培玉 · 小学数学← 本单元五年级下册 · 第二单元 因数与倍数 · 第 1 课
因数和倍数
24 块、36 块方块都能拼成好几种长方形。每种拼法里的两个数，叫做这个数的什么？怎样才能找全一个数的所有因数？
本单元按旧版教材编排。
本节路线导读
怎样从摆长方形找全一个数的因数，并有序找倍数？
先修：有余数的除法 · 初中衔接：七下“平方根”，继续研究两个相同的数相乘。
先回想旧方法、作预测，再动手核对；讲道理后，分步看例题，最后练一练。
以前用乘法表示每行同样多。现在有 18 块方块，每行 4 块或 6 块，哪一种没有剩余？先猜，再切换图核对。
食堂有 20 块点心，要摆成每行块数同样多、没有空位的长方形。下面哪种摆法能行？
B。5 × 4 = 20，正好摆满。能这样摆的行数和每行块数，就藏着今天要学的因数和倍数。
1. 拼长方形，找出配成对的数
选方块总数，再调“每行几块”。先猜能否正好摆满，再看图；也可用原来的“拼下一种”依次核对。试过 12、18、24 后，说说怎样找才不漏。
再找一串倍数
每袋 7 枚棋子。袋数加 1，总数怎样变？先猜 3 袋、5 袋，再调袋数核对。
因为 6 × 4 = 24，所以下面哪句话是对的？
A。算式 6 × 4 = 24 里，6 和 4 都是 24 的因数，24 是 6 和 4 的倍数。
12 的所有因数是哪几个？
B。成对找：1 × 12，2 × 6，3 × 4，一共 6 个因数。
从“正好摆满”到因数和倍数
- 18 块每行 3 块，摆 6 行；20 块每行 5 块，摆 4 行。共同点是：两个非 0 自然数相乘，正好得到总数，没有空位、没有剩余。
- 给这种关系命名：3 和 6 是 18 的因数，18 是 3 和 6 的倍数。请用 5 × 4 = 20 再说一次“谁是谁的”。
- 找全因数要成对找：从 1 开始试，乘起来等于原数的两端都记下；两端相同只写一次。因数不会大于原数，所以能找完。
- 找倍数就依次乘 1、2、3……。实验台里把乘几往后调，结果还会继续增大；滑块有尽头，倍数却没有最大的。
12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4，从小到大一对一对找，12 的因数就是 1、2、3、4、6、12。
只写 1、2、3、4 漏了 6 和 12；1.5 × 4 = 6，但因数、倍数只在非 0 自然数里说，1.5 不是 6 的因数。
一个数的因数最小是 1、最大是它本身，个数有限；倍数最小是它本身，7、14、21…… 一直写不完。
因数和倍数一定要说“谁是谁的”：6 是 12 的因数，12 是 6 的倍数。
28 枚棋子每行同样多，有几种不同排法？
先自己想。需要帮助时，按顺序展开一小步。
1. 读懂题意
读懂题意：不能剩下棋子；转一个方向算同一种排法。先用纸笔写出你想到的乘法。
2. 列式与理由
成对找：1 × 28、2 × 14、4 × 7，3 和 5 都不能正好分完。若两个数都不小于 6，相乘至少是 6 × 6 = 36，已超过 28；不用继续试新的配对。共有 3 种。
3. 检查与易错点
检验：每种行数与每行枚数相乘都得 28。因数为 1、2、4、7、14、28，不要把“3 种排法”当成“3 个因数”。
自己试试：14 枚棋子有几种排法？先配对，再展开核对。
1 × 14、2 × 7，共 2 种；因数有 1、2、7、14。
动手算一算（7 题）
1. 36 一共有几个因数？
9 个。1 × 36，2 × 18，3 × 12，4 × 9，6 × 6，所以因数是 1、2、3、4、6、9、12、18、36，共 9 个。
2. 把 18 的所有因数从小到大排，第 4 个是几？
6。18 的因数是 1、2、3、6、9、18，第 4 个是 6。
3. 7 的倍数从小到大排，第 6 个是几？
42。7 × 6 = 42。
4. 一个数的最小的倍数是 15，这个数是几？
15。一个数最小的倍数就是它本身。
5. 下面哪句话是对的？
C。3 × 2 = 6，6 是 3 的倍数，3 是 6 的因数。因数、倍数只在非 0 自然数里说。
6. 一个数既是 24 的因数，又是 3 的倍数，还比 10 大，其中最小的是几？
12。24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24；其中是 3 的倍数的有 3、6、12、24；比 10 大的最小是 12。
7. 把 16 块方块排成没有空位的长方形（正方形也算），一共有几种不同排法？（4 行 × 4 列 算 1 种，2 行 × 8 列 和 8 行 × 2 列算同一种）
3 种。1 × 16，2 × 8，4 × 4。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 8.1 平方根分解质因数与寻找成对约数的方法，是判断一个正整数是否为完全平方数以及化简算术平方根的底层工具。
- 初中 · 17.1 用提公因式法分解因式求多项式各项系数的最大公因数，直接依赖小学五年级公因数与最大公因数的短除与分解方法。