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八年级上册 · 第十七章 因式分解

17.1 用提公因式法分解因式

上一章把几个整式乘起来，得到一个多项式。现在倒过来：给一个多项式，能不能把它写成几个整式的积？最常用的第一招，是把各项都有的“公共部分”提出来。

本节导读　先修：16.2 整式的乘法 · 本节路线

要用到：单项式乘多项式（回看 16.2）、乘法公式（回看 16.3）；乘法分配律（回看 2.2）；去括号、合并同类项（回看 4.2）；小学的最大公因数。

  1. 从三块花圃拼成一块进入：几个积的和，变成一个积。
  2. 认识因式分解：它和整式乘法方向相反，所以总能乘回去检验。
  3. 找公因式：系数取最大公因数，字母取各项都有的、次数取最低。
  4. 提出公因式后写另一个因式：项数不变，剩 1 别漏，提负号各项变号。
  5. 多项式也能当公因式：(b − a)² 与 (a − b)² 相等，奇次方差一个负号。
  6. 练习与中考真题，回看三大翻车现场。

学校有三块并排的花圃，宽都是 \(7\) 米，长分别是 \(13\) 米、\(22\) 米、\(15\) 米。先点下面的按钮，看看三块花圃怎样变成一块：

三块花圃的总面积是多少平方米？

A。三块的宽都是 \(7\)，拼起来是宽 \(7\)、长 \(13+22+15=50\) 的一块，面积 \(7\times 50=350\)。选 B 是把所有数加了起来；选 C 是只给第一块乘了 \(7\)：\(7\times13+22+15=128\)。

\(7\times13+7\times22+7\times15=7\times(13+22+15)\)：左边是三个积的和，右边是一个积。换成字母，\(mx+my+mz=m(x+y+z)\)。这一节要回答：什么样的多项式能这样写成积？公共的部分怎么找、怎么提？

1. 先认识几个词：因式分解，就是把乘法倒过来

前置知识：单项式乘多项式、乘法公式（回看 16.2、16.3）。上一章从“积”算出“多项式”；这一章反过来走。点下面几组看看：

直觉微图解 ①同一个等式，往下读是乘法，往上读是因式分解

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式分解因式。它和整式乘法是方向相反的变形，等号两边恒等，所以分解完总能乘回去检验。

核心概念 ②是不是因式分解，只看两处

左边是不是多项式；右边整体是不是整式的积。\(x^2-3x+2=x(x-3)+2\) 右边最后一步是“加”，不是积；\(2a(a+3)=2a^2+6a\) 方向反了，是乘法。

核心概念 ③公因式

多项式各项都含有的公共因式叫公因式。\(ma+mb+mc\) 的公因式是 \(m\)。把它提到括号外，写成 \(m(a+b+c)\)，这种方法叫提公因式法，依据是乘法分配律倒过来用。

自己试试：下面从左到右的变形，哪一个是因式分解？

C。左边是多项式，右边是 \(2m\) 与 \(2m-1\) 的积；乘回去 \(2m\cdot 2m-2m\cdot1=4m^2-2m\) ✓。A 右边最后是“\(+1\)”，整体是和；B 是整式乘法，方向反了。

2. 核心点：公因式怎么找？

系数和字母分开看：系数取各项系数（整数）的最大公因数；字母取各项都有的字母，每个字母的次数取各项里最低的。

\(6a^4b^3-9a^2b^5+15a^3b^2c=\color{#B5452F}{\underbrace{3}_{\text{最大公因数}}}\,\color{#2F7A56}{\underbrace{a^2}_{\text{最低 2 次}}}\,\color{#966524}{\underbrace{b^2}_{\text{最低 2 次}}}\,(2a^2b-3b^3+5ac)\)

\(c\) 只在第三项里有，不是公因式。

直觉微图解 ②列个表：系数找最大公因数，每个字母找最低次

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

把 \(12x^3y^2-18x^2y^3+6x^2y\) 分解因式。

① 读懂题意：三项，每项都是单项式。要写成积，先找什么？

提示 1：分开找

系数 \(12,18,6\) 的最大公因数是几？\(x\) 的次数是 \(3,2,2\)，\(y\) 的次数是 \(2,3,1\)，各取多少？

看完整示范
② 想办法：系数最大公因数 \(6\)；\(x\) 最低 \(2\) 次，\(y\) 最低 \(1\) 次。公因式是 \(6x^2y\)。
③ 执行：每项写成“\(6x^2y\) 乘什么”：\(12x^3y^2=6x^2y\cdot 2xy\)，\(-18x^2y^3=6x^2y\cdot(-3y^2)\)，\(6x^2y=6x^2y\cdot 1\)。所以原式 \(=6x^2y(2xy-3y^2+1)\)。
执行中检查：括号里 \(2xy,\,-3y^2,\,1\) 三项，和原式项数一样；它们已经没有公共的数和字母，说明提尽了。

④ 回头看：乘回去：\(6x^2y\cdot2xy-6x^2y\cdot3y^2+6x^2y\cdot1=12x^3y^2-18x^2y^3+6x^2y\) ✓。最后一项恰好等于公因式，括号里留的是 \(1\)。

自己试试：\(15m^2n-10mn^3\) 的公因式是什么？

A。\(15\) 和 \(10\) 的最大公因数是 \(5\)；\(m\) 的次数 \(2,1\) 取 \(1\)，\(n\) 的次数 \(1,3\) 取 \(1\)。B、D 取了最高次，第一项里没有 \(n^3\)；C 的 \(10\) 不是 \(15\) 的因数。

3. 核心点：提出公因式后，括号里写什么？

括号里是“每一项去掉公因式后剩下的部分”，所以项数和原式一样。某一项正好等于公因式时剩 \(1\)；第一项是负的，常把“\(-\)”连同公因式一起提出，这时括号里每一项都要变号。

直觉微图解 ③逐项拆开：每一项 = 公因式 × 剩下的

例 2（示范：首项是负的）

把 \(-6x^3+9x^2-3x\) 分解因式。

① 读懂题意：第一项系数是负的。把负号也提出来，括号里的首项就是正的。

提示：提什么

公因式取 \(-3x\)。每项除以 \(-3x\)，注意第二项、第三项的符号也会变。

看完整示范
③ 执行：\(-6x^3=(-3x)\cdot 2x^2\)，\(9x^2=(-3x)\cdot(-3x)\)，\(-3x=(-3x)\cdot 1\)。原式 \(=-3x(2x^2-3x+1)\)。
执行中检查：原式三项的符号是“− + −”，括号里是“+ − +”：每一项都变了号 ✓。

④ 回头看：乘回去：\(-3x\cdot2x^2+(-3x)(-3x)+(-3x)\cdot1=-6x^3+9x^2-3x\) ✓。这和去括号、添括号是同一个道理。

自己试试：把 \(-4a^2b+8ab^2-4ab\) 分解因式，结果是哪一个？

A。公因式 \(-4ab\)：\(-4a^2b\div(-4ab)=a\)，\(8ab^2\div(-4ab)=-2b\)，\(-4ab\div(-4ab)=1\)。B 是只给第一项变了号（后两项照抄）；C 漏了最后一项剩下的 \(1\)，乘回去只有两项。

4. 核心点：多项式也能当公因式

\(a(x+y)+b(x+y)\) 的两项都含有 \(x+y\)，把它当成一个整体提出来：\(=(x+y)(a+b)\)。有时公因式“藏”在相反数里：\(a-b\) 和 \(b-a\) 互为相反数，先把它们变成一样的。

\((b-a)^2=\color{#2F7A56}{\underbrace{(a-b)^2}_{\text{偶次方：相等}}},\qquad (b-a)^3=\color{#B5452F}{\underbrace{-(a-b)^3}_{\text{奇次方：差个负号}}}\)

直觉微图解 ④取 \(a=5,\ b=2\)：\(a-b=3\)，\(b-a=-3\)，看它们的几次方

例 3（示范：先造出公因式）

把 \(3m(x-y)-2n(y-x)\) 分解因式。

① 读懂题意：两项里分别有 \(x-y\) 和 \(y-x\)，看着不一样。

提示：先把 \(y-x\) 改写

\(y-x=-(x-y)\)，那么 \(-2n(y-x)\) 等于什么？

看完整示范
② 想办法：\(-2n(y-x)=-2n\cdot[-(x-y)]=2n(x-y)\)，两项就都含 \(x-y\) 了。
③ 执行：原式 \(=3m(x-y)+2n(x-y)=(x-y)(3m+2n)\)。
执行中检查：取 \(x=3,\,y=1,\,m=n=1\)：原式 \(=3\cdot2-2\cdot(-2)=10\)，结果 \(=2\cdot5=10\) ✓。

④ 回头看：先统一成同一个多项式，再提；变号时数清是几次方。

再试一个：把 \(a(x-2)^2-b(2-x)^2\) 分解因式。

A。偶次方：\((2-x)^2=(x-2)^2\)，原式 \(=a(x-2)^2-b(x-2)^2=(x-2)^2(a-b)\)。B 把 2 次方当成奇次方变了号；C 只提了一个 \(x-2\)，乘回去次数不对。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）漏了剩下的 1
❌ 典型错解：\(3x^2-4xy^2+x=x(3x-4y^2)\)。
✅ 看图秒懂：原式三项，括号里也要三项。最后一项 \(x\) 提出 \(x\) 后剩 \(1\)：\(x(3x-4y^2+1)\)。乘回去就能发现少了一项。
翻车现场 ②公因式没提尽
❌ 典型错解：\(6a^4b^3-9a^2b^5+15a^3b^2c=3ab(2a^3b^2-3ab^4+5a^2bc)\)。
✅ 一眼看清：括号里三项还都有 \(a\) 和 \(b\)，说明只提了 1 次，还该再提。\(a\)、\(b\) 的最低次都是 \(2\)：\(=3a^2b^2(2a^2b-3b^3+5ac)\)。提完看一眼括号里，还有公因式就是没提尽。
翻车现场 ③符号：提负号、相反数的乘方
❌ 典型错解：\(-3x^2+6x-9=-3(x^2+2x-3)\)；\((b-a)^3=(a-b)^3\)。
✅ 一眼看清：提出“\(-\)”后括号里每项都变号：\(-3(x^2-2x+3)\)。相反数的奇次方仍是相反数：\((b-a)^3=-(a-b)^3\)；偶次方才相等。
再深一点（可跳过）：能找到奇数结果吗？

任取整数n，\(n^2+n\) 会不会是奇数？试找反例；若找不到，能否用因式分解给所有整数一个理由？

想好后看解释

\(n^2+n=n(n+1)\)。两个相邻整数一奇一偶，积必为偶数；正、负整数及0都适用。

① 三块拼一块：提出公共的宽

拖左边竖尺上的圆点改公共的宽 \(m\)，拖每块右边的圆点改长（也可点一下圆点再用方向键）。虚线框是三块拼成的大长方形。

② 找公因式：每个字母看“最矮的那根”

三项的系数先点上面的按钮选一组；每项有两根柱子，高度是 \(x\)、\(y\) 的次数，拖柱顶的圆点改次数（0 表示这项没有这个字母）。深色部分是三项都有的，就是公因式里的次数。

③ 进阶：(a − b)ⁿ 和 (b − a)ⁿ

在数轴上拖 \(a\)、\(b\)（金色箭头是 \(a-b\)：从 \(b\) 指向 \(a\)；红色箭头是 \(b-a\)），再拖下面的滑块改指数 \(n\)，比较两个乘方。

从易到难排好了。卡住时先展开提示；做完都可以乘回去检验。

直接用

1. 把 \(9a^2b-6ab^2\) 的公因式提尽，结果是哪一个？

A。\(9,6\) 的最大公因数 \(3\)；\(a\)、\(b\) 都取 \(1\) 次，公因式 \(3ab\)。B 乘回去对，但括号里还有公因式 \(b\)，没提尽；C 的第二项乘回去是 \(6ab\)，丢了一个 \(b\)。

2. \(6x^2y\)、\(-9xy^3\)、\(12x^3y^2\) 三项的公因式是什么？

A。\(6,9,12\) 的最大公因数 \(3\)；\(x\) 的次数 \(2,1,3\) 取 \(1\)，\(y\) 的次数 \(1,3,2\) 取 \(1\)。B 取了最高次；C 的 \(6\) 不是 \(9\) 的因数；D 的 \(x^2\) 第二项里没有。

易错

3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是哪一个？

提示

看右边最后一步算的是乘还是加；每个因式是不是整式（分母里有字母就不是）。

C。A 右边整体是和；B 是整式乘法；D 的 \(\tfrac1x\) 不是整式（\(x^2+1\) 各项没有公因式，不能硬提）。只有 C 把多项式写成了整式的积。

4. 把 \(5a^2-10ab+5a\) 分解因式。

提示

公因式是 \(5a\)。最后一项 \(5a\) 除以 \(5a\) 得多少？括号里应该有几项？

B。三项除以 \(5a\) 分别得 \(a,\,-2b,\,1\)。A 漏了 \(1\)（翻车现场 ①），乘回去只有两项；C 把 \(-10ab\) 的符号弄丢了。

5. 把 \(a(x-y)^3-b(y-x)^3\) 分解因式。

提示

\((y-x)^3\) 和 \((x-y)^3\) 是相等还是互为相反数？那么 \(-b(y-x)^3\) 等于什么？

B。奇次方：\((y-x)^3=-(x-y)^3\)，所以 \(-b(y-x)^3=b(x-y)^3\)，原式 \(=(x-y)^3(a+b)\)。A 把 3 次方当偶次方，没变号；C 等于 \(-(x-y)^3(a+b)\)，差了一个负号。

挑战

6. 把 \(2(x-y)^3-4(y-x)^2\) 分解因式。

提示 1：先统一

\((y-x)^2\) 可以换成什么？

提示 2：公因式是什么

系数 \(2,4\) 取 \(2\)；\(x-y\) 的次数 \(3,2\) 取 \(2\)。

A。\((y-x)^2=(x-y)^2\)，原式 \(=2(x-y)^3-4(x-y)^2=2(x-y)^2[(x-y)-2]=2(x-y)^2(x-y-2)\)。B 把偶次方当奇次方变了号；C 去括号时把 \(-y\) 写成了 \(+y\)。

本节中考真题

共 13 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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中考常在填空题里考“分解因式”，第一步往往就是提公因式。做完看解析。

先修回顾 · 小学数学

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