 和 2；大于 2 的偶数都有 1、2 和它本身这些因数，所以是合数。
9 = 3 × 3、15 = 3 × 5，奇数也可能是合数。
51 的各位和是 6，是 3 的倍数，所以 51 是合数。
1 只有一个因数，既不是质数也不是合数。
判断 2、25、31，哪些是质数？
先自己想。需要帮助时，按顺序展开一小步。
1. 读懂题意
读懂题意：质数、合数看因数个数，不能只看奇偶。先分别找因数。
2. 列式与理由
2 只有 1、2，是质数；25 = 5 × 5，有 1、5、25 三个因数，是合数。31 试过 1、2、3、4、5，没有其他成对的因数。
3. 检查与易错点
31 若有一对都大于 5，相乘至少为 6 × 6 = 36，已经超过 31。所以只需检查到 5，因数只有 1、31，是质数。
自己试试：14 和 17 各属哪一类？先列因数再核对。
14 的因数有 1、2、7、14，是合数；17 的因数只有 1、17，是质数。
动手算一算（7 题）
1. 20 以内（含 20）的质数一共有几个？
8 个：2、3、5、7、11、13、17、19。
2. 100 以内最大的质数是几？
97。99 = 9 × 11，98 是偶数，所以 97 最大。
3. 20 以内（含 20）的合数一共有几个？
11 个：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。20 个数里，1 不算，质数 8 个，合数 20 − 1 − 8 = 11（个）。
4. 50 到 60 之间（不含 50 和 60）有几个质数？
2 个：53 和 59。51 = 3 × 17，55 = 5 × 11，57 = 3 × 19，其他都是偶数。
5. 下面哪句话是对的？
B。2 的因数只有 1 和 2，是质数；它是偶数里唯一的质数。
6. 两个质数的和是 20，其中较小的那个最小是几？
3。3 + 17 = 20。2 + 18、5 + 15 里 18、15 都不是质数。
7. 两个质数的和是 13，其中较小的是几？
2。2 + 11 = 13，11 是质数。3 + 10、5 + 8 里 10、8 都不是质数。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 8.1 平方根分解质因数与寻找成对约数的方法，是判断一个正整数是否为完全平方数以及化简算术平方根的底层工具。
- 初中 · 17.1 用提公因式法分解因式求多项式各项系数的最大公因数，直接依赖小学五年级公因数与最大公因数的短除与分解方法。