8.1 平方根

用边长 \(1\) dm 的方砖拼正方形地垫。点下面几种面积，看能不能拼成、边长是多少：

1. 先认识几个词：平方根与算术平方根

前置知识：正数、负数的平方都是正数，\(0\) 的平方是 \(0\)（回看 2.3）。点下面几个 \(a\)，在数轴上找出所有“平方等于 \(a\)”的数：

定义：如果 \(x^2=a\)，那么 \(x\) 叫作 \(a\) 的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算叫开平方，它和平方互为逆运算，就像减法和加法、除法和乘法。

记号：正数 \(a\) 的正的平方根记作 \(\sqrt{a}\)，读“根号 \(a\)”，\(a\) 叫被开方数；负的平方根记作 \(-\sqrt{a}\)；合起来写 \(\pm\sqrt{a}\)，读“正、负根号 \(a\)”。正数 \(a\) 的正的平方根 \(\sqrt{a}\) 又叫 \(a\) 的算术平方根；规定 \(0\) 的算术平方根是 \(0\)，即 \(\sqrt{0}=0\)。

2. 核心点：求平方根，先问“谁的平方是它”

以前的加、减、乘、除、乘方，答案总是一个。开平方第一次出现“答案有两个”“没有答案”的情况，所以要按 \(a\) 的正负分三种：

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

\(x^2=36\) 就是问“谁的平方是 \(36\)”，所以 \(x=\pm 6\)，两个都要写。\((x-1)^2=12.25\) 把 \(x-1\) 看成一个整体：\(x-1=\pm 3.5\)，得 \(x=4.5\) 或 \(x=-2.5\)。

3. 核心点：算术平方根 \(\sqrt{a}\)，只要非负的那一个

同一个 \(12.25\)，“\(12.25\) 的平方根”“\(\sqrt{12.25}\)”“\(-\sqrt{12.25}\)”说的是不同的东西。点一点，看各指数轴上的哪个点：

先开方再平方：\((\sqrt{7})^2=7\)。先平方再开方：\(\sqrt{3^2}=\sqrt{(-3)^2}=3\)，根号的值总非负，不能把两种顺序混为一谈。

4. 核心点：\(\sqrt{2}\) 有多大？一位一位夹出来

两个面积为 \(1\) 的正方形各沿一条对角线剪开，四块拼成一个大正方形，面积是 \(2\)。它的边长 \(x\) 满足 \(x^2=2\)；边长取正值，\(x=\sqrt{2}\)，也就是小正方形对角线的长。它是多少？

靠一条规律：被开方数越大，算术平方根越大。所以把 \(2\) 夹在两个平方数之间，\(\sqrt{2}\) 就夹在它们的算术平方根之间：

一直夹下去，得到 \(\sqrt{2}=1.41421356\cdots\)，小数部分无限延伸，而且不会从某一位起由固定的一段数字依次不断重复（是无限不循环小数）。\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\) 等也是这样。这样的数只能写成 \(\sqrt{2}\)，或者按要求取近似值。

用计算器：按开平方键能直接得到 \(\sqrt{a}\)；对开不尽的数，屏幕上显示的只是近似值，要按题目要求取位数。多算几个，还能发现一条规律：

被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，算术平方根的小数点就向同一方向移动一位。

5. 用之前必查：三大翻车现场

先做记录：计算器的 √ 键算出了什么？

先填空表，再归纳：哪些数有平方根？

写两行：因为平方得到原数，所以找到了哪些根？

① 拖面积，看边长

拖动正方形右上角的圆点（或点一下圆点再用方向键，每次面积 ±1）。看面积 \(a\) 变了，边长 \(\sqrt{a}\) 怎么变、夹在哪两个整数之间。

② 平方把 \(x\) 和 \(-x\) 送到同一点

上面一条数轴表示 \(x\)，下面一条表示 \(x^2\)。拖动上面数轴的圆点 \(x\)（或用方向键，每次 ±0.5），两条线都落到下面数轴的 \(x^2\) 上：一个正数由两个数平方得到，所以它有两个平方根。

③ 进阶：夹逼放大镜

先选一个数 \(a\)。拖动圆点 \(t\)（或用方向键）试一试：\(t^2\) 比 \(a\) 小，\(\sqrt{a}\) 就在 \(t\) 右边；比 \(a\) 大，就在左边。找到夹住 \(\sqrt{a}\) 的那一格后，点“放大一位”。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

易错

挑战

这组题练习平方根、算术平方根和估算。选择题选完看解析；填空题对照答案自己检查。